Задачи регионального этапа ВсОШ по экономике с решениями

а) Сумма кредита $S = 8\,000\,000$, месячная ставка $r = 18\%/12 = 0{,}015$, срок $n = 120$ мес. Аннуитет: $x = S\cdot\frac{r(1+r)^n}{(1+r)^n - 1} = 8\,000\,000\cdot\frac{0{,}015\cdot(1{,}015)^{120}}{(1{,}015)^{120}-1} \approx 144\,148$ руб. б) Стоимость квартиры через 5 лет: $12\,000\,000\cdot(1{,}05)^5 \approx 15\,315\,379$ руб. Остаток долга — приведённая стоимость оставшихся 60 платежей: $x\cdot\frac{1 - (1{,}015)^{-60}}{0{,}015} \approx 5\,676\,587$ руб. Чистые активы $\approx 15\,315\,379 - 5\,676\,587 = 9\,638\,792$ руб. в) Депозит: $r_{dep} = 15\%/12 = 0{,}0125$, 60 мес. Рост взноса: $4\,000\,000\cdot(1{,}0125)^{60} \approx 8\,428\,800$ руб. Ежемесячное пополнение $144\,148 - 50\,000 = 94\,148$ руб., будущая стоимость аннуитета $94\,148\cdot\frac{(1{,}0125)^{60} - 1}{0{,}0125} \approx 8\,339\,253$ руб. Чистые активы $\approx 8\,428\,800 + 8\,339\,253 = 16\,768\,053$ руб. г) Стратегия Б выгоднее примерно на 7,1 млн руб. Причины выбрать А: риск роста арендной платы, возможность ремонта «под себя», процентный риск (снижение ставок по вкладам), психологическая потребность в «своём угле».

Из технологии: $L = Q^2/100$. Номинальная зарплата $w = 2P_0$, издержки $TC_{nom} = 2P_0 L$; номинальная цена яблок $P_0(1+\pi)$, выручка $TR_{nom} = P_0(1+\pi)Q$. а) ($\pi = 0$) Реальная прибыль $\Pi = (1-t)(Q - 2L) = (1-t)(Q - 2Q^2/100)$. Максимизация: $1 - Q/25 = 0 \Rightarrow Q^* = 25$. б) ($t = 0$) $\Pi = Q - 2L = Q - 2Q^2/100$, тот же максимум $Q^* = 25$. в) Номинальная налогооблагаемая прибыль $\Pi_{nom} = P_0(1+\pi)Q - 2P_0 L$. Реальная прибыль после налога (потоки конца года делим на $P_1$): $\Pi_{real} = (1-t)Q - 2L\left(\frac{1+\pi-t}{1+\pi}\right)$. Подставив $L = Q^2/100$: $\Pi(Q) = (1-t)Q - \frac{Q^2}{50}\cdot\frac{1+\pi-t}{1+\pi}$. Максимизация: $Q^* = 25\cdot\frac{(1-t)(1+\pi)}{1+\pi-t}$. Зависимость от $t$: множитель $f(t) = \frac{1-t}{1+\pi-t}$ имеет $f'(t) = \frac{-\pi}{(1+\pi-t)^2} < 0$ ⇒ с ростом налога выпуск убывает. Зависимость от $\pi$: $Q^* = 25(1-t)\left(1 + \frac{t}{1+\pi-t}\right)$ — с ростом $\pi$ дробь убывает ⇒ выпуск убывает. Экономический смысл: инфляция превращает налог на прибыль в налог на издержки, так как не позволяет вычесть полную реальную стоимость затрат.

Ставка по депозиту за четверть года: $16\%/4 = 4\%$. а) Способ А: выгода = кэшбэк и проценты на него: $200000 \cdot 0{,}015 \cdot 1{,}04 = 3120$ руб. Способ Б: 200 000 руб. на вклад ⇒ $200000 \cdot 1{,}04 = 208000$ руб. Расходы по кредитке: $1490 + 99\cdot3 = 1787$ руб. Остаток: $(200000 + 8000) - 200000 - 1787 = 6213$ руб. Разница: $6213 - 3120 = 3093$ руб. Способ Б выгоднее на 3093 руб. б) Обозначим стоимость $X$. Выгода А: $I_A = 0{,}015X\cdot1{,}04 = 0{,}0156X$. Выгода Б: $I_B = 0{,}04X - 1787$. $0{,}0156X > 0{,}04X - 1787 \Rightarrow 1787 > 0{,}0244X \Rightarrow X < 73237{,}7$. При меньшей стоимости способ А выгоднее. в) Возможные причины выбора менее выгодного способа А: страх пропустить платёж по кредитке и получить штрафы; нежелание «жить в долг»; экономия времени на оформление; опасение за кредитную историю.

а) В равновесии $Q_D = Q_S = Q$. Выразим цены через количество: $P_D = 400 - Q$, $P_S = 100 + Q$. Прибыль платформы — разница цен, умноженная на объём: $\pi = Q\cdot((400 - Q) - (100 + Q)) = Q(300 - 2Q) = 300Q - 2Q^2$. Максимум (вершина параболы): $Q^* = 300/4 = 75$. Цены: $P_D = 400 - 75 = 325$ руб., $P_S = 100 + 75 = 175$ руб. б) Новые функции: спрос $Q = (400 - P_D)/3 \Rightarrow P_D = 400 - 3Q$; предложение $Q = (P_S - 100)/2 \Rightarrow P_S = 100 + 2Q$. Прибыль: $\pi_{night} = Q((400 - 3Q) - (100 + 2Q)) = Q(300 - 5Q)$. Оптимум: $Q^*_{night} = 30$. Цены: $P_D = 400 - 90 = 310$ руб., $P_S = 100 + 60 = 160$ руб. в) Ограничение $P_D \le 280$. Нерегулируемый оптимум (325) выше потолка, значит ограничение активно: $P_D = 280$. Прибыль зависит только от $Q$: $\pi_{reg} = Q(280 - (100 + Q)) = 180Q - Q^2$. Оптимум $Q^*_{reg} = 90$, вознаграждение $P_S = 100 + 90 = 190$ руб. При $P_D = 280$ желающих поехать $Q_D = 400 - 280 = 120$, а поездок 90 ⇒ дефицит $120 - 90 = 30$ поездок.

а) $TC = 0{,}5q^2 \Rightarrow MC = q$. Условие максимизации $P = MC \Rightarrow q = P$. Минимум $AVC(q) = 0{,}5q$ равен нулю, поэтому фирма производит при всех ценах. Итог: $q_S = P$. б) Прибыль при статусе малого предприятия: $\pi_{small} = 0{,}5P^2$ при $P \le 10$ и $10P - 50$ при $P > 10$ (при $q > 10$ фирма ограничивает выпуск до 10, чтобы остаться малой). При статусе крупного: $\pi_{large} = 0{,}5P^2 - 450$. Граница: $10P - 50 > 0{,}5P^2 - 450 \Rightarrow P < 40$. Значит при $P < 40$ фирма малая, при $P \ge 40$ — крупная. Итоговая функция предложения: $q_S(P) = P$ при $0 \le P < 10$; $q_S(P) = 10$ при $10 \le P < 40$; $q_S(P) = P$ при $P \ge 40$. в) Новая технология: $TC_{new} = q^2 \Rightarrow MC_{new} = 2q \Rightarrow q = 0{,}5P$, прибыль $\pi_{new} = 0{,}25P^2$. Сравнение с прежней прибылью: при $P < 10$ новая хуже; при $10 \le P < 40$ новая выгоднее, если $0{,}25P^2 > 10P - 50 \Rightarrow P > 20 + 10\sqrt{2}$; при $P \ge 40$ новая выгоднее, если $0{,}25P^2 > 0{,}5P^2 - 450 \Rightarrow P < 30\sqrt{2}$. Итог: переход оправдан при $P \in (20 + 10\sqrt{2},\ 30\sqrt{2})$. (Границы можно засчитывать как включённые, так и нет.)

а) Подоходный налог $= tY$, располагаемый доход $Y_d = (1 - t)Y$. Потребление $C = C_a + mpc(1 - t)Y$. Условие равновесия $Y = C + I + G$: $Y = \frac{C_a + I + G}{1 - mpc(1 - t)}$. Мультипликатор госзакупок — коэффициент при $G$: $mult_G = \frac{1}{1 - mpc(1 - t)}$. б) В равновесии потребление не меняется, поэтому налог $T = tC$. Располагаемый доход $Y_d = Y - tC$, и $C = C_a + mpc(Y - tC)$, откуда $C = \frac{C_a + mpc\cdot Y}{1 + mpc\cdot t}$. Подставив в $Y = C + I + G$: $Y = \frac{C_a + (I + G)(1 + mpc\cdot t)}{1 - mpc(1 - t)}$. Мультипликатор: $mult_G = \frac{1 + mpc\cdot t}{1 - mpc(1 - t)}$. в) Знаменатели одинаковы и положительны. Числитель в а) равен 1, в б) равен $1 + mpc\cdot t > 1$ (так как $mpc > 0$, $t > 0$). Значит, при налоге на потребление мультипликатор госзакупок больше.

а) Страна 1. Если весь упор на Y: 200 единиц Y по новой технологии требуют 100 единиц труда, оставшиеся 50 дают ещё 50 единиц Y по старой ⇒ максимум $Y = 250$, крайняя точка $(0, 250)$. Начиная производить X по новой технологии (альт. издержки $1/2$), сокращаем Y по старой технологии; через 50 единиц Y получаем $50/(1/2) = 100$ единиц X — точка излома $(100, 200)$. Далее X по новой за счёт Y по новой (альт. издержки 1) до ограничения $X \le 200$ — точка $(200, 100)$. На последнем участке X по старой за счёт Y по новой (альт. издержки 2), ещё 50 единиц X — крайняя точка $(250, 0)$. Страна 2: 50 единиц труда дают по новой технологии максимум $100 < 200$ единиц любого товара, поэтому всё производится по новой технологии, альт. издержки всегда 1. КПВ линейна: $Y = 100 - X$, крайние точки $(0,100)$ и $(100,0)$. б) Без миграции КПВ складываются горизонтально. Постоянная альт. стоимость 1 в стране 2 «удлиняет» средний участок страны 1: на нём две страны вместе производят 200 единиц с альт. стоимостью 1. Крайние точки $(0, 350)$ и $(350, 0)$, точки излома $(100, 300)$ и $(300, 100)$. в) При миграции получаем одну страну: $150 + 50 = 200$ единиц труда, по новой технологии до $200 + 200 = 400$ единиц каждого товара. 200 единиц труда как раз дают максимум 400 единиц по новой технологии ⇒ весь труд занят по новой, альт. издержки всюду 1. Общая КПВ линейна: $Y = 400 - X$, крайние точки $(0, 400)$ и $(400, 0)$. г) КПВ из в) совпадает с КПВ из б) на среднем участке и лежит выше на крайних. Потребление растёт, если точка производства попадает на крайние участки. Графически (пересечение луча $Y = kX$ с изломами): $k < 1/3$ или $k > 3$, то есть $k \in (0; 1/3) \cup (3; +\infty)$.

После короткого вклада остаток срока размещается под 10% годовых. Все стартовые ставки Ух-банка ниже, чем у Ох-банка, поэтому первый вклад — в Ох-банк. Коэффициенты роста за 2 года при разном сроке первого вклада в Ох-банк: • полгода: $(1 + 0{,}24\cdot0{,}5)(1 + 0{,}1\cdot1{,}5) = 1{,}12\cdot1{,}15 = 1{,}288$; • год: $(1 + 0{,}18)(1 + 0{,}1) = 1{,}18\cdot1{,}1 = 1{,}298$; • два года: $1 + 0{,}12\cdot2 = 1{,}24$. Максимум даёт первый вклад на год (29,8% за 2 года). Через год сумма $2\cdot1{,}18 = 2{,}36$ млн руб. Распределение на второй год: пусть $x$ млн в Ох-банк, тогда $1{,}1x \le 1{,}4 \Rightarrow x \le 1{,}272727$; для Ух-банка $2{,}36 - x \le 1{,}272727 \Rightarrow x \ge 1{,}087273$. Отрезок непуст: $x \in [1{,}087273;\ 1{,}272727]$ млн руб. (например, поровну по 1,18 млн). Ответ: вложить 2 млн руб. в Ох-банк на год, затем $x$ млн в Ох-банк и $2{,}36 - x$ млн в Ух-банк, где $x \in [1{,}087273;\ 1{,}272727]$ млн руб.

а) При заданных $b$ и $e$ менеджер максимизирует $U = b\cdot p\cdot q - e^2$. Так как $p = \sqrt{e} - q$, выручка $TR = q(\sqrt{e} - q)$, и $U = bq(\sqrt{e} - q) - e^2$. Слагаемое $-e^2$ не влияет на оптимизацию по $q$; при $b > 0$ максимизируется $q(\sqrt{e} - q)$ — парабола ветвями вниз. Вершина: $q^* = \sqrt{e}/2$. (Эквивалентно условие $MR = \sqrt{e} - 2q = 0$.) б) Подставив $q^* = \sqrt{e}/2$: $TR = \frac{\sqrt{e}}{2}\cdot\frac{\sqrt{e}}{2} = \frac{e}{4}$. Полезность менеджера $U = b\cdot\frac{e}{4} - e^2$ — парабола ветвями вниз по $e$, максимум: $e^* = \frac{b}{8}$. Тогда $q^* = \frac{\sqrt{e^*}}{2} = \frac{\sqrt{b/8}}{2} = \frac{\sqrt{2b}}{8}$. в) При $e^*(b)$ выручка $TR = e^*/4 = \frac{b}{32}$. Прибыль владельца $\Pi = TR(1 - b) = \frac{b}{32}(1 - b)$ — парабола ветвями вниз по $b$, максимум: $b^* = \frac{1}{2}$. Тогда $e^* = \frac{1/2}{8} = \frac{1}{16}$, $q^* = \frac{\sqrt{1/16}}{2} = \frac{1}{8}$.

а) Из состава комплекта $y = 5x$ в каждой стране. Подставляем в КПВ: Линея: $5x_1 = 280 - 2x_1 \Rightarrow 7x_1 = 280 \Rightarrow x_1^* = 40$ — 40 комплектов. Квадратия: $5x_2 = 252 - x_2^2/7 \Rightarrow x_2^2/7 + 5x_2 - 252 = 0$. Положительный корень: $x_2 = \dfrac{-5 + \sqrt{25 + 4\cdot 252/7}}{2/7} = \dfrac{-5 + \sqrt{169}}{2/7} = \dfrac{8}{2/7} = 28$ — 28 комплектов. Суммарно $40 + 28 = 68$ комплектов. Ответ: 68 комплектов. б) Способ 1 (без сложения КПВ). Система ограничений с условием комплектности ($y_1 + y_2 = 5(x_1 + x_2)$): $5(x_1 + x_2) = (280 - 2x_1) + (252 - x_2^2/7)$, откуда $x_1 = -\dfrac{1}{49}x_2^2 - \dfrac{5}{7}x_2 + 76$. Число комплектов равно объёму X: $x_1 + x_2 = -\dfrac{1}{49}x_2^2 + \dfrac{2}{7}x_2 + 76$ — парабола ветвями вниз, максимум при $x_2 = \dfrac{-2/7}{-2/49} = 7$. Тогда $x_1 = -\dfrac{1}{49}\cdot 49 - \dfrac{5}{7}\cdot 7 + 76 = 70$. Оба объёма меньше страновых максимумов, точки лежат на КПВ. Суммарно $70 + 7 = 77$ комплектов — на 9 больше, чем в п. а). Способ 2 (суммарная КПВ). Альтернативная стоимость X в Линее всегда равна 2, в Квадратии переменна и равна $\tfrac{2}{7}x_2$. При $x_2 < 7$ дешевле производить X в Квадратии, при больших — переключаемся на Линею, в Квадратию возвращаемся, когда возможности Линеи исчерпаны. Это даёт суммарную КПВ из трёх участков; её пересечение с лучом $Y = 5X$ даёт ту же точку. Ответ: 77 комплектов, на 9 больше, чем в пункте а).

а) Достаточно предъявить прибыльную цепочку обменов Р→Т→С→Р: 1. 1000 руб меняем на тенге по курсу «Р на Т»: $1000/0{,}2 = 5000$ тенге. 2. 5000 тенге меняем на сомы по курсу «Т на С»: $5000/5 = 1000$ сомов. 3. 1000 сомов меняем на рубли по курсу «С на Р»: $1000/0{,}95 \approx 1052{,}63$ руб. Поскольку $1000/0{,}95 > 1000$, Вася получает прибыль. (Повторяя цепочку, можно увеличить прибыль; для полного балла достаточно однократного примера.) б) Существует 4 цепочки обогащения, начинающиеся и заканчивающиеся в рублях: 1) Р–С–Р, 2) Р–Т–Р, 3) Р–С–Т–Р, 4) Р–Т–С–Р. Для отсутствия арбитража каждая из них не должна давать прибыль. Записывая для каждого рубля итоговую сумму в рублях и требуя, чтобы она была $\le 1$: 1. Р–С–Р: $\dfrac{1}{1{,}1}\cdot\dfrac{1}{a} \le 1 \Rightarrow a \ge \dfrac{10}{11}$. 2. Р–Т–Р: $\dfrac{1}{0{,}2}\cdot\dfrac{1}{b} \le 1 \Rightarrow b \ge 5$. 3. Р–С–Т–Р: $\dfrac{1}{1{,}1}\cdot\dfrac{1}{0{,}25}\cdot\dfrac{1}{b} \le 1 \Rightarrow b \ge \dfrac{40}{11}$. 4. Р–Т–С–Р: $\dfrac{1}{0{,}2}\cdot\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{1}{a} \le 1 \Rightarrow a \ge 1$. Объединяя все четыре неравенства, получаем итоговое условие отсутствия арбитража. Ответ: $a \ge 1$, $b \ge 5$. (Цепочки Т–С–Т и С–Т–С прибыли не приносят; любую более длинную цепочку можно разложить на короткие, поэтому проверки цепочек 1)–4) достаточно. Полученные условия — условия отсутствия арбитража.)

а) Рыночный спрос: при $P \le 44$ покупают обе группы, при $P \in (44; 80]$ — только непенсионеры: $Q(P) = \begin{cases} 124 - 2P, & P \le 44 \\ 80 - P, & P \in (44; 80] \end{cases}$ Прибыль $\pi(P) = Q(P)\cdot P - 20Q(P) - 500$: $\pi(P) = \begin{cases} 164P - 2P^2 - 2980, & P \le 44 \\ 100P - P^2 - 2100, & P \in (44; 80] \end{cases}$ Вершины парабол (ветви вниз): на $[0;44]$ — $P=41$ (входит в участок), на $(44;80]$ — $P=50$ (входит). Сравниваем прибыль: $\pi(41) = (124 - 82)(41 - 20) - 500 = 382$; $\pi(50) = (80 - 50)(50 - 20) - 500 = 400$. Поскольку $400 > 382$, оптимальна цена $P^* = 50$ — при ней пенсионеры не пользуются услугами компании. Ответ: $P^* = 50$. б) Фирма готова платить за офис не больше прироста прибыли от назначения двух цен вместо одной. Пусть $P_1$ — цена для пенсионеров, $P_2$ — для непенсионеров: $\pi(P_1,P_2) = (44 - P_1)(P_1 - 20) + (80 - P_2)(P_2 - 20) - 500$. Функция распадается на два слагаемых, каждое максимизируется в вершине своей параболы: $P_1^* = 32$, $P_2^* = 50$. Максимальная прибыль (без аренды): $\pi(32,50) = (44-32)(32-20) + (80-50)(50-20) - 500 = 544$. Поскольку цена для непенсионеров та же, что в п. а), прирост даёт только обслуживание пенсионеров: $R_{\max} = 544 - 400 = 144$. Ответ: $R_{\max} = 144$. в) Спрос пенсионеров прежний, оптимум для них $P_1^* = 32$. Для непенсионеров новый спрос $Q = 90 - P$: максимизируем $(90 - P)(P - 20)$, вершина $P_2^* = 55$. Прибыль при открытии офиса: $\pi = 144 + (90 - 55)(55 - 20) - 500 = 144 + 1225 - 500 = 869$. Отсюда $R_{\max} = 869 - 400 = 469$. Ответ: $R_{\max} = 469$. (Задача основана на реальной практике: «Ижавиа» предлагает тариф «Социальный» с оформлением только в офисе.)

Через $t$ месяцев долг: $S_t=S_0(1+i)^t-X(1+i)^{t-1}-\dots-X(1+i)-X$. Условие $S_T=0$: $S_0(1+i)^T=X(1+(1+i)+\dots+(1+i)^{T-1})=X\dfrac{(1+i)^T-1}{i}$. Отсюда $X=\dfrac{S_0(1+i)^T i}{(1+i)^T-1}=\dfrac{S_0 i}{1-(1+i)^{-T}}$. Банк ($S_0=P(1-d)$, $i=R$): $X_{банк}=\dfrac{P(1-d)(1+R)^T R}{(1+R)^T-1}$. Застройщик ($S_0=P$, $i=r$): $X_{застр}=\dfrac{P(1+r)^T r}{(1+r)^T-1}$. Ипотека от банка выгоднее (платёж меньше), когда $X_{банк}<X_{застр}$. Сокращая на $P$ и выражая $d$: $d>1-\dfrac{r}{R}\dfrac{(1+r)^T}{(1+R)^T}\dfrac{(1+R)^T-1}{(1+r)^T-1}$, или компактно $d>1-\dfrac{r}{R}\dfrac{1-(1+R)^{-T}}{1-(1+r)^{-T}}$.

а) Конкуренция: $Q^c=25-5=20$; $CS_c=20^2/2=200$. Абсолютно эластичное предложение ⇒ $MC=5$, $FC=0$ ⇒ прибыль фирм 0. Ущерб $a(Q^c)^2=400a$. Итог: $SW_c=200-400a$. Монополия: $TC=5Q$, $\pi(Q)=(25-Q)Q-5Q=(20-Q)Q$ — парабола ветвями вниз, вершина $Q^m=10$ (или $MR=25-2Q=5$). $CS_m=10^2/2=50$, прибыль $\pi^m=(25-10)\cdot10-5\cdot10=100$, ущерб $a\cdot10^2=100a$. Итог: $SW_m=50+100-100a=150-100a$. Монополизация увеличит благосостояние при $SW_c<SW_m$: $200-400a<150-100a \Rightarrow 50<300a \Rightarrow a>1/6$. Ответ: $a>1/6$. б) В общем виде $SW(Q)=Q^2/2+(20-Q)Q-aQ^2=20Q-(1/2+a)Q^2$ — парабола ветвями вниз, максимум при $Q^*=\dfrac{20}{1+2a}$. Способ 1: максимум благосостояния достигается при монополии тогда и только тогда, когда $Q^m=Q^*$: $10=\dfrac{20}{1+2a}\Rightarrow a=1/2$. Способ 2: $SW(Q^*)=\dfrac{200}{1+2a}=SW_m=150-100a$ ⇒ $4a^2-4a+1=0$ ⇒ $(2a-1)^2=0$ ⇒ $a=1/2$. Ответ: $a=1/2$.

После НДПИ предложение $P=30+Q+t$, т.е. $Q_s(P)=P-30-t$; спрос $Q_d(P)=30-P/3$. Экспорт идёт тогда и только тогда, когда $Q_d(x)<Q_s(x)$: $30-x/3<x-30-t$ ⇒ $t<4x/3-60$. Объём добычи: при $t<4x/3-60$ (экспорт) $Q=x-30-t$; при $t\ge4x/3-60$ (только внутренний рынок) $90-3Q=30+Q+t$ ⇒ $Q=(60-t)/4$. Сборы $T(t)=tQ(t)$: $t(x-30-t)$ на левом участке, $t(60-t)/4$ на правом — две параболы ветвями вниз, непрерывно стыкуются. Вершины: левой $t_1=(x-30)/2$, правой $t_2=30$. Левая вершина на своём участке при $(x-30)/2<4x/3-60$ ⇒ $x>54$; правая на своём участке при $30>4x/3-60$ ⇒ $x<67{,}5$. При $x\le45$ левого участка нет ($4x/3-60\le0$). Случаи: 1) $x\le45$: только правая парабола, $t^*=t_2=30$. 2) $x\in(45;54]$: на левом участке $T$ растёт, оптимум в вершине правой, $t^*=30$. 3) $x\in(54;67{,}5]$: обе вершины актуальны. $T(t_1)=(x-30)^2/4$, $T(t_2)=900/4$. $T(t_1)>T(t_2)$ при $(x-30)^2>900$ ⇒ $x>60$. Значит при $x>60$ $t^*=(x-30)/2$, при $x<60$ $t^*=30$; при $x=60$ государство безразлично и выбирает меньшую $t_1=15$. 4) $x>67{,}5$: правая парабола убывает, оптимум в вершине левой, $t^*=(x-30)/2=x/2-15$. Итог: $t^*(x)=30$ при $x<60$; $t^*(x)=x/2-15$ при $x\ge60$. График: горизонталь на уровне 30 до $x=60$, затем луч $x/2-15$ (в точке $x=60$ скачок до 15, далее рост).

а) $Y=C+I+G$; $G=T=0$: $Y=4+\sqrt{Y}+16=20+\sqrt{Y}$. Замена $x=\sqrt{Y}$: $x^2-x-20=0$, $x=5$, $Y=25$. б) $Y=4+\sqrt{Y}+16+10=30+\sqrt{Y}$: $x^2-x-30=0$, $x=6$, $Y=36$. в) $Y=4+\sqrt{Y}+16+22=42+\sqrt{Y}$: $x^2-x-42=0$, $x=7$, $Y=49$. г) $mult_G=\Delta Y/\Delta G$. Для б): $(36-25)/(10-0)=11/10$. Для в): $(49-25)/(22-0)=12/11$. Поскольку $11/10\ne12/11$, мультипликаторы не равны (он зависит от размера прироста, т.к. предельная норма потребления убывает). д) При сбалансированном бюджете $\Delta G=\Delta T$ (т.е. $G=T$). $Y=4+\sqrt{Y-\Delta G}+16+\Delta G$, т.е. $Y-\Delta G=20+\sqrt{Y-\Delta G}$. Замена $x=\sqrt{Y-\Delta G}$: $x^2-x-20=0$, $x=5$, $Y-\Delta G=25$, значит $Y=25+\Delta G$. ВВП растёт ровно на $\Delta G$, мультипликатор сбалансированного бюджета равен единице для любого $\Delta G$. Ответ: верно.

а) При $K=4$: $Q(L,4)=\min\{L^2,4\}$. Прибыль $\pi(L)=P\cdot Q-wL = L^2-wL$ при $L\le2$ и $4-wL$ при $L>2$ (расходы на капитал уже понесены и не входят). Функция $L^2-wL$ — парабола ветвями вверх, максимум на $[0;2]$ достигается на одном из концов; $4-wL$ убывает, поэтому $L>2$ неоптимально. При $L=0$ прибыль 0, при $L=2$ прибыль $4-2w$. Значит при $w\le2$ оптимально $L=2$, при $w>2$ оптимально $L=0$: $L_d(w)=2$ при $w\le2$; $L_d(w)=0$ при $w>2$. б) Без аренды максимальная прибыль: $\pi^*_1 = 4-2w$ при $w\le2$; $0$ при $w>2$. С арендой $K=4+5=9$: $\pi(L)=L^2-wL-S$ при $L\le3$ и $9-wL-S$ при $L>3$. Максимум при $L=0$ (прибыль $-S$) или $L=3$ (прибыль $9-3w-S$). Значит $\pi^*_2 = 9-3w-S$ при $w\le3$; $-S$ при $w>3$. $S_{max}(w)$ — максимальное $S$, при котором $\pi^*_2\ge\pi^*_1$: При $w\le2$: $S_{max}=9-3w-(4-2w)=5-w$. При $2<w\le3$: $S_{max}=9-3w-0=9-3w$. При $w>3$: $S_{max}=0$. Итог: $S_{max}(w)=5-w$ при $0<w\le2$; $9-3w$ при $2<w\le3$; $0$ при $w>3$. График — ломаная: от $(0;5)$ к $(2;3)$, затем круче к $(3;0)$, далее 0. в) 1) «убывает», 2) «комплементами». ($S_{max}$ — готовность платить за капитал, т.е. спрос на капитал; он убывает по цене труда, значит блага — комплементы.)

а) При $K=4$: $Q(L,4)=4L-L^2/2$. Прибыль $\pi=P\cdot Q-wL=(4-w)L-L^2/2$ — парабола ветвями вниз, максимум в вершине: $L^*=(4-w)/(2\cdot1/2)=4-w$. (Эквивалентно $MRP_L=w$: $P\cdot MP_L=(4-L)=w$, $L=4-w$; это максимум, т.к. $MP_L$ в денежном выражении убывает.) Ответ: $L_d(w)=4-w$. б) Без аренды максимальная прибыль: $\pi^*_1=\pi(4-w)=(4-w)^2-(4-w)^2/2=(4-w)^2/2$. С арендой $K=4+2=6$: $\pi(L)=(6-w)L-L^2/2-S$, максимум в вершине $L^*=6-w$, прибыль $\pi^*_2=(6-w)^2/2-S$. $S_{max}(w)$ — максимальное $S$, при котором $\pi^*_2\ge\pi^*_1$: $S_{max}(w)=(6-w)^2/2-(4-w)^2/2=((6-w)-(4-w))((6-w)+(4-w))/2=2\cdot(10-2w)/2=10-2w$. Ответ: $S_{max}(w)=10-2w$. в) 1) «убывает», 2) «дополняющими». ($S_{max}$ — спрос на капитал; он убывает по цене труда, значит блага — дополняющие/комплементы.)

Без ограничения: прибыль $\pi(P) = (10 - P)(P - 2)$ — парабола ветвями вниз с вершиной $P = 6$ (выпуск $Q = 4$, прибыль 16). При оптимальной цене со штрафом прибыль $16 - 9 = 7$. Случай 1: $\bar P \ge 6$ — потолок не связывает, фирма ставит $P^* = 6$, прибыль 16, штраф не платит. Случай 2: $2 \le \bar P < 6$ — подчинившись, фирма имеет прибыль $(10 - \bar P)(\bar P - 2) \ge 0$. Платить штраф выгоднее, если эта прибыль < 7: $(10 - \bar P)(\bar P - 2) < 7 \Rightarrow \bar P < 3$ или $\bar P > 9$. Интервал $\bar P > 9$ относится к случаю 1, поэтому при $\bar P < 3$ фирма платит штраф и ставит 6, при $3 \le \bar P < 6$ — подчиняется и ставит $\bar P$. Случай 3: $\bar P < 2$ — цена ниже средних издержек, подчинение даёт отрицательную прибыль; фирма платит штраф и ставит 6 (входит в «$\bar P < 3$»). $P^*(\bar P) = 6$ при $\bar P < 3$; $P^*(\bar P) = \bar P$ при $3 \le \bar P < 6$; $P^*(\bar P) = 6$ при $\bar P \ge 6$. График: горизонталь $P^*=6$ при $\bar P<3$; отрезок $P^*=\bar P$ на $[3;6)$; снова $P^*=6$ при $\bar P\ge 6$.

а) Складывая КПВ регионов, получаем ломаную через точки $(0;60)$, $(10;50)$, $(20;30)$, $(30;0)$. б) Пропорция обмена на мировом рынке $20:30 = 1:1{,}5$ (за 1 ед. X дают 1,5 ед. Y). Производить X выгодно лишь там, где альт. издержки X (равны номеру региона) меньше 1,5; значит X производится только в регионе 1. Страна производит $x = 10$, $y = 20 + 30 = 50$. Стартуя из $(10;50)$, обмен идёт по наклону $-1{,}5$. КТВ — прямая $3x + 2y = 130$ (или $y = 65 - 1{,}5x$): пересекает ось Y при $y = 65$, ось X при $x = 43\tfrac{1}{3}$. (Эквивалентно: максимизация выручки $30x + 20y$, максимум 1300 в точке $(10;50)$.) в) [9 класс — лимит импорта 480.] Импорт X не более $480/30 = 16$, импорт Y не более $480/20 = 24$. При производстве $x=10$ экспортировать можно не более 10 ед. X, то есть импортировать не более 15 < 24 ед. Y — ограничение по Y не связывает; влияет только импорт X. Отрезок $(0;65)-(10;50)$ старой КТВ сохраняется. Из $(10;50)$ вправо можно сдвинуться по старой КТВ только на 16 по оси X: при $x = 26$ потребление $y = 50 - 24 = 26$, отрезок $(10;50)-(26;26)$ принадлежит новой КТВ. При $x > 26$ страна наращивает производство X (альт. издержки > 1,5), используя торговлю по максимуму (импорт 16 X, экспорт 24 Y): КТВ при $x>26$ — сдвиг части КПВ правее $(10;50)$ на вектор $(16;-24)$. Новая КТВ — ломаная через $(0;65)$, $(26;26)$, $(36;6)$, $(38;0)$ (последний участок наклон 3 через $(36;6)$ даёт $x = 36 + 6/3 = 38$). [10/11 класс — лимит оборота 960.] При оптимуме стоимость импорта = стоимости экспорта, поэтому ограничение эквивалентно: импорт ≤ 480 и экспорт ≤ 480 тугриков. Значит импорт и экспорт X ≤ 16, импорт и экспорт Y ≤ 24 (достаточно ограничений по X). При $x=10$ экспорт ≤ 10 < 16 — влияет только импорт X. Дальнейшее построение совпадает с версией 9 класса: новая КТВ — ломаная через $(0;65)$, $(26;26)$, $(36;6)$, $(38;0)$. г) (9 класс) При оптимуме страна тратит всю валютную выручку от экспорта на импорт, поэтому стоимость импорта равна стоимости экспорта, и две санкции эквивалентны. КТВ та же, что в в); ответ не меняется.

а) 2120 год при $r=5$: $250 - 100P - 50 = 100P \Rightarrow 200 = 200P \Rightarrow P = 1$. 2121 год при $r=5$: $250 - 100P - 50 = 100P - 50 \Rightarrow 250 = 200P \Rightarrow P = 1{,}25$. Инфляция $\pi = (1{,}25 - 1)/1\cdot 100\% = 25\%$. Ответ: 25%. б) Нужен $P = 1{,}05$: $250 - 100\cdot 1{,}05 - 10r = 100\cdot 1{,}05 - 50 \Rightarrow 300 - 210 = 10r \Rightarrow r = 9$. Ответ: 9%. в) Потенциальный ВВП = равновесный ВВП 2120 (долгосрочное равновесие): $Y^* = 100\cdot 1 = 100$. Способ 1. Равновесие при ставке $r$: $250 - 100P - 10r = 100P - 50 \Rightarrow P = (300 - 10r)/200$; $Y = 100P - 50 = 100 - 5r$; $\pi = 100(P-1) = 50 - 5r$. Потери: $L(r) = 8(45 - 5r)^2 + (5r)^2 = 25(8(9-r)^2 + r^2)$. Минимум: $L'(r) = 50(-8(9-r) + r) = 0 \Rightarrow -72 + 9r = 0 \Rightarrow r = 8$. Это минимум (парабола ветвями вверх). Инфляция $\pi = 50 - 5\cdot 8 = 10$. Способ 2. Из предложения $Y = 50 + \pi$, потери $L(\pi) = 8(\pi-5)^2 + (\pi - 50)^2$, минимум $\pi = 10$; ставка из $250 - 100\cdot 1{,}1 - 10r = 100\cdot 1{,}1 - 50 \Rightarrow r = 8$. Ответ: ставка 8%, инфляция 10%. Комментарий: заботясь о ВВП, ЦБ соглашается на бо́льшую инфляцию (10 > 5) и более мягкую политику (8 < 9) — это и есть средство поддержать выпуск в краткосрочном периоде (аналог «двойного мандата» ФРС США).

а) Спрос по двум точкам $(40;20)$ и $(50;10)$: $Q_D = 60 - P$. Пусть $Q_S(P) = a + bP$. Из прохождения через $(50;10)$: $10 = a + 50b$. Из эластичности: $5 = b\cdot P/Q = b\cdot 50/10 = 5b \Rightarrow b = 1$. Тогда $a = 10 - 50 = -40$, и $Q_S = P - 40$. При субсидии 10 предложение сдвигается: $Q_S(P+10) = P + 10 - 40 = P - 30$. Новое равновесие: $60 - P = P - 30 \Rightarrow P = 45$. Цена будет 45, а не 40. (Альтернативно: $Q_D(P) = Q_S(P)+10$ по объёму при цене потребителя — тот же ответ 45.) Ответ: 45. б) При ставке $s$: $Q_S(P+s) = P + s - 40$. Равновесие $60 - P = P + s - 40 \Rightarrow P = (100 - s)/2$. Нужно $P = 40 \Rightarrow s = 20$. Расходы: $s\cdot Q = 20\cdot 20 = 400$ (при $P=40$ объём $Q = 60-40 = 20$). Ответ: $s = 20$, расходы 400. Продвинутое решение б) через распределение бремени: для линейных функций $T_C/T_P = |E_D|/E_S$, где $T_C, T_P$ — части субсидии потребителю и производителю. Эластичность спроса в точке $(50;10)$ по модулю равна 5, поэтому $T_C/T_P = 5/5 = 1$. Нужно снизить цену потребителя на 10, значит $T_C = 10$, тогда $T_P = 10$ и $s = T_C + T_P = 20$. Комментарий: субсидии 10 хватает лишь чтобы по цене 40 произвели прежнее малое количество 10; но при цене 40 спрос 20 > 10, дефицит толкает цену к 45. Чтобы 40 стала равновесной, нужно стимулировать выпуск 20, а для этого требуется бо́льшая ставка.

Экономические издержки трёх вариантов (включая альтернативную стоимость времени): $C_1(w) = 600 + w/2 + 3w/4 = 600 + 5w/4$ (поход в магазин 30 мин $= w/2$ и готовка 45 мин $= 3w/4$); $C_2(w) = 600 + 500 + 3w/4 = 1100 + 3w/4$ (доставка продуктов + готовка); $C_3(w) = 1200 + 500 = 1700$. 1) Вариант 2 лучше 1 при $C_2 < C_1$: $1100 + 3w/4 < 600 + 5w/4 \Rightarrow w/2 > 500 \Rightarrow w > 1000$. (Короче: оба варианта с готовкой, 2 выгоднее, если плата за доставку 500 меньше альт. стоимости похода в магазин $w/2$.) 2) Вариант 3 лучше 2 при $C_3 < C_2$: $1700 < 1100 + 3w/4 \Rightarrow w > 800$. (Короче: оба с доставкой, 3 выгоднее, если наценка готовой еды $1200-600=600$ меньше альт. стоимости готовки $3w/4$.) 3) Вариант 2 не оптимален ни при каком $w$: при $w < 1000$ он хуже 1, при $w > 800$ — хуже 3, а хотя бы одно из этих неравенств выполнено всегда. 4) Сравниваем 1 и 3: $C_1 < C_3 \Rightarrow 600 + 5w/4 < 1700 \Rightarrow w < 880$. Ответ: при $w < 880$ — вариант 1; при $w = 880$ — варианты 1 и 3; при $w > 880$ — вариант 3. Комментарий: при большой зарплате Савва пользуется доставкой не потому, что денег больше (их хватает всегда), а потому, что выше ценит своё время.

а) Закрытая экономика: $Y = C + I + G$, $C = 10 + (2/3)Y_d$, $Y_d = Y - T = 0{,}75Y$ (налог $T = 0{,}25Y$), $I = 40$. Уравнение: $Y = 10 + (2/3)\cdot 0{,}75Y + 40 + G = 50 + 0{,}5Y + G \Rightarrow Y = 100 + 2G$. Для $Y = Y^* = 300$: $100 + 2G_1 = 300 \Rightarrow G_1 = 100$. Сальдо $B = T - G = 0{,}25(100 + 2G) - G = 25 - 0{,}5G$. Сбалансированный бюджет $B = 0$: $25 - 0{,}5G_2 = 0 \Rightarrow G_2 = 50$. Ответ: $G_1 = 100$, $G_2 = 50$. б) Подставляем $Y = 100 + 2G$ и $B = 25 - 0{,}5G$: $L(G) = (100 + 2G - 300)^2 + 4(25 - 0{,}5G)^2 = (2G - 200)^2 + 4(25 - 0{,}5G)^2 = 5(G^2 - 180G + 8500)$ — парабола ветвями вверх, минимум $G^* = 90$. Ответ: $G^* = 90$.

а) Пополняемый: $S_1 = 500 + 500\cdot 12\cdot 0{,}01 + 40\cdot 12 + 40\cdot 0{,}01\cdot(11+10+\dots+0) = 500 + 60 + 480 + 0{,}4\cdot 66 = 1066{,}4$ (проценты на пополнения: вклад месяца лежит соответственно 11,…,0 месяцев). Непополняемый: $S_2 = 500 + 500\cdot 12\cdot 0{,}015 + 40\cdot 12 = 500 + 90 + 480 = 1070$. Непополняемый выгоднее. б) Пополняемый: $S_1 = A + A\cdot 12\cdot 0{,}01 + 12b + b\cdot 0{,}01\cdot(11+\dots+0) = 1{,}12A + 12{,}66b$. Непополняемый: $S_2 = A + A\cdot 12\cdot 0{,}015 + 12b = 1{,}18A + 12b$. Пополняемый выгоднее при $S_1 \ge S_2$: $1{,}12A + 12{,}66b \ge 1{,}18A + 12b \Rightarrow 0{,}66b \ge 0{,}06A \Rightarrow k = A/b \le 11$. Значит при $5 \le k \le 11$ — пополняемый, при $11 < k \le 15$ — непополняемый. Доля пополняемого: $10\% + 20\% + 30\% = 60\%$. Ответ: 60%. Примечание: в а) $k = 500/40 = 12{,}5 > 11$, поэтому непополняемый выгоднее (согласуется с б)).

Суммарные плоды $y_1 + y_2 = 6 - x_1^2 - x_2^2/8$ при $x_1 + x_2 = X$, $x_1 \in [0;2]$, $x_2 \in [0;4]$. а) $X = 3$: максимизируем $6 - x_1^2 - (3 - x_1)^2/8$ на $[0;2]$. Вершина параболы ветвями вниз $x_1^* = 1/3 \in [0;2]$ (второе племя даёт $8/3 \in [0;4]$). Плоды $6 - (1/3)^2 - (8/3)^2/8 = 5$. Ответ: 5. (Альт. издержки: племя 1 — $2x_1$, племя 2 — $x_2/4$; приравнивание даёт ту же точку.) б) $X = 5$: второе племя не может добыть больше 4, значит $x_1 \ge 1$, оптимизируем на $[1;2]$. Вершина $x_1 = 5/9 < 1$, оптимум на границе $x_1^* = 1$ (второе племя даёт все 4). Плоды $6 - 1 - 16/8 = 3$. Ответ: 3. в) Для произвольного $X \in [0;6]$: максимизируем $6 - x_1^2 - (X - x_1)^2/8$. Вершина $x_1 = X/9$. При $X \le 4$ оптимизация на $[0;2]$, $X/9 \in [0;2]$ всегда, $x_1^* = X/9$. При $X > 4$ — на $[X-4; 2]$, и $X/9 \ge X - 4 \Leftrightarrow X \le 4{,}5$. Случай $X \le 4{,}5$: $x_1^* = X/9$, $y = 6 - (X/9)^2 - (8X/9)^2/8 = 6 - X^2/9$. Случай $X > 4{,}5$: $x_1^* = X - 4$ (вершина левее отрезка, оптимум в левом конце), $y = 4 - (X-4)^2$. КПВ острова: $y = 6 - X^2/9$ при $X \le 4{,}5$; $y = 4 - (X-4)^2$ при $4{,}5 \le X \le 6$. Примечание: в точке $(4{,}5; 3{,}75)$ излома нет — наклон с обеих сторон стремится к единице. Альт. издержки не постоянны (стремятся к нулю при малых $x$), поэтому метод «порядка специализации» (как для линейных КПВ) неприменим; при $X<4{,}5$ племя 1 производит лишь $1/9$ объёма, племя 2 — $8/9$.

Прибыль до налога $\pi_0(Q) = (15 - Q)Q - 5Q = 10Q - Q^2$ — парабола ветвями вниз, $Q^* = 5$, $\pi_0 = 25$. а) Чистая прибыль $\pi_{net} = (1 - 0{,}2)\pi_0 = 0{,}8\cdot 25 = 20$. Ответ: 20. б) При уклонении на $x$: фирма платит налог $t(\pi_0 - x)$ и неофициально $0{,}01x^2$. Целевая функция $\pi_{net}(Q,x) = (1-t)\pi_0(Q) + tx - 0{,}01x^2 = 0{,}8(10Q - Q^2) + 0{,}2x - 0{,}01x^2$ — сумма двух независимых парабол ветвями вниз, вершины $Q^* = 5$ (не меняется) и $x^* = 0{,}2/0{,}02 = 10$. Прибыль $0{,}8\cdot 25 + 0{,}2\cdot 10 - 0{,}01\cdot 100 = 20 + 2 - 1 = 21$. Ответ: 21. в) При ставке $t$: $\pi_{net}(Q,x) = (1-t)(10Q - Q^2) + tx - 0{,}01x^2$, вершины $Q^* = 5$ и $x^* = t/0{,}02 = 50t$ (строго $x^* = \min\{50t; \pi_0\}$). Сборы $T(t) = t(\pi_0 - x^*) = t(25 - 50t)$ — парабола ветвями вниз, вершина $t^* = 25/100 = 0{,}25$. Ответ: $t^* = 25\%$.

Обратный спрос $P = 24 - Q/2$, выручка от творога $(24 - Q/2)Q$. Суммарный доход $D = (24 - Q/2)Q + 2\cdot t_f$, где $t_f$ — часы уроков. Так как $h(Q) + t_f = 50$, $h(Q) = Q^2/2$: $D(Q) = (24 - Q/2)Q + 2(50 - Q^2/2) = 24Q - 3Q^2/2 + 100$. При этом $Q \in [0; 10]$, т.к. максимум выпуска из ограничения времени $\sqrt{50\cdot 2} = 10$. а) Парабола ветвями вниз, вершина $Q = 24/(2\cdot 3/2) = 8 \in [0;10]$. Доход $D_0 = 24\cdot 8 - 1{,}5\cdot 64 + 100 = 196$. Ответ: $Q^* = 8$, доход 196. б) Новый обратный спрос $P = 36 - Q/2$, доход $D = 36Q - 3Q^2/2 + 100$. Вершина $Q = 36/3 = 12$ правее $[0;10]$, оптимум на правой границе $Q^* = 10$. Доход $D_1 = 36\cdot 10 - 1{,}5\cdot 100 + 100 = 310$. С учётом платы Печкину нетто $310 - 115 = 195 < 196$, соглашаться не стоит. Ответ: $Q^* = 10$, нет. в) Печкин берёт 1/3 выручки, доход Шарика $D = \tfrac{2}{3}(36 - Q/2)Q + 2(50 - Q^2/2) = 24Q - 4Q^2/3 + 100$. Вершина $Q = 24/(8/3) = 9 \in [0;10]$. Доход $D_2 = 24\cdot 9 - \tfrac{4}{3}\cdot 81 + 100 = 216 - 108 + 100 = 208 > 196$, соглашаться стоит. Ответ: $Q^* = 9$, да. Примечание: те же ответы даёт максимизация экономической прибыли от творога (выручка минус неявные издержки — упущенный доход от уроков): она отличается от суммарного дохода лишь на константу 100, поэтому оптимальные выпуски совпадают.

а) 2019 год: $55 - P = P - 11 \Rightarrow P_{19} = 33$, $Q_{19} = 22$. В первом полугодии 2020 цена $P_{20} = 4\cdot 33 = 132$; объём из неизменного предложения $Q_{20} = 132 - 11 = 121$. Параллельный сдвиг спроса сохраняет единичный наклон: $Q_D = a - P$. Из $121 = a - 132 \Rightarrow a = 253$. Спрос 2020: $Q_D = 253 - P$. б) Во втором полугодии 2020 цена вернулась к $P = 33$, равновесное количество $Q = 253 - 33 = 220$. Предложение 10 фирм $Q_S = P - 11$, индивидуальное $q_S = 0{,}1(P - 11)$; при $P = 33$ каждая фирма производит $q = 0{,}1\cdot 22 = 2{,}2$. Всего фирм $220/2{,}2 = 100$, вошло $100 - 10 = 90$ новых фирм. в) Спрос снова $Q_D = 55 - P$, рыночное предложение 100 фирм $Q_S = 100\cdot 0{,}1(P-11) = 10P - 110$. Равновесие $55 - P = 10P - 110 \Rightarrow 11P = 165 \Rightarrow P = 15$. Примечание: после пандемии цена (15) может оказаться ниже доковидной (33) из-за наращённых мощностей; со временем часть фирм уйдёт, и цена вернётся к уровню 2019.

а) Фирма максимизирует $\pi(q) = Pq - q^2 - 4$ (парабола ветвями вниз), оптимум $q^*(P) = P/2$ — это функция предложения фирмы. В долгосрочном равновесии прибыль нулевая: $\max\pi = 0{,}25P^2 - 4 = 0 \Rightarrow P = 4$. (Эквивалентно $P = MC = AC$: $MC = 2q$, $AC = q + 4/q$, из $2q = q + 4/q$ следует $q^* = 2$, $P = 4$; или $\min AC$ при $q=2$.) Спрос $D_0(4) = 36$, каждая фирма даёт $q^*(4) = 2$, число фирм $36/2 = 18$. Ответ: $P = 4$, $Q = 36$, $N = 18$. б) Предложение фирмы $q^* = 0{,}5P$, рыночное предложение 18 фирм $Q_S = 9P$. Краткосрочное равновесие: $400 - P = 9P \Rightarrow P = 40$, $Q = 360$. Ответ: $P = 40$, $Q = 360$. в) В долгосрочном равновесии цена та же ($P = 4$, не зависит от спроса). Спрос $D_1(4) = 396$, фирма даёт 2, число фирм $396/2 = 198$. Ответ: $P = 4$, $Q = 396$, $N = 198$.

а) В долгосрочном равновесии $\Delta Y = 0$, то есть $I = 30$. По расходам: $Y = C + I + G = (0{,}6Y + 10) + 30 + 60 \Rightarrow Y^* = 250$. Ответ: $Y^* = 250$. б) Стимулирующая политика ⇒ госзакупки растут на 10%, то есть на 6 (до 66). $Y = (0{,}6Y + 10) + 30 + 66 \Rightarrow Y^{**} = 265$. Через мультипликатор: $\Delta Y = \Delta G\cdot\frac{1}{1 - mpc} = 6\cdot\frac{1}{1 - 0{,}6} = 15$, $Y^{**} = 250 + 15 = 265$. Ответ: $Y^{**} = 265$. в) Применим формулу ВВП по расходам в 2020 без предположения о стабильности: $Y_{20} = (0{,}6Y_{20} + 10) + (30 + 0{,}15(Y_{20} - Y_{19})) + 66 \Rightarrow Y_{20} = 424 - 0{,}6Y_{19}$. При $Y_{19} = Y^* = 250$: $Y_{20} = 424 - 150 = 274$. Ответ: $Y_{20} = 274$. Примечание: $Y_{20} > Y^{**}$ — краткосрочный эффект сильнее долгосрочного из-за оптимизма инвесторов; со временем колебания затухают, инвестиции возвращаются к 30.

а) Без налога: $20 - P = P/3 \Rightarrow P = 15$. При налоге $t$ новая цена потребителей $P_D$: $20 - P_D = (P_D - t)/3$. Требуется $P_D = 15\cdot 1{,}2 = 18$, тогда $20 - 18 = (18 - t)/3 \Rightarrow t = 12$. Ответ: $t = 12$. б) Сборы $T = tQ$. До налога $Q_0 = 20 - 15 = 5$, благосостояние $0{,}5Q_0^2 + 1{,}5Q_0^2 + 0 - aQ_0^2 = 50 - 25a$. После налога $Q_1 = 20 - 18 = 2$, благосостояние $0{,}5Q_1^2 + 1{,}5Q_1^2 + tQ_1 - aQ_1^2 = 8 + 24 - 4a = 32 - 4a$. Падение на 20%: $32 - 4a = 0{,}8(50 - 25a) \Rightarrow a = 0{,}5$. Ответ: $a = 1/2$. в) Чтобы получить объём $Q$, нужна ставка $t(Q) = P_D(Q) - P_S(Q) = (20 - Q) - 3Q = 20 - 4Q$. Сборы $Q(20 - 4Q)$. Благосостояние $W(Q) = 0{,}5Q^2 + 1{,}5Q^2 + Q(20 - 4Q) - aQ^2 = 20Q - 2{,}5Q^2$ (при $a = 0{,}5$) — парабола ветвями вниз, максимум при $Q^* = 20/5 = 4$. Реализующая ставка $t(4) = 20 - 16 = 4$. Ответ: $t^* = 4$. Примечание: $MSC > MPC$ ($4Q > 3Q$), корректирующий налог максимизирует благосостояние, снижая выпуск с 5 до 4. Налог Греты ($t = 12$) слишком высок — сокращает выпуск до 2, благосостояние падает даже относительно исходной ситуации.

а) Каждый житель A производит 0,5 кг помидоров и 0,5 кг огурцов ⇒ 0,5 порции. Всего в регионе 3000 кг каждого овоща (6000 кг салата). КПВ региона: $T + C = 6000$. Ответ: 0,5 порции. б) Пусть $n_T, n_C$ — работники на помидорах и огурцах: $T = 0{,}8n_T$, $C = kn_C$, $n_T + n_C = 1000$. КПВ: $T/0{,}8 + C/k = 1000$. Приравнивая $T = C$: $T = C = 1000k/(1{,}25k + 1)$. На жителя — $k/(1{,}25k + 1)$ порции. Ответ: $k/(1{,}25k + 1)$ порции. в) Альтернативная стоимость 1 кг помидоров: в A — 1 кг огурцов, в B — $1{,}25k$ кг огурцов. Вид суммарной КПВ зависит от того, $k \le 0{,}8$ или $k > 0{,}8$. Случай $k \le 0{,}8$: луч $T = C$ пересекает нижний участок КПВ $C = 6800 - T$ ⇒ $T = C = 3400$. Случай $k > 0{,}8$: луч пересекает верхний участок $C = 6000 + 1000k - T$ ⇒ $T = C = 3000 + 500k$. Итог: $S = T = C = 3400$ при $k \le 0{,}8$; $S = 3000 + 500k$ при $k \in (0{,}8; 6]$. г) Потребление на жителя при планировании $S/7000$: $34/70$ при $k \le 0{,}8$; $(6+k)/14$ при $k > 0{,}8$. Так как $34/70 < 35/70 = 0{,}5$, при $k \le 0{,}8$ жители A проигрывают. При $k > 0{,}8$ — если $(6+k)/14 < 0{,}5$, т.е. $k < 1$. Итог: жители A проигрывают при $k \in (0; 1)$. д) При $k \le 0{,}8$ жители B проигрывают, если $34/70 < k/(1{,}25k + 1)$, т.е. $68 < 55k$ — невозможно при $k \le 0{,}8$, значит не проигрывают. При $k \in (0{,}8; 6]$: $(6+k)/14 < k/(1{,}25k + 1)$ ⇒ $5k^2 - 22k + 24 < 0$. Корни $k = 2$ и $k = 12/5 = 2{,}4$. Так как $2{,}4 < 6$, ответ: жители B проигрывают при $k \in (2; 2{,}4)$. Примечание: при свободной торговле никому не стало бы хуже; при «уравниловке» же любой регион может пострадать, даже если суммарное производство растёт. При $k > 6$ ни один регион не проигрывает, поэтому ответы г) и д) верны и для всех $k > 0$.

Используется формула для двух групп: $G = p - s$, где $p$ — доля более бедной группы в населении, $s$ — её доля в суммарном доходе (выводить не требуется). а) Бедные среди {бедные + средний класс}: доля в населении $0{,}4/(0{,}4+0{,}2) = 2/3$, доля в доходе $0{,}1/(0{,}1+0{,}2) = 1/3$. $G = 2/3 - 1/3 = 1/3$. Ответ: $1/3$. б) Богатые: 40% населения и 70% дохода всей страны. Среди {средний класс + богатые} более бедная группа — средний класс: доля в населении $0{,}2/(0{,}4+0{,}2) = 1/3$, доля в доходе $0{,}2/(0{,}7+0{,}2) = 2/9$. $G = 1/3 - 2/9 = 1/9$. Ответ: $1/9$. в) Считаем коэффициенты Джини всей страны после вмешательства. Первый вариант: бедные и средний класс сливаются в единую более бедную группу — 60% населения, 30% дохода: $G_1 = (0{,}4+0{,}2) - (0{,}1+0{,}2) = 0{,}3$. Второй вариант: бедные (более бедная группа) — 40% населения, 10% дохода: $G_2 = 0{,}4 - 0{,}1 = 0{,}3$. Значит, варианты равнозначны. Примечание: то, что Джини между бедными и средним классом ($1/3$) больше, чем между средним классом и богатыми ($1/9$), наталкивает на мысль, что первый вариант предпочтительнее — но пункт в) показывает, что это не обязательно так.

а) Функция прибыли $\pi = (30 - P_A)P_A + (10 - P_B)P_B$ — сумма двух независимых парабол ветвями вниз; максимум достигается, когда максимальна каждая. Это происходит при $P_A^* = 15$ и $P_B^* = 5$. Ответ: $P_A^* = 15$, $P_B^* = 5$. б) В пункте а) цена в стране A выше, поэтому прежним способом максимизировать прибыль фирма не сможет. Она назначит одинаковые цены на обоих рынках, то есть столкнётся с общей функцией спроса: $Q = 30 - P$ при $10 \le P \le 30$; $Q = 40 - 2P$ при $0 \le P \le 10$. Прибыль: $\pi = (30 - P)P$ при $10 \le P \le 30$; $\pi = (40 - 2P)P$ при $0 \le P \le 10$. На первом участке фирма работает только на рынке A: как и в а), оптимум $P = 15$, прибыль 225. На втором участке ($P \le 10$) обслуживаются оба рынка. Парабола $(40 - 2P)P$ ветвями вниз, максимум в точке $P = 10$, прибыль 200 — меньше 225. При такой цене на рынке B продаж нет, а на рынке A прибыль не максимальна. Следовательно, цена в обеих странах будет 15. Цена в стране A не изменится — президент своей цели не добьётся. Примечание: цена в стране B может быть и выше 15 (это не нарушает правило $P_A \le P_B$), но не имеет значения, так как спроса и выручки в B всё равно нет.

а) Система потоков в равновесии: $\Delta E = 0{,}25U + 0{,}1N - 0{,}05E = 0$; $\Delta N = 0{,}2U - 0{,}1N = 0$; $\Delta U = -0{,}25U + 0{,}05E - 0{,}2U = 0$ (любые два достаточны). Из $\Delta U$: $0{,}05E = 0{,}45U \Rightarrow E = 9U$, $u = U/(U+E) = 10\%$. Из $\Delta N$: $N = 2U$, доля ЭАН $= 10U/12U = 5/6$. б) На начало года величины равны равновесным $E = 9U$, $N = 2U$. На конец года Z: безработные $U_Z = U + 0{,}05E\cdot2 - 0{,}25U/2 - 0{,}2U + 0{,}1N/2 = U + 0{,}9U - 0{,}125U - 0{,}2U + 0{,}1U = 1{,}675U$; занятые $E_Z = E - 2\cdot0{,}05E + 0{,}25U/2 + 0{,}1N/2 = 9U - 0{,}9U + 0{,}125U + 0{,}1U = 8{,}325U$. Фактический уровень безработицы $u_Z = 1{,}675U/(1{,}675U + 8{,}325U) = 1{,}675/10 = 16{,}75\%$. Закон Оукена: $\frac{Y_Z - Y^*}{Y^*}\cdot100\% = -\beta(u_Z - u^*) = -2\cdot(16{,}75\% - 10\%) = -2\cdot6{,}75\% = -13{,}5\%$. Ответ: фактический ВВП ниже потенциального на 13,5%.

В долгосрочном равновесии изменения нулевые: Система потоков: $\Delta E = 0{,}25U + 0{,}1N - 0{,}05E = 0$ (3.1); $\Delta N = 0{,}2U - 0{,}1N = 0$ (3.2); $\Delta U = -0{,}25U + 0{,}05E - 0{,}2U = 0$ (3.3). (Достаточно любых двух уравнений, третье — следствие, т.к. $\Delta E + \Delta N + \Delta U = 0$.) Уровень безработицы $u = U/(U+E)$. Из (3.3): $0{,}05E = 0{,}45U \Rightarrow E = 9U$, тогда $u = U/(U + 9U) = 10\%$. Из (3.2): $N = 2U$. Доля экономически активного населения $\frac{U+E}{U+E+N} = \frac{10U}{12U} = \frac{5}{6}$. Ответ: $u^* = 10\%$, доля ЭАН $= 5/6$.

а) Суммарный спрос: $Q_D = 190 - 2P$ при $P \le 40$; $150 - P$ при $40 < P \le 150$. Суммарное предложение: $Q_S = -60 + 2P$ при $P \ge 60$; $P$ при $0 \le P < 60$. Равновесие $P^* = 70$ (спрос = предложение = 80). При этой цене в Туле предложение > спроса, в Москве наоборот ⇒ экспорт из Тулы в Москву. (Можно и без расчёта: внутренняя цена в Туле ниже — 20 против 105 в Москве; экспорт идёт оттуда, где дешевле.) Ответ: $P^* = 70$, экспортирует Тула, импортирует Москва. Примечание: типичная ошибка — приравнять $IM = EX$ без учёта ограничений на цены: $210 - 2P = 2P - 40 \Rightarrow P = 62{,}5$, но при ней спрос в Туле отрицателен. Корректные функции импорта/экспорта кусочные и совпадают при $P = 70$ (импорт = экспорт = 70). б) При экспортной пошлине цены различаются: $P^M = P^T + t$. Из равенства экспорта и импорта $210 - 2P^M = 2P^T - 40 \Rightarrow P^T = 62{,}5 - t/2$. Условие равного потребления: $Q_D^M = Q_D^T \Rightarrow 150 - (P^T + t) = 40 - P^T \Rightarrow t = 110$. Проверка: $P^M = 117{,}5$, $P^T = 7{,}5$, потребление по 32,5, но экспорт/импорт $= -25 < 0$. Значит при такой пошлине никто не везёт товар, равновесие совпадает с автаркией. Цель недостижима. Другой довод: даже без торговли тульчане потребляют 20 против 45 в Москве; любой экспорт из Тулы лишь увеличивает разницу, сравнять потребление нельзя. Ответ: не удастся. в) Московская пошлина импортная, но логика та же: $P^M = P^T + t$, $P^T = 62{,}5 - t/2$. Условие равного предложения: $Q_S^M = Q_S^T \Rightarrow -60 + P^M = P^T \Rightarrow -60 + P^T + t = P^T \Rightarrow t = 60$. Проверка: $P^M = 92{,}5$, $P^T = 32{,}5$, предложение по 32,5, экспорт = импорт = 25 > 0. Цель достижима. Ответ: удастся, $t = 60$, в каждой губернии производится по 32,5 пряника. (Выиграли тульские потребители и московские производители; проиграли тульские производители и московские потребители.)

Спад: $Q = (90 - P)/5 \Rightarrow P = 90 - 5Q$. Из $Q = L/2$ выручка и издержки выражаются через $L$. Прибыль: $\pi(L_1, L_2) = (90 - L_1/2)\cdot L_1/2 + (90 - 5L_2/2)\cdot L_2/2 - (3 + L_1/4)L_1 - (3 + L_2/4)L_2 = (42L_1 - L_1^2/2) + (42L_2 - 3L_2^2/2)$. а) Сумма двух независимых парабол ветвями вниз: $L_1^* = 42/1 = 42$, $L_2^* = 42/3 = 14$. (Эквивалентно $MRP_L = MC_L$ в каждом периоде; функции $MRP_L$ убывают, $MC_L$ возрастают ⇒ максимум.) Ответ: 42 и 14. б) Та же $\pi(L_1,L_2)$ при ограничении $L_2 \ge 0{,}5L_1$. Глобальный оптимум (42,14) ему не удовлетворяет; так как прибыль убывает в любом направлении от максимума, оптимум лежит на границе $L_2 = 0{,}5L_1$: $\pi(L_1, 0{,}5L_1) = 42L_1 - L_1^2/2 + 21L_1 - 3(L_1/2)^2/2 = 63L_1 - 7L_1^2/8$ — парабола ветвями вниз, $L_1^* = 63/(7/4) = 36$, тогда $L_2^* = 18$. Ответ: 36 и 18. в) Сумма занятых: в а) $42 + 14 = 56$; в б) $36 + 18 = 54 < 56$. Благосостояние работников упало. Примечание: предвидя сложности с увольнением, монополист изначально нанимает меньше работников — это и снижает их благосостояние.

а) $\pi_0(Q) = (20 - Q/2)Q - 10Q = 10Q - Q^2/2$ — парабола ветвями вниз, вершина $Q = 10$. На допустимом $[0;8]$ функция возрастает, оптимум $Q_0^* = 8$, прибыль $\pi_0(8) = 80 - 32 = 48$. (Эквивалентно: $MR = 20 - Q$, $MC = 10$; при всех $Q \le 8$ $MR > MC$, выгодно производить все 8; пересечение $MR = MC$ при $Q = 10$ недостижимо.) Ответ: 48. б) План А: $TC = 0{,}6\cdot10Q + X = 6Q + X$. $\pi_1(Q) = (20 - Q/2)Q - 6Q - X = 14Q - Q^2/2 - X$, вершина $Q = 14$, на $[0;8]$ возрастает, $Q_1^* = 8$, $\pi_1(8) = 112 - 32 - X = 80 - X$. Готовность платить: $80 - X \ge 48 \Rightarrow X \le 32$. Ответ: 32. в) Функция прибыли прежняя ($\pi_0$), отрезок расширился до $[0;12]$, который теперь содержит вершину $Q = 10$. Оптимум $Q = 10$, прибыль $\pi_0(10) - X = 50 - X$. $50 - X \ge 48 \Rightarrow X \le 2$. Ответ: 2. г) Меняются и функция, и отрезок: $\pi_1(Q) = 14Q - Q^2/2 - X$ на $[0;12]$. Вершина $Q = 14$ правее отрезка ⇒ возрастает, $Q^* = 12$, $\pi_1(12) = 12\cdot8 - X = 96 - X$. $96 - X \ge 48 \Rightarrow X \le 48$. Ответ: 48. Примечание: ответ в г) больше суммы б) и в) (32 + 2 = 34) из-за синергии: чем больше можно выпустить, тем выгоднее снижение себестоимости. Плату $X$ можно учитывать в конце как разность прибылей — это корректно.

Луч $x = y$ пересекает КПВ на «среднем» участке ⇒ точка $(48;48)$ выше КПВ. КПВ вогнута. КПВ регионов $y = a(24-x)$, $y = b(24-x)$, $y = c(24-x)$; самый правый участок $y = a(72-x)$, пересечение с $x=y$ при $x = 72a/(a+1) < 48 \Rightarrow a < 2$. Альтернативные издержки в одном из регионов равны 1 (стране безразличен выпуск там после открытия). Три случая: Случай A ($a=1$): максимум бананов $24(a+b+c) < 24\cdot3 = 72 < 104$ — противоречие. Случай B ($b=1$): средний участок имеет наклон 1, при открытии торговли потребление не меняется ($w=0$) — противоречие; либо: вся КПВ под $y = 96 - x$ ⇒ максимум бананов < 96 < 104 — противоречие. Случай C ($c=1$): верхний участок КПВ $y = 104 - x$ совпадает по наклону с линией обмена. Потребление после открытия — из пересечения $y = 104 - x$ и $x = y$: $x = y = 52$. Потребление в автаркии: точка излома $(24;80)$ и точка $(72;0)$ на КПВ; прямая через них $y = 120 - 5x/3$; КПВ вогнута ⇒ лежит не ниже этой прямой ⇒ автарктическое потребление $\ge$ пересечения $y = 120 - 5x/3$ с $x=y$, равного 45. С другой стороны $(48;48)$ выше КПВ ⇒ автарктическое потребление < 48. Значит автаркия $\in (45; 48)$ (границы не включаются: 48 — иначе точка на КПВ; 45 — иначе $a=b$). Выигрыш $w = 52 - (\text{автаркия}) \in (52-48;\ 52-45) = (4; 7)$. Ответ: $w \in (4; 7)$.

Луч $x = y$ пересекает КПВ страны на «среднем» участке (каждый товар производится более чем в одном регионе) ⇒ точка $(40;40)$ лежит выше КПВ, точка $(20;20)$ — ниже. КПВ страны вогнута (сумма линейных КПВ, закон возрастающих альтернативных издержек). Верхняя граница: точка $(40;40)$ выше КПВ, $(60;0)$ на КПВ ⇒ вся КПВ под прямой $y = 120 - 2x$ ⇒ максимум бананов меньше 120. Нижняя граница: $(20;20)$ ниже КПВ, КПВ вогнута ⇒ КПВ выше ломаной через $(0;20),(20;20),(60;0)$ ⇒ максимум бананов больше 20. Аналитически: КПВ регионов $y = a(20 - x)$, $y = b(20 - x)$, $y = c(20 - x)$. Самый правый участок (наклон $a$): $y = a(60 - x)$, пересечение с $x = y$ при $x = 60a/(a+1) < 40 \Rightarrow a < 2 \Rightarrow T = 20(a+b+c) < 20\cdot3a < 120$. Самый левый участок (наклон $c$): пересечение при $x = 20(a+b+c)/(c+1) > 20 \Rightarrow a+b > 1 \Rightarrow T = 20(a+b+c) > 20$. Все промежуточные значения достижимы. Границы не включаются: 20 — иначе альтернативные издержки в двух регионах равны (или одна из них равна 0); 120 — иначе все три равны. Ответ: $T \in (20; 120)$.

Равновесие: автомобилисту не выгодно пересесть на метро ($11+2n \le 50$) и пассажиру метро не выгодно пересесть на авто ($50 \le 11 + 2(n+1)$). а) $n \le 19{,}5$ и $n \ge 18{,}5$ ⇒ $n = 19$. Время на авто $11 + 38 = 49$ мин. Суммарно $49\cdot19 = 931$ мин. б) $9 + 2n \le 50$ и $50 \le 9 + 2(n+1)$ ⇒ $19{,}5 \le n \le 20{,}5$ ⇒ $n = 20$. Время $9 + 40 = 49$ мин, суммарно $49\cdot20 = 980$ мин — больше, чем без развязки! Рост пропускной способности привлёк больше водителей. в) $11 + 2n \le 40$ и $40 \le 11 + 2(n+1)$ ⇒ $13{,}5 \le n \le 14{,}5$ ⇒ $n = 14$. Время $11 + 28 = 39$ мин, суммарно $39\cdot14 = 546$ мин. Ускорение метро снижает пробки. г) $11 + 2n + 10 \le 50$ и $50 \le 11 + 2(n+1) + 10$ ⇒ $13{,}5 \le n \le 14{,}5$ ⇒ $n = 14$ (как в в)). Время $11 + 28 + 10 = 49$ мин, суммарно $49\cdot14 = 686$ мин. Затруднение парковки снижает пробки. д) Даже все 10 владельцев электромобилей: время $11 + 20 = 31 < 50$ — все 10 едут на авто, 40 на метро. Суммарно $31\cdot10 = 310$ мин. Альтернативно (а–г): приравнять время $11 + 2n = 50$ и т. п., получить дробное $n$, округлить вниз (отправка «колеблющегося» на метро сохраняет равновесие).

Прибыль фирмы $\pi = Pq - WL = Pq - Wq^2$ — парабола ветвями вниз, максимум $q = P/(2W)$. (Эквивалентно через $L$: $\pi = P\sqrt{L} - WL$, $L = (P/(2W))^2$; убывающая производная / $MRP_L$ ⇒ максимум.) Совокупное предложение $N$ фирм: $Y_{AS} = NP/(2W)$. Равновесие $Y_{AD} = Y_{AS}$: $2M/P = NP/(2W) \Rightarrow P = 2\sqrt{MW/N}$. Реальная зарплата $W/P = \frac{1}{2}\sqrt{NW/M}$. При изменении $M$ с $M_0$ до $M_1$ (прочее неизменно): $\frac{(W/P)_1}{(W/P)_0} = \sqrt{M_0/M_1}$. Сдерживающая политика ⇒ деньги снижаются: $M_1 = 0{,}64 M_0$. Тогда отношение $= \sqrt{1/0{,}64} = 1{,}25$. Ответ: реальная зарплата выросла на 25%.

Прибыль $\pi = \sum_{i}(P_i q_i - 2q_i) - (1 + 2 + \dots + n)$. Обратный спрос $P_i = 20/\sqrt{q_i}$, сумма прогрессии $(n^2 + n)/2$: $\pi = \sum_i (20\sqrt{q_i} - 2q_i) - \frac{n^2 + n}{2}$. Каждое слагаемое — парабола по $\sqrt{q_i}$: при $\sqrt{q_i} = s$ имеем $20s - 2s^2$, вершина $s = 5$, то есть $q_i = 25$ (эквивалентно: $\frac{d}{dq}(20\sqrt{q} - 2q) = 10/\sqrt{q} - 2 = 0 \Rightarrow q = 25$; или через цену $P_i = 4$; или индекс Лернера: $|\varepsilon| = 2$, $MC = 2 \Rightarrow P_i = 4$). В каждый город продаётся 25 билетов по цене 4, независимо от $n$. Прибыль от одного города: $20\cdot5 - 2\cdot25 = 50$. Тогда $\pi(n) = 50n - \frac{n^2 + n}{2} = \frac{99n - n^2}{2}$ — парабола ветвями вниз, вершина $n = 49{,}5$. Число городов целое; 49 и 50 симметричны относительно 49,5, прибыль одинакова: $\pi = \frac{99\cdot50 - 50^2}{2} = \frac{4950 - 2500}{2} = 1225$. Ответ: 1225. Альтернативно: каждый новый маршрут даёт +50 выгоды, но стоит $k$ д.е.; открывать пока выгода $\ge$ издержек ⇒ 49 или 50 маршрутов, $\pi = 50\cdot49 - (1+\dots+49) = 1225$.

Без лоббирования страна имеет сравнительное преимущество в Игреке: внутренняя альтернативная стоимость 1 Игрека = 0,5 Икса, а на мировом рынке 1:1. Страна произведёт 200 Игреков и часть продаёт по курсу 1:1, получая КТВ без лоббирования: $x + y = 200$. Лоббировать рост цены Икса невыгодно: курс обмена сравняется с внутренними альтернативными издержками, выгод от торговли нет, а 50 Игреков потрачены. Лоббирование роста цены Игрека: страна тратит 50 Игреков, остаётся 150, но за каждый Игрек дают 2 Икса. КТВ с лоббированием: $x/2 + y = 150$ (формально: экспорт $e$ Игреков даёт $2e$ Икса, $y = 150 - e$, $x = 2e$). Какая КТВ выше: $200 - x \ge 150 - x/2 \Rightarrow x \le 100$. КТЛВ: $y = 200 - x$ при $0 \le x \le 100$; $y = 150 - x/2$ при $100 < x \le 300$ (1.1). Эквивалентная запись через сравнение по $x$: $y = 200 - x$ при $100 \le y \le 200$; $x = 300 - 2y$ при $0 \le y < 100$ (1.2). Графически: КТЛВ — верхняя огибающая двух КТВ (без и с лоббированием), излом в точке $(100;100)$. Примечание: точку $(100;100)$ можно отнести к любому из участков (КТЛВ непрерывна); указание границ $x,y \ge 0$, $x \le 300$, $y \le 200$ необязательно. По решению ЦПМК более сложные трактовки (многократное лоббирование и т. п.) при корректных расчётах тоже засчитываются.

Подставим $\pi = PQ - wL$, $P = 120 - Q$, $Q = 2L$, $w = 4L$, $u = (30 - L)/100\cdot100\% = 30 - L$: $G = (120 - 2L)\cdot2L - 4L\cdot L + 16(100 - (30 - L)) = -8L^2 + 256L + 1120$ — парабола ветвями вниз, вершина $L^* = 16$ ($G' = -16L + 256 = 0$; производная меняет знак с + на −, вторая производная $-16 < 0$ ⇒ максимум). Уровень безработицы $u^* = (100 - 70 - 16) = 14\%$. При максимизации прибыли $\pi = (120 - 2L)\cdot2L - 4L\cdot L = -8L^2 + 240L$ — вершина $L^{**} = 15$, $u^{**} = 30 - 15 = 15\%$. Разница: $15\% - 14\% = 1$ процентный пункт. Ответ: на 1 процентный пункт. Примечание: стандартные формулы монополии ($MR = MC$, индекс Лернера) здесь не работают, т.к. целевая функция — не прибыль. Можно максимизировать через $Q$, $P$ или $w$ (везде парабола ветвями вниз) с тем же итогом.

а) Пусть $t$ — ставка налога в 2016 году, $G$ — объём госзакупок; $Y_1$, $Y_2$ — ВВП при выборе первой и второй меры. Условие сбалансированности бюджета: первый вариант $2{,}5t\cdot Y_1 = G$; второй вариант $t\cdot Y_2 = G/3$. Отсюда $Y_1 = G/(2{,}5t)$, $Y_2 = G/(3t)$. Видно, что $Y_1 > Y_2$, то есть первая мера (повышение налога) снижает ВВП не так сильно, как вторая. б) Обозначим $Y_0$ — ВВП в 2016 году. Система: $Y_0 = 50 + (2/3)(Y_0 - tY_0) + 50 + G$; $Y_1 = 50 + (2/3)(Y_1 - 2{,}5tY_1) + 50 + G$; $Y_2 = 50 + (2/3)(Y_2 - tY_2) + 50 + G/3$; $2{,}5t\cdot Y_1 = G$; $t\cdot Y_2 = G/3$. Подставляя $2{,}5tY_1 = G$ во второе уравнение: $Y_1 = 50 + (2/3)(Y_1 - G) + 50 + G$, откуда $Y_1 = 300 + G$. Аналогично $Y_2 = 300 + G/3$. Деля четвёртое уравнение на пятое: $Y_1/Y_2 = 6/5$, значит $5(300 + G) = 6(300 + G/3)$, откуда $G = 100$, $Y_1 = 400$, $t = 10\%$. Из первого уравнения: $Y_0 = 50 + (2/3)\cdot 0{,}9 Y_0 + 50 + 100$, откуда $Y_0 = 200/0{,}4 = 500$. Сокращение ВВП при повышении налога $Y_0 - Y_1 = 500 - 400 = 100$ млрд р.

а) При эффективном распределении товар производят страны с минимальными альтернативными издержками. Альтернативные издержки производства Икса равны 1, 2, 3 и 4 единицы Игрека в странах 1–4 соответственно. Значит, Икс производят страны 1 и 2, Игрек — страны 3 и 4. Общее производство Икса: $190 + 80/2 = 230$; общее производство Игрека: $90 + 140 = 230$. Товары потребляются в пропорции 1∶1, то есть $k = 1$. (Тот же результат — через суммарную КПВ: точка, где две страны производят только Икс, имеет координаты (230; 230), через неё и начало координат проходит прямая с наклоном 1.) Страны 1 и 2 производят Икс и не экспортируют Игрек. Страна 3 производит 90 единиц Игрека и не может экспортировать 100. Значит, «страна N» — это страна 4. б) Страна 4 экспортирует 100 единиц Игрека и производит 140, для домашнего потребления остаётся 40 единиц Игрека, а 40 единиц Икса импортируется. В автаркии страна 4 производит равное количество Икса и Игрека: $4x_4 + y_4 = 140$ при $x_4 = y_4$, откуда $x_4 = y_4 = 28$. При торговле потребляла по 40 единиц. Значит, потребление комплектов сократилось на $40 - 28 = 12$ единиц. в) При торговле со страной 4 страны 1, 2 и 3 суммарно потребляли $230 - 40 = 190$ комплектов. После исключения страны 4 объёмы определяются пересечением суммарной КПВ стран 1, 2, 3 и прямой $y = x$. Суммарная КПВ — ломаная через точки (0; 360), (190; 170), (230; 90), (260; 0). Точка излома (190; 170) лежит ниже прямой $y = x$, пересечение — на первом участке $y = 360 - x$. Тогда $360 - x = x$, откуда $x = 180$. Суммарное потребление уменьшилось на $190 - 180 = 10$ единиц.

а) Пусть $n_1$ — число проектов с командой «1 опытный + 3 неопытных», $n_2$ — число проектов с двумя опытными, $n_1 + n_2 = N$. Обозначим $U$ — число неопытных, $E$ — число опытных. Тогда $U = 3n_1$, $E = n_1 + 2n_2$. Издержки $C = 100U + E(240 + E)$. Минимизируем при ограничениях $U = 3n_1$, $E = n_1 + 2n_2$, $n_1 + n_2 = N$. Способ (по $n_2$): подставляя $U$, $E$ и $n_1 = N - n_2$, получаем $C = n_2^2 - (60 - 2N)n_2 + N^2 + 540N$. Это парабола ветвями вверх, минимум в вершине $n_2^* = 30 - N$, если $n_2^* \in [0; N]$. При $N = 25$: $n_2^* = 5 \in [0; 25]$. Значит, на 5 проектов — только опытные, на 20 — группы «1 опытный + 3 неопытных». Всего $U = 3n_1 = 60$ неопытных и $E = n_1 + 2n_2 = 30$ опытных консультантов. (Аналогичные ответы получаются при минимизации по $n_1$, $U$ или $E$; в общем виде $E^* = 30$.) б) Фирма не нанимает неопытных, если $n_1 = 0$, $n_2 = N$, $U = 0$, $E = 2N$, то есть вершина минимизируемой параболы лежит на соответствующей границе допустимого интервала или за ней. Решая соответствующее неравенство ($n_2 = 2N - 30 \le 0$, или эквивалентные формы), во всех случаях получаем $N \le 15$. Фирма не будет нанимать неопытных работников, если общее число проектов не больше 15.

Чтобы определить долю $y$ дохода олигархов, получаемую долей $x$ наиболее бедных олигархов: 1) находим долю дохода всех олигархов; 2) долю дохода доли $x$ беднейших олигархов в общем доходе; 3) делим второе на первое. а) 90 % неолигархов получают $f(0{,}9) = 0{,}81$ всего дохода, олигархи — $1 - 0{,}81 = 0{,}19$. Доля $x$ беднейших олигархов составляет $0{,}1x$ населения; вместе с неолигархами — $0{,}9 + 0{,}1x$ населения, получают $(0{,}9 + 0{,}1x)^2$ дохода; без неолигархов — $(0{,}9 + 0{,}1x)^2 - 0{,}81 = 0{,}18x + 0{,}01x^2$. Тогда $y = (0{,}18x + 0{,}01x^2)/0{,}19 = (18/19)x + (1/19)x^2$. Эта кривая лежит ближе к линии равенства, чем $y = x^2$ (так как $(18/19)x + (1/19)x^2 > x^2$ при $x \in (0;1)$), значит коэффициент Джини среди олигархов меньше. (Расчётом: Джини страны $= 1/3$, среди олигархов $= 1/57 < 1/3$.) Среди олигархов неравенство меньше. б) Аналогично: $y = (f(0{,}9 + 0{,}1x) - f(0{,}9))/(1 - f(0{,}9)) = (\sqrt{0{,}1} - \sqrt{0{,}1 - 0{,}1x})/\sqrt{0{,}1} = 1 - \sqrt{1 - x}$. Кривая Лоренца среди олигархов имеет точно такой же вид, как во всей стране, значит коэффициент Джини среди олигархов такой же, как в стране в целом (он равен 1/3). в) Представим страну C, населённую только олигархами страны B. 1 % богатейших B — это 10 % богатейших C (олигархи среди олигархов). В пункте б) показано, что для страны B (и значит для C) кривая Лоренца среди олигархов совпадает со страновой. Значит, и среди 1 %, и среди 0,1 % богатейших жителей B коэффициент Джини одинаков и равен 1/3. (Свойство «кривая Лоренца для $a$% богатейших одинакова для любого $a$» характерно для распределения Парето $y = 1 - (1 - x)^\alpha$; для B $\alpha = 0{,}5$.)

а) Из-за госзакупок вырастет спрос на товар X и, следовательно, его равновесная цена. На рынке Z из-за введения налога тоже вырастет равновесная цена для потребителей. Так как цены всех товаров растут, политика приведёт к инфляции. б) Новый спрос на X: $X_D = 10/P_X + 15$. Новое равновесие: $10/P_X + 15 = 10P_X$, откуда $P_X^{2016} = 2$, $X^{2016} = 20$. На закупку 15 ед. X по цене 2 требуется $15 \cdot 2 = 30$ денежных единиц. С налогом $t$ предложение Z: $Z_S = 10(P_Z - t)$. Система: $40/P_Z = 10(P_Z - t)$ и $(40/P_Z)\cdot t = 30$. Решая, $P_Z^{2016} = 4$, $t = 3$. Ставка налога — 3 денежные единицы. в) Равновесия 2015 года: $10/P_X = 10P_X \Rightarrow P_X = 1$, $X = 10$; $40/P_Z = 10P_Z \Rightarrow P_Z = 2$, $Z = 20$. Таблица (цена, объём): 2015 — $P_X=1$, $X=10$, $P_Z=2$, $Z=20$; 2016 — $P_X=2$, $X=20$, $P_Z=4$, $Z=10$. Реальный ВВП 2015 (в ценах 2015): $1\cdot 10 + 2\cdot 20 = 50$. Реальный ВВП 2016 (в ценах 2015): $1\cdot 20 + 2\cdot 10 = 40$. Реальный ВВП упадёт на 20 %. г) ИПЦ $= (P_X^{2016}X^{2015} + P_Z^{2016}Z^{2015})/(P_X^{2015}X^{2015} + P_Z^{2015}Z^{2015}) = (2\cdot 10 + 4\cdot 20)/50 = 2$.

Заметим, что $a + b + d = 1{,}5$. Стоимость портфеля (множители — отношение новой цены к старой; на депозите множитель 1,1): при хорошей погоде $S_g = 2a + 0{,}7b + 1{,}1d = 1{,}65 + 0{,}9a - 0{,}4b$ (подставив $d = 1{,}5 - a - b$); при плохой погоде $S_b = 0{,}6a + 1{,}4b + 1{,}1d = 1{,}65 - 0{,}5a + 0{,}3b$. а) Каждая функция возрастает по одной переменной и убывает по другой. Для максимизации нужно выбрать максимально возможное значение одной (1,5) и минимальное другой (0): вложить все 1,5 млн в акции одной компании, ничего не оставляя на депозите. При хорошем прогнозе — всё в $A$ (ожидаемая стоимость $2\cdot 1{,}5 = 3$ млн руб.); при плохом — всё в $B$ ($1{,}4\cdot 1{,}5 = 2{,}1$ млн руб.). б) Минимальная стоимость портфеля при $a, b \ge 0$, $a + b \le 1{,}5$. $S_g \ge S_b \Leftrightarrow 2a \ge b$. Зафиксировав $a$: при $2a \le b$ минимум — $S_g$ (убывает по $b$), при $2a \ge b$ минимум — $S_b$ (возрастает по $b$). Решение $b = 2a$ — стоимость одинакова независимо от погоды: $S = 1{,}65 + 0{,}9a - 0{,}4\cdot 2a = 1{,}65 + 0{,}1a$. Возрастает по $a$, поэтому $a$ максимально при $a + 2a \le 1{,}5$, откуда $a = 0{,}5$, $b = 1$, $d = 0$. Стоимость портфеля $S = 1{,}65 + 0{,}1\cdot 0{,}5 = 1{,}7$ млн руб. независимо от погоды. (Покупка акций обеих компаний — диверсификация портфеля / хеджирование рисков, защита от отрицательной корреляции доходностей.) в) Без оплаты осторожная стратегия даёт 1,7 млн. Покупая прогноз за $X$ при осторожной стратегии, Кузьма исходит из худшего случая (плохой прогноз, меньшая доходность): он вложит в акции $B$ $(1{,}5 - X)$ млн, стоимость в конце $1{,}4(1{,}5 - X)$. Покупка выгодна, если $1{,}4(1{,}5 - X) \ge 1{,}7$, откуда $X \le 2/7$ млн руб.

а) Обозначим за $P_к$, $M_к$ объёмы производства пирожков и морса в Кабаджленде. Из условия $x_к=2P_к$, $y_к=P_к$, $z_к=M_к$. Подставляя в уравнение КПВ относительно ресурсов, получаем КПВ относительно товаров: $3P_к + M_к = 120$. Условие полдника: $P_к = M_к$. Решая систему, $P_к = M_к = 30$. Аналогично для Бэриленда: $x_б=2P_б$, $y_б=P_б$, $z_б=M_б$, откуда $4P_б + M_б = 120$ и $P_б = M_б$, значит $P_б = M_б = 24$. Максимальный мировой объём потребления полдников при автаркии: $30 + 24 = 54$. б) Сложим КПВ относительно товаров $3P_к + M_к = 120$ и $4P_б + M_б = 120$ стандартным образом. Суммарная КПВ: $M = 240 - 3P$ при $P < 40$; $M = 280 - 4P$ при $40 \le P \le 70$. Пересекаем с лучом $P = M$. Точка излома (40; 120) лежит так, что $M > P$, значит пересечение на втором участке: $M = 280 - 4M$, откуда $M = P = 56$. Максимум полдников $= 56$. в) Докажем, что максимум равен 60. 1) (Оценка) Уравнения КПВ относительно ресурсов: $x_к + y_к + z_к = 120$ и $x_б + 2y_б + z_б = 120$. Сложим как уравнения: $(x_к+x_б)+(y_к+y_б)+(z_к+z_б) = 240 - y_б$. Обозначим число полдников за $Q$. В силу пропорций производства и потребления: $2Q = x_к+x_б$, $Q = y_к+y_б$, $Q = z_к+z_б$. Подставляя: $2Q + Q + Q = 240 - y_б \le 240$, то есть $4Q \le 240$, откуда $Q \le 60$. 2) (Пример.) 60 полдников достижимы: Кабаджленд производит 60 ед. муки и 60 ед. капусты; Бэриленд производит 60 ед. муки и 60 ед. смородины; Кабаджленд отправляет 30 ед. капусты в Бэриленд, где из муки и капусты делают 30 пирожков; из оставшихся капусты и муки в Кабаджленде делают 30 пирожков; из смородины в Бэриленде делают 60 ед. морса; Бэриленд отправляет в Кабаджленд 30 ед. морса. В каждой стране оказывается по 30 полдников, всего 60.

1) Налог на выручку. Фирма максимизирует $\pi_в(q) = (1-0{,}1)TR(q) - TC(q) = 0{,}9Pq - 0{,}5q^2 - 10q$. Парабола ветвями вниз; оптимум в вершине, если абсцисса неотрицательна: $q = 0{,}9P - 10$ при $P \ge 100/9$ и $q = 0$ при $P < 100/9$. Максимальная прибыль: $\pi_в(P) = 0$ при $P < 100/9$; $\pi_в(P) = (0{,}9P - 10)^2/2$ при $P \ge 100/9$. 2) Налог на прибыль. Фирма максимизирует $\pi_п(q) = (1-0{,}36)(TR(q) - TC(q)) = 0{,}64(Pq - 0{,}5q^2 - 10q)$. Оптимум: $q = P - 10$ при $P \ge 10$ и $q = 0$ при $P < 10$. Максимальная прибыль: $\pi_п(P) = 0$ при $P < 10$; $\pi_п(P) = 0{,}64\,(P-10)^2/2$ при $P \ge 10$. 3) Сравнение. Налог на выручку выгоднее, если $\pi_в(P) > \pi_п(P)$. - $P \le 10$: оптимальный выпуск при обоих налогах совпадает и равен 0. - $10 < P \le 100/9$: $\pi_п(P) > 0$, а $\pi_в(P) = 0$ — выгоднее налог на прибыль, $q = P - 10$. - $P > 100/9$: налог на прибыль выгоднее, если $0{,}64\,(P-10)^2/2 > (0{,}9P-10)^2/2$. Умножая на 2 и извлекая корень: $P < 20$ — выгоднее налог на прибыль ($q = P - 10$); при $P > 20$ выгоднее налог на выручку ($q = 0{,}9P - 10$); при $P = 20$ варианты равнозначны. Итоговая функция предложения: $q_s(P) = 0$ при $P < 10$; $q_s(P) = P - 10$ при $10 \le P \le 20$; $q_s(P) = 0{,}9P - 10$ при $P \ge 20$. (При $P = 20$ оба выпуска оптимальны.) При росте цены фирма может снизить выпуск: например, при росте цены с 19 до 21 фирме выгодно снизить выпуск с 9 до 8,9 единиц.

а) Только из Альфы: КПВ $X + 4Y = 80$. Только из Гаммы: $2X + Y = 80$. Без ограничения по хранению, пользуясь обоими видами сырья, КПВ была бы: $X + 4Y = 400$ при $X \le 80$; $2X + Y = 240$ при $X > 80$ (сначала Икс производят из Альфы — меньшие альтернативные издержки, затем из Гаммы). Но есть ограничение по хранению $X + Y \le 140$. С его учётом КПВ Панацеи: $X + 4Y = 400$ при $X \le 160/3$; $X + Y = 140$ при $160/3 < X \le 100$; $2X + Y = 240$ при $X > 100$. б) Максимальный комплект на КПВ при пропорции $X = 2{,}5Y$ — это 100 об.ед. Икс и 40 об.ед. Игрек (лежит на точке излома КПВ). Если цена Икс меньше альтернативных издержек хранения единицы Икс, Панацее выгоднее снижать производство Икс и наращивать Игрек. Интервал цен, при котором Панацея согласна продавать данный комплект: $1 \le P \le 2$, где 1 — альтернативные издержки хранения единицы Икс на участке $160/3 < X < 100$, а 2 — альтернативные издержки производства единицы Икс при $X > 100$. Ответ: а) $X + 4Y = 400$ при $X \le 160/3$; $X + Y = 140$ при $160/3 < X \le 100$; $2X + Y = 240$ при $X > 100$. б) $1 \le P \le 2$.

Из $q = \sqrt{L}$ следует $L = q^2$, затраты на труд $5L = 5q^2$. Малое предприятие использует не более 4 единиц труда, то есть $q \le 2$. Без налога прибыль $\pi = pq - 5q^2$ — парабола ветвями вниз с вершиной $q = 0{,}1p$. Вершина удовлетворяет $q < 2$ при $p < 20$, значит при $p < 20$ оптимально быть малым предприятием (и без учёта налога). При $p \ge 20$ фирме выгодно либо производить ровно 2 тонны (максимум без налога), либо больше двух тонн с налогом. При $q = 2$: $\pi_1 = 2p - 20 = (p - 10)\cdot 2$. При выпуске больше 2 тонн прибыль $\pi = pq - 5q^2 - 10q$ — парабола ветвями вниз, максимум при $q = 0{,}1p - 1$, $\pi_2 = (p - 10)^2\cdot 0{,}05$. Первый вариант выбирается, когда $\pi_1 \ge \pi_2$: $(p - 10)\cdot 2 \ge (p - 10)^2\cdot 0{,}05$, при $p \ge 20$ это даёт $2 \ge (p - 10)\cdot 0{,}05$, откуда $p \le 50$. Функция предложения: $q_s = 0{,}1p$ при $p < 20$; $q_s = 2$ при $20 \le p \le 50$; $q_s = 0{,}1p - 1$ при $p > 50$. Примечание: верный ответ засчитывается независимо от того, в какой участок включена точка $p = 50$.

а) Пусть бедные получают $X$, средний класс $2X$, богатые $4X$. Совокупный доход $Y = 7X$, доля каждой группы по численности 1/3. Доли дохода нарастающим итогом: бедные 1/7, бедные + средний класс 3/7, все 1. Кривая Лоренца — ломаная через точки (0;0), (1/3; 1/7), (2/3; 3/7), (1; 1). Индекс Джини $G = 2/7$ (площадь между кривой и линией равенства, делённая на 1/2). б) Абсолютное равенство достигается, когда доходы после налога у трёх групп равны. Для богатых ставка 75 % ($4X \to X$), для среднего класса 50 % ($2X \to X$), для бедных 0 %. Доходы государства: $T = 0{,}75\cdot 4X + 0{,}5\cdot 2X + 0 = 4X$. в) После уплаты налогов все три группы получают одинаковый доход, коэффициент Джини станет равен нулю. Так как все ценят и заработок, и свободное время, богатые и средний класс могут снижать время работы или отказываться от дополнительного заработка в пользу досуга, и доходы государства будут сокращаться. В предельном случае (средний класс и богатые отказались от дополнительного заработка) доходы государства составили бы $3tX$, что на $4X$ меньше поступлений из пункта б). г) Налоговые поступления — сумма по группам: для каждой группы (доход) × (ставка налога из п. б) × (доля оставшихся, с учётом доли $2t$ перешедших в более бедную группу и пришедших из более богатой). Оптимальные ставки: на богатых 75 %, на средний класс 50 %, на бедных 0 %; при этих ставках ни один индивид не переходит в другую группу, поступления максимальны и достигается абсолютное равенство.

а) При совершенной конкуренции $p = MC = 2$. Из спроса $2 = 21 - 0{,}001Q$, $Q = 19000$. При мощности 1000 тыс. км на фирму на рынке будет не менее $N = 19$ фирм. б) Число фирм ограничено 15, то есть введено ограничение объёма $Q = 15000$ (мощности фирм сохраняются). Возникает дефицит и рост цены. Из спроса $p = 21 - 0{,}001\cdot 15000 = 6$. Прибыль каждой фирмы $\pi = 6\cdot 1000 - 2\cdot 1000 = 4000$; всех фирм — 60000 д.е. в) Лицензию имеет смысл перепродать по цене не меньше её текущей ценности: $4000/0{,}1 = 40000$ д.е. Фирма, купившая лицензию на вторичном рынке, не получит положительной экономической прибыли, так как заплатит за лицензию её ценность. г) Высокопроизводительная фирма (2000 тыс. км) получит большую отдачу от лицензии, поэтому будет участвовать в аукционе. На рынке остаётся 15 фирм. Если новая фирма работает, новое равновесие: $p = 21 - 0{,}001(14\cdot 1000 + 2000) = 5$. Прибыль новой фирмы $\pi = 5\cdot 2000 - 2\cdot 2000 = 6000$, прибыль каждой из остальных $= 5\cdot 1000 - 2\cdot 1000 = 3000$. Если технологии госу неизвестны и аукцион выигрывает предложивший больше, низкопроизводительные фирмы готовы платить до 30000 д.е., а высокопроизводительная — немного больше, выигрывая аукцион; при этом она получит положительную экономическую прибыль не более 30000 д.е. д) Совместно определяя объём, 15 фирм образуют картель (монополию). Условие максимума $MR = MC$: $MR = 21 - 0{,}002Q = 2$, $Q^* = 9500$, $p^* = 11{,}5$. Прибыль $\pi = 11{,}5\cdot 9500 - 2\cdot 9500 = 90250$; в среднем на фирму $90250/15 \approx 6017$ д.е.

а) 1) Группа «дети и пенсионеры + выбывшие из состава рабочей силы + безработные» = $18 + 24 - 8 = 34$ млн чел. 2) Занятые $E$ = население − эта группа = $98 - 34 = 64$ млн чел. 3) Безработные $U$ = (не работающая часть трудоспособного) − (выбывшие из рабочей силы) = $24 - 8 = 16$ млн чел. 4) Рабочая сила $L = E + U = 64 + 16 = 80$ млн чел. 5) Уровень безработицы $u = U/L = 16/80 = 20\%$. б) По условию коэффициент Оукена связывает превышение безработицы над естественным уровнем со снижением ВВП (2 % ВВП на 1 п.п. безработицы). Безработица снижена на $20 - 10 = 10$ п.п., следовательно, ВВП вырос на $2\cdot 10 = 20\%$. Тогда инфляция изменилась на $20\% \cdot 1{,}25 = +25$ п.п. Ответ: а) 20 %; б) +25 п.п.

Пусть $N$ — минуты использования Nokia, $S$ — минуты использования Samsung. Ограничения: по зарядке $2S + N = 12$ (Samsung требует 2 мин зарядки на 1 мин разговора, Nokia — 1 мин); по тарифам $S + 1{,}5N = 12$ (минута Samsung 1 $, минута Nokia 1,5 $; всего 12 $). Множество доступных распределений — точки, не выходящие за оба ограничения. Точка пересечения двух линий: из $2S + N = 12$ и $S + 1{,}5N = 12$ получаем $S = 3$, $N = 6$. Максимизируем $S + N$. Способ 1: в точке (3; 6) увеличить $S$ на $X$ минут — активно ограничение по зарядке, $N$ уменьшается на $2X$ (сумма $S+N$ падает на $X$); увеличить $N$ на $X$ — активно ограничение по тарифам, $S$ уменьшается на $1{,}5X$ (сумма падает на $0{,}5X$). Значит, (3; 6) оптимальна. (Те же рассуждения из угловых точек (6; 0) или (0; 8): движение к (3; 6) выгодно, дальше — нет.) Способ 2: графически, линии уровня $S + N = T$ (пунктир); максимально удалённая от начала координат линия, содержащая допустимую точку, проходит через (3; 6). Ответ: 6 минут заряжать Nokia, 6 минут заряжать Samsung; тогда можно говорить 6 минут по Nokia и 3 минуты по Samsung. Максимальное время разговора — 9 минут.

Рассмотрим зависящую от $t$ часть издержек: $f(t) = tq + 100 - t^2$, $t \in [0, 10]$. Относительно $t$ это парабола ветвями вниз, поэтому минимум на отрезке достигается на одном из краёв: при $t = 0$ ($f = 100$) или при $t = 10$ ($f = 10q$). Минимум во второй точке при $q < 10$; при $q > 10$ — в городе ($t = 0$); при $q = 10$ безразлично ($f = 100$ в обеих точках). Суммарные издержки как функция только от $q$: $TC(q) = q^2 + 10q$ при $q < 10$; $TC(q) = q^2 + 100$ при $q \ge 10$. Функция прибыли: $\pi(q) = pq - q^2 - 10q$ при $q < 10$; $\pi(q) = pq - q^2 - 100$ при $q \ge 10$. Каждый участок — парабола ветвями вниз. На первом участке максимум при $q = 0{,}5p - 5$, $\pi = (0{,}5p - 5)^2$. На втором участке максимум при $q = 0{,}5p$, $\pi = 0{,}25p^2 - 100$. Первый участок выбирается, когда $(0{,}5p - 5)^2 \ge 0{,}25p^2 - 100$, откуда $p \le 25$. При $p = 25$ участки равнозначны (для определённости точка $p = 25$ отнесена к последнему участку). Функция предложения: $q_s(p) = 0$ при $p \le 10$; $q_s(p) = 0{,}5p - 5$ при $10 < p < 25$; $q_s(p) = 0{,}5p$ при $p \ge 25$. Разрыв в функции предложения возникает потому, что при превышении ценой порога фирме становится выгодно перенести производство с периферии в город, обнуляя транспортные расходы и резко увеличивая выпуск.

а) Поиск параметров функции спроса. Пусть обратная функция спроса линейна: $P = a - bQ$, тогда $MR = a - 2bQ$. Поскольку $MR$ убывает, а $MC = 10$ постоянны, условие максимума прибыли $MR = MC$ даёт оптимальный выпуск. Оптимальный выпуск при максимизации прибыли равен 18, цена равна 100. Подставляя: $a - 2b\cdot 18 = 10$ и $a - b\cdot 18 = 100$. Решая систему, $b = 5$, $a = 190$. Значит, спрос $P = 190 - 5Q$, $MR = 190 - 10Q$. Поиск точки максимума выручки. Так как $MR$ — убывающая функция, максимум выручки достигается при $MR = 0$: $190 - 10Q = 0$, то есть $Q = 19$. (То же — через вершину параболы выручки $TR = (190 - 5Q)Q$.) Цена в этой точке $P = 190 - 5\cdot 19 = 95$ тыс. ливров. Итак, максимизируя выручку, скульптор продал бы 19 экземпляров по цене 95 тыс. ливров. б) Уничтожение формы убедило заказчиков, что приобретённые статуи будут в будущем цениться высоко. Если бы форма не была уничтожена, в будущем могли быть отлиты новые экземпляры (что вероятно, ведь не весь спрос был удовлетворён 18 экземплярами); это сделало бы работу менее редкой и снизило бы её будущую цену. Уничтожив форму, скульптор сделал предложение статуй на вторичном рынке заведомо ограниченным, что повысило готовность покупателей платить, а значит, и прибыль скульптора. Каждый экземпляр тем ценнее для покупателей, чем меньше всего таких экземпляров; рост готовности платить (рост спроса) увеличивает прибыль продавца.

Без лицензии прибыль $\pi = pq - 0{,}2q^2 - 20q$ — парабола ветвями вниз с вершиной $q^* = 2{,}5(p - 20)$ (при $p \le 20$ выпуск 0). Вершина не превышает 100 при $p \le 60$ — тогда лицензия не нужна. При $p > 60$ у фирмы два варианта. (1) Выпустить ровно 100 и не платить сбор: $\pi_1 = 100p - 0{,}2\cdot 100^2 - 20\cdot 100 = 100p - 4000$. (2) Выпустить $q^* = 2{,}5(p - 20)$ и заплатить 3125: $\pi_2 = 1{,}25(p - 20)^2 - 3125$. Вариант (2) не хуже, если $1{,}25(p-20)^2 - 3125 \ge 100p - 4000$. Обозначив $x = p - 20$: $x^2 - 80x - 900 \ge 0$, откуда $x \ge 90$, то есть $p \ge 110$. При $p = 110$ оба варианта дают 7000 — фирме безразлично, выпустить 100 или 225. Ответ: $q = 0$ при $p \le 20$; $q = 2{,}5(p - 20)$ при $20 < p \le 60$; $q = 100$ при $60 < p \le 110$; $q = 2{,}5(p - 20)$ при $p \ge 110$ (при $p = 110$ подходят оба объёма — 100 и 225).

а) Среднедушевой доход страны зависит не только от доходов в группах, но и от долей богатых и бедных. Среднедушевой доход Ричии лежит между 8 и 72, Пурии — между 5 и 30; интервалы (8; 72) и (5; 30) пересекаются. Если в Ричии относительно много бедных, её средний доход близок к 8; если в Пурии много богатых, её средний доход близок к 30 — и тогда средний доход Пурии может оказаться больше. б) Используем формулу: при двух группах с равномерным распределением внутри $G = s_p - s_{inc}$, где $s_p$ — доля более бедной группы в населении, $s_{inc}$ — её доля в доходе. Пусть $\alpha$ — доля бедных в Ричии. Доля дохода бедных $= 8\alpha/(8\alpha + 72(1 - \alpha))$. Условие $G = 0{,}5$ приводит к квадратному уравнению, левая часть которого — полный квадрат; решение даёт $\alpha = 0{,}75$ (бедных 75 %). Тогда среднедушевой доход Ричии $= 8\cdot 0{,}75 + 72\cdot 0{,}25 = 6 + 18 = 24$. Из условия про 4 %: среднедушевой доход Пурии $= 24/0{,}96 = 25$. Пусть $\beta$ — доля бедных в Пурии: $5\beta + 30(1 - \beta) = 25 \Rightarrow 30 - 25\beta = 25 \Rightarrow \beta = 0{,}2$ (бедных 20 %). Доля дохода бедных Пурии $= 5\cdot 0{,}2/25 = 1/25 = 0{,}04$. Коэффициент Джини Пурии $G = 0{,}2 - 0{,}04 = 0{,}16$. Ответ: 0,16. (В Ричии относительно много бедных — 75 %, в Пурии мало — 20 %.)

а) Не зная о налоге, фирма максимизирует $\pi = (9 - Q)Q - Q = 8Q - Q^2$: $Q = 4$, $P = 5$, прибыль до налога 16. Налог $2\cdot 4 = 8$, прибыль после налога $16 - 8 = 8$. Сборы государства 8. б) Зная о налоге, фирма учитывает его в издержках: $\pi = (9 - Q)Q - 3Q = 6Q - Q^2$: $Q = 3$, $P = 6$. Прибыль после налога $(6 - 3)\cdot 3 = 9$. Сборы $2\cdot 3 = 6$. в) Фирма выигрывает $9 - 8 = 1$ д.е., государство теряет $8 - 6 = 2$ д.е. г) Пусть $\Pi(q)$ — прибыль фирмы до уплаты налога как функция выпуска. Не зная о налоге, фирма выбирает $q_1 = \arg\max \Pi(q)$; её прибыль после налога $\Pi(q_1) - T_1$, где $T_1$ — сборы государства. Зная о налоге, фирма выбирает $q_2$; прибыль $\Pi(q_2) - T_2$. Выигрыш фирмы от знания $= [\Pi(q_2) - T_2] - [\Pi(q_1) - T_1]$; проигрыш государства $= T_1 - T_2$. Требуемое неравенство «выигрыш фирмы $\le$ проигрыш государства»: $[\Pi(q_2) - T_2] - [\Pi(q_1) - T_1] \le T_1 - T_2$, что эквивалентно $\Pi(q_2) \le \Pi(q_1)$. Это верно, так как $\Pi(q_1)$ — максимум функции $\Pi$, а $\Pi(q_2)$ — её значение в некоторой точке. Что и требовалось.

При $N = 1$ нужно купить упаковку из двух батончиков за 25 рублей. Ни при каких $N$ не выгодно покупать более одной упаковки из трёх батончиков: вместо двух таких упаковок (80 руб.) дешевле три упаковки из двух батончиков (75 руб.). Если $N = 2m$ (чётное): покупать ровно одну тройную упаковку и докупать $m - 1$ двойных дало бы $(m-1)\cdot 25 + 40 = 25m + 15$, тогда как $m$ двойных упаковок стоят $25m$ — дешевле. Оптимум: $N/2$ двойных упаковок, расходы $25N/2$. Если $N = 2m + 1$ (нечётное, $N \ne 1$): альтернатива — $m + 1$ двойных упаковок за $25(m+1)$, но $m - 1$ двойных + 1 тройная стоят $25(m-1) + 40 = 25m + 15$, что дешевле. Оптимум: $(N-3)/2$ двойных упаковок и 1 тройная, расходы $25(N-3)/2 + 40$. Ответ: 25, если $N = 1$; $25N/2$, если $N$ чётно; $25(N-3)/2 + 40$, если $N$ нечётно и $N \ne 1$.

В году 0 выпуск на потенциальном уровне, циклическая безработица равна нулю. Значит, число циклических безработных в году 1 равно 4 тыс. человек (прирост безработицы). Число безработных: естественный уровень 5 % плюс циклические. Рабочая сила $L = E + U$. Занятые $E = 91$ тыс. Естественные безработные $= 0{,}05L$, всего безработных $U = 0{,}05L + 4$. Тогда $L = 91 + 0{,}05L + 4$, откуда $0{,}95L = 95$, $L = 100$ тыс. Безработных $U = 9$ тыс. (из них 5 тыс. естественных, 4 тыс. циклических). Фактический уровень безработицы $u = 9/100 = 9\%$, превышение над естественным $= 4$ п.п. Закон Оукена: $(Y^* - Y)/Y^* = k\cdot (u - u^*) = 2{,}5\cdot 0{,}04 = 0{,}10$. Тогда $Y = Y^*(1 - 0{,}10) = 1000\cdot 0{,}9 = 900$. Ответ: 900.

а) Б ограничен латексом: 900/2 = 450 шариков (рабочей силы и гелия хватает). Л ограничен гелием: 1300/2 = 650 шариков. Сумма не более $450 + 650 = 1100$. Ответ: 1100 штук. б) Суммарный запас латекса 2300, значит, в сумме не более $2300/2 = 1150$ шариков. Превысить 1200 невозможно. в) Обозначим за $x$ количество шариков на Б после обмена. Для взаимовыгодности $x > 450$. Суммарно не более 1150 (п. б); если Б получит $\ge 500$, то Л останется $\le 650$, то есть не больше, чем без обмена — невыгодно. Значит, $451 \le x \le 499$. Пример: Б отдаёт Л 100 ед. гелия, сам производит 450; Л на импортном гелии производит 700; отдавая Б от 1 до 49 шариков, получаем на Б от 451 до 499, а на Л от 651 до 699 — взаимовыгодно. Ответ: от 451 до 499. г) Снова $x > 450$. Шарики возить нельзя; каждый остров потребляет только свои. Запас рабочей силы Б — 950, значит Б произведёт не более $950/2 = 475$ шариков, то есть $x \le 475$. Пример: Б поставляет Л 50 ед. гелия, Л в обмен поставляет Б от 2 до 50 ед. латекса — Б производит от 451 до 475; экспорт латекса не вредит Л (с импортным гелием Л производит 675 независимо от объёма экспортированного латекса). Ответ: от 451 до 475.

Рыночный спрос — сумма двух линейных функций, то есть ломаная. На одном линейном участке эластичность меняет характер (с эластичного на неэластичный) не больше одного раза. По условию выручка дважды растёт и дважды падает, значит у ломаной два участка, и излом — при цене 8: выше 8 покупает только первая группа, ниже — обе. Верхний участок. Выручка перестаёт расти при $Q = 10$ — это середина линейного спроса первой группы. Значит, её максимальная величина спроса равна 20, а спрос симметричен относительно середины: $Q_1 = 20 - P$ (при $Q = 10$ цена 10, выручка максимальна; при $P = 8$ покупают 12 единиц). Нижний участок ($P \le 8$). Максимальный рыночный спрос 36, а выручка максимальна при $P = 6$ — это середина нижнего участка, продолжённого до оси цен: он пересекает ось цен при $P = 12$. Значит, на нижнем участке $Q = 36 - 3P$ (проверка: $P = 12$ даёт 0, $P = 0$ даёт 36). Спрос второй группы — разность: $Q_2 = (36 - 3P) - (20 - P) = 16 - 2P$, обращается в ноль как раз при $P = 8$ — точка излома согласована. Ответ: $Q_1 = 20 - P$, $Q_2 = 16 - 2P$.

а) Прибыль $\pi = 20\cdot 20\sqrt{L} - 5L = 400\sqrt{L} - 5L$. Это парабола по $\sqrt{L}$ ветвями вниз (или $\pi' = 200/\sqrt{L} - 5$ убывает), максимум при $\sqrt{L} = 40$: $L = 1600$, $Q = 20\cdot 40 = 800$, $\pi = 16\,000 - 8000 = 8000$. б) Субсидия на единицу продукции повышает доход фирмы с каждой единицы выпуска до $20 + s$, ей выгодно выпускать больше. Выпуск растёт только за счёт труда — единственного переменного фактора, поэтому занятость тоже растёт. в) Мера (i): фактическая плата за работника $5 - 1 = 4$. Условие $200/\sqrt{L} = 4$: $\sqrt{L} = 50$, $L = 2500$ — на 900 работников больше. г) Мера (ii): $\pi = (20 + s)\cdot 20\sqrt{L} - 5L$, оптимум $\sqrt{L} = 2(20 + s)$. Чтобы $L = 2500$ ($\sqrt{L} = 50$): $20 + s = 25$, $s = 5$. д) Мера (i): $1\cdot 2500 = 2500$ д.е. Мера (ii): $s\cdot Q = 5\cdot 20\cdot 50 = 5000$ д.е. Мера (i) вдвое дешевле для государства.

а) Расходы при тарифах (для $t$ минут): Тариф II: $75 + 1{,}5t$. Тариф I: $3\max(t - 100, 0)$, при $t > 100$ равно $3(t - 100) = 3t - 300$. Тариф III: $525 + 0{,}75\max(t - 200, 0)$. II выгоднее I: $75 + 1{,}5t < 3t - 300 \Rightarrow t > 250$. II выгоднее III: при $t > 250 > 200$ Тариф III $= 525 + 0{,}75(t - 200) = 375 + 0{,}75t$; неравенство $75 + 1{,}5t < 375 + 0{,}75t \Rightarrow t < 400$. Итак, Тариф II выгоднее других при $250 < t < 400$. б) Расходы у Y: $A + t$. Не сожалеем, если $A + t \le$ (лучший тариф X при данном $t$). Из п. а) при $t \le 400$ лучший — Тариф II, при $t \ge 400$ — Тариф III. Нужно одновременно: (1) $A + t \le 75 + 1{,}5t$ для всех $t \in [300; 400]$; (2) $A + t \le 375 + 0{,}75t$ для всех $t \in [400; 500]$. (1): $A \le 75 + 0{,}5t$, правая часть растёт по $t$, минимум при $t = 300$: $A \le 225$. (2): $A \le 375 - 0{,}25t$, правая часть убывает по $t$, минимум при $t = 500$: $A \le 250$. Оба условия выполнены при $A \le 225$. Ответ: а) $250 < t < 400$; б) $A \le 225$.

а) КПВ — прямые (постоянные альтернативные издержки). Англия: максимум 24 ед. вина (96/4) или 12 ед. сукна (96/8), КПВ $C = 12 - \tfrac12 B$. Португалия: 48 ед. вина и 48 ед. сукна, КПВ $C = 48 - B$. Альтернативные издержки производства вина: в Англии 1/2 ед. сукна, в Португалии 1 ед. сукна. Значит, Англия имеет сравнительное преимущество в вине, Португалия — в сукне. Мировая КПВ строится суммированием с изломом в точке специализации: вершины (0; 60), излом (24; 48), (72; 0) в осях (Вино; Сукно). б) Закрытая экономика: производство = потребление, пропорция 1:1. Англия: $C = B$ и $C = 12 - \tfrac12 B \Rightarrow B = C = 8$. Португалия: $C = B$ и $C = 48 - B \Rightarrow B = C = 24$. Мир: суммарно по 32 ед. вина и сукна; точка лежит ниже мировой КПВ (сравнительные преимущества не используются). в) Открытая экономика: мировое производство и потребление на мировой КПВ; $C = B$. Мировая КПВ: $C = 72 - B$ при $B > 24$; $C = 60 - \tfrac12 B$ при $B < 24$. Пересечение с $C = B$: $C = B = 36$, относительная цена $C/B = 1$. Англия полностью специализируется на вине: $B = 24$, $C = 0$; потребление из $C = B$ и линии мировых цен $C = 24 - B$ даёт $B = C = 12$, то есть экспорт вина 12 и импорт сукна 12. Португалия: цены не изменились, потребление $B = C = 24$; производство с учётом обмена $B = 12$, $C = 36$; импорт вина 12, экспорт сукна 12. г) Производительность труда в Португалии выше по обоим товарам, мировые цены одинаковы, поэтому зарплата в Португалии выше. При абсолютной мобильности труда все работники мигрируют в Португалию, и мировая КПВ станет прямой линией.

а) При цене 1200 спрос нулевой. Выручка максимальна при $Q = 6$ — для линейного спроса это середина кривой, значит при $Q = 12$ цена равна нулю. Спрос через $(0; 1200)$ и $(12; 0)$: $P = 1200 - 100Q$. Эластичность линейного спроса $E = -\dfrac{P}{100Q}$. Условие $|E| = 2$: $1200 - 100Q = 200Q$, откуда $Q = 4$, $P = 1200 - 400 = 800$. Ответ: 4 зонта по 800 руб. б) Закупочная цена зонта постоянна, значит $MC$ постоянны. $MR = 1200 - 200Q$; в оптимуме $MR = MC$: $MC = 1200 - 800 = 400$. (То же по индексу Лернера: $(P - MC)/P = 1/|E| = 1/2 \Rightarrow MC = 400$.) Издержки $TC = 400Q + 200$. Прибыль $\pi = 800\cdot 4 - (400\cdot 4 + 200) = 3200 - 1800 = 1400$. Ответ: 1400 руб. в день.

Найдём предельную склонность к потреблению по двум точкам: $MPC = (646 - 102)/(800 - 0) = 544/800 = 0{,}68$. Функция потребления $C = 102 + 0{,}68 Y_d$. Изменение потребления связано с изменением располагаемого дохода: $\Delta C = MPC\cdot \Delta Y_d$, откуда $\Delta Y_d = \Delta C / MPC = -425/0{,}68 = -625$. Располагаемый доход меняется из-за изменения автономных налогов и мультипликативного изменения равновесного выпуска. Мультипликатор автономных налогов $m_T = -MPC/(1 - MPC) = -0{,}68/0{,}32 = -2{,}125$. Тогда $\Delta Y = m_T\cdot \Delta T$, а $\Delta Y_d = \Delta Y - \Delta T = (m_T - 1)\Delta T = (-2{,}125 - 1)\Delta T = -3{,}125\,\Delta T$. Из $\Delta Y_d = -625$ получаем $\Delta T = -625/(-3{,}125) = 200$. Ответ: автономные налоги выросли на 200.

В краткосрочном периоде фирма остаётся на рынке, если цена не ниже минимума средних переменных издержек ($\min AVC$). Постоянные издержки по определению не зависят от выпуска: $FC = 80$. Переменные издержки $VC(q) = TC(q) - FC = 0{,}2q^2 + 10q$ (при $q > 0$). Средние переменные издержки $AVC(q) = VC/q = 0{,}2q + 10$. Эта функция монотонно возрастает по $q$, поэтому её инфимум достигается при $q \to 0$ и равен 10. Значит, минимальная цена, при которой фирма остаётся на рынке, равна 10. (Эквивалентно: $MC = 0{,}4q + 10$, при $q \to 0$ предельные издержки стремятся к 10 — это и есть нижняя граница цены ухода с рынка.) Ответ: цена равна 10. б) Графически: точка закрытия — это минимум кривой $AVC$ (или точка пересечения кривой $MC$ с осью при $q \to 0$). Кривая $AVC = 0{,}2q + 10$ начинается на уровне 10; при цене ниже 10 выручка не покрывает переменные издержки ни при каком выпуске, и фирме выгоднее остановить производство.

Спрос «верхней» страны: через (0; 60) и (20; 50) — $Q = 120 - 2P$ (при $P = 40$ величина спроса 40). Значит, у этой страны спрос 40, у другой $50 - 40 = 10$. Величины спроса двух стран: 40 и 10. Предложение «нижней» страны: через (0; 0) и (10; 20) — $Q = 2P$ (при $P = 40$ величина 80; на соответствующем участке принимает 20). Эта страна по цене 40 принимает 20 тыс., другая — $50 - 20 = 30$ тыс. Величины предложения двух стран: 20 и 30. Поскольку величина спроса Европии не меньше 19, спрос Европии = 40, спрос Американии = 10. Кто предлагает 20, а кто 30? Случай 1: предложение Европии 30, Американии 20 — тогда из Европии выезжают $40 - 30 = 10$ тыс., что противоречит условию (>19). Случай 2: предложение Европии 20, Американии 30 — тогда из Европии выезжают $40 - 20 = 20$ тыс., что согласуется с условием. а) 20 тыс. чел. б) Туристы из Европии, отдохнувшие дома, = внутреннее предложение Европии = 20 тыс. в) Американцы, отдохнувшие дома, = внутренний спрос Американии = 10 тыс. Ответ: а) 20 тыс.; б) 20 тыс.; в) 10 тыс.

1) Спрос фирм на труд. Прибыль $\pi = P\cdot 2\sqrt{L} - WL$. Приравниваем производную по $L$ к нулю: $P/\sqrt{L} - W = 0$, откуда $L = (P/W)^2$. Производная убывает при $L > 0$, значит это максимум. Спрос на труд $L^D = (P/W)^2$. 2) Равновесие на рынке труда: $8000\,W/P = (P/W)^2$. Обозначив $w = W/P$: $8000 w = 1/w^2$, откуда $w^3 = 1/8000$, $w = 1/20$. Тогда $L = (P/W)^2 = (1/w)^2 = 20^2 = 400$. Потенциальный выпуск $Y = 2\sqrt{400} = 2\cdot 20 = 40$. 3) Совокупный спрос при $M = 25$: $Y = 50/P$. При $Y = 40$: $40 = 50/P$, откуда $P = 5/4$. Ответ: уровень цен $P = 5/4$; ставка реальной зарплаты $W/P = 1/20$; выпуск $Y = 40$.

а) Оценим суммарные потери общества (фермы и завода) в каждом варианте при $X = 2000$. Без очистки потери $= 2000$. Если очищает завод — $3000$. Если очищает ферма — $5000$. Минимальны потери, если очистки не происходит (2000). Наилучшее для общества решение — не очищать воду. б) При $X = 4000$: завод примет предложение фермы, только если ему заплатят сумму не меньше 3000 (стоимость очистки для завода). Ферма при полной информации знает это и предложит ровно 3000, так как остальные варианты для неё хуже: самостоятельная очистка 5000, отсутствие очистки 4000 (ущерб). Заплатив заводу 3000 за очистку, ферма несёт 3000 вместо 4000. Это эффективно для общества: общественные потери минимальны (3000). Торг привёл к эффективному решению (иллюстрация теоремы Коуза).

а) Доход чиновника от продажи лицензий $(100 - p)p$, в казну уходит официальная плата $20(100 - p)$, компенсация чиновнику $10(100 - p)$, издержки $10(100 - p)$, жалование 50. Выигрыш чиновника: $\pi = (100 - p)p - 20(100 - p) + 50$ (компенсация и издержки взаимно сокращаются). Это парабола ветвями вниз, максимум при $p = 60$. Размер взятки $= 60 - 20 = 40$ у.е. Выигрыш: $\pi = 40\cdot 40 + 50 = 1650$. б) У чиновника два варианта: честно сообщать о лицензиях (случай а) или полностью утаивать их, неся издержки сам и не передавая официальную плату в казну. Во втором варианте он решает $\max\,[(100 - p)(p - 10) + 50]$. Максимум при $p = 55$, взятка $= 55 - 20 = 35$. Выигрыш: $45\cdot 45 + 50 = 2075$ против 1650 в случае а). Чиновнику выгодно умалчивать о количестве лицензий; оптимальный размер взятки 35. в) Объявляя о выданной лицензии, чиновник передаёт в казну её официальную стоимость, но получает покрытие расходов 10 у.е., то есть чистый выигрыш $10 - (\text{плата за лицензию})$. Чиновнику выгодно объявлять о лицензии, только если официальная плата не превышает 10 у.е. (его альтернативных издержек). Значит, максимальная официальная плата, при которой чиновник ещё показывает лицензии (и казна пополняется), равна 10 у.е.

Обозначим $q_h$, $q_f$ — продажи на внутреннем и зарубежном рынках, $Q = q_h + q_f$. $MR_h(q_h) = 100 - 2q_h$, $MR_f = P_f$ (рынок конкурентен), $MC(Q) = Q$. а) От противного: пусть $Q = 0$, тогда $\pi(0) = 0$. Рассмотрим $\tilde Q = q_h > 0$: $\pi = (100 - q_h)q_h - 0{,}5q_h^2 = (100 - 1{,}5q_h)q_h > 0$ при $0 < q_h < 100/1{,}5$. Это больше нуля, противоречие. Значит, оптимальный объём положителен. б) Пусть $q_h > 0$, $q_f > 0$ и $MR_h \ne MR_f$, для определённости $MR_h > MR_f$. Перераспределим продажи в пользу рынка с большей предельной выручкой: $\Delta q_h = a > 0$, $\Delta q_f = -a$. Совокупный выпуск не меняется, издержки прежние, изменение прибыли $\Delta\pi = a(100 - 2q_h - a - P_f) > 0$ при малых $a$ (так как $100 - 2q_h - P_f = MR_h - MR_f > 0$). Противоречие — значит $MR_h = MR_f$. Вторая часть: если $q_h = 0$, то $MR_h = 100 \ge P_f$ (иначе перераспределение в пользу внутреннего рынка увеличило бы прибыль). в) Пусть $q_f > 0$ и $MR_f \ne MC$, для определённости $P_f > Q$. Произведя дополнительно $b$ единиц на экспорт: $\Delta\pi = P_f b - [0{,}5(Q+b)^2 - 0{,}5Q^2] = b(P_f - Q - 0{,}5b) > 0$ при $0 < b < 2(P_f - Q)$. Противоречие. Аналогично для внутреннего рынка ($100 - 2q_h = Q$). Значит, на каждом рынке с продажами $MR = MC$. г) Пусть $P_f < 100$. Если $q_h = 0$, то по п. а) $Q = q_f > 0$, и $MR_h = 100 > P_f = MR_f$ — противоречие с п. б). Значит $q_h > 0$. Обратно: пусть $q_h > 0$, тогда $MR_h = 100 - 2q_h < 100$; по п. б) $MR_h = MR_f = P_f$, и так как $MR_h$ может быть ниже только при $q_h > 0$, получаем $P_f < 100$. д) При положительных продажах на обоих рынках $MR_h = MR_f$: $100 - 2q_h = P_f$, откуда $q_h = (100 - P_f)/2$. Повышение цены за рубежом снижает продажи на внутреннем рынке.