Борьба с безработицей
9–11 кл. · 15 баллов Для страны N известна статистика рынка труда: численность населения 98 млн чел.; группа «выбывшие из состава рабочей силы + дети и пенсионеры» равна 18 млн чел.; часть трудоспособного населения, которая не работает, составляет 24 млн чел.; число выбывших из состава рабочей силы — 8 млн чел.
а) На основе имеющейся информации найдите уровень безработицы страны N.
б) Правительство считает уровень безработицы недопустимо высоким и проводит политику его снижения. В результате уровень безработицы снижен до 10 %, но выросла инфляция. На сколько процентных пунктов изменился уровень инфляции в стране N, если один процентный пункт превышения уровня безработицы над естественным соответствует снижению ВВП на 2 % относительно потенциального, а однопроцентное сокращение ВВП сопровождается снижением инфляции на 1,25 п.п.?
Решение
а) 1) Группа «дети и пенсионеры + выбывшие из состава рабочей силы + безработные» = $18 + 24 - 8 = 34$ млн чел. 2) Занятые $E$ = население − эта группа = $98 - 34 = 64$ млн чел. 3) Безработные $U$ = (не работающая часть трудоспособного) − (выбывшие из рабочей силы) = $24 - 8 = 16$ млн чел. 4) Рабочая сила $L = E + U = 64 + 16 = 80$ млн чел. 5) Уровень безработицы $u = U/L = 16/80 = 20\%$.
б) По условию коэффициент Оукена связывает превышение безработицы над естественным уровнем со снижением ВВП (2 % ВВП на 1 п.п. безработицы). Безработица снижена на $20 - 10 = 10$ п.п., следовательно, ВВП вырос на $2\cdot 10 = 20\%$. Тогда инфляция изменилась на $20\% \cdot 1{,}25 = +25$ п.п.
Ответ: а) 20 %; б) +25 п.п.
Критерии оценивания
а): численность группы (дети и пенсионеры + выбывшие + безработные) — 2 б.; численность занятых $E = 64$ — 2 б.; число безработных $U = 16$ — 1 б.; рабочая сила $L = 80$ — 2 б.; уровень безработицы 20 % — 1 б.
б): определение коэффициента Оукена — 2 б.; рост ВВП на 20 % (снижение безработицы на 10 п.п.) — 1 б. за п.п. снижения + 2 б. за рост ВВП; изменение инфляции $+25$ п.п. — 2 б.
Необитаемый остров
9–11 кл. · 15 баллов Робинзон оказался на необитаемом острове. У него два полностью разряженных телефона, Samsung и Nokia, одно автономное зарядное устройство (АЗУ) и часы с секундомером.
Для каждой минуты использования Nokia нужно заряжать его 1 минуту, для каждой минуты Samsung — 2 минуты. АЗУ может работать не более 12 минут, распределяемых между телефонами в любой пропорции. SIM-карты подключены к общему счёту, на котором осталось 12 $. Тарифы разные: минута соединения с Samsung — 1 $, минута с Nokia на 50 % дороже. Менять SIM-карты местами нельзя.
Как должен действовать Робинзон, чтобы говорить по телефону максимальное суммарное время?
Решение
Пусть $N$ — минуты использования Nokia, $S$ — минуты использования Samsung. Ограничения: по зарядке $2S + N = 12$ (Samsung требует 2 мин зарядки на 1 мин разговора, Nokia — 1 мин); по тарифам $S + 1{,}5N = 12$ (минута Samsung 1 $, минута Nokia 1,5 $; всего 12 $). Множество доступных распределений — точки, не выходящие за оба ограничения.
Точка пересечения двух линий: из $2S + N = 12$ и $S + 1{,}5N = 12$ получаем $S = 3$, $N = 6$.
Максимизируем $S + N$. Способ 1: в точке (3; 6) увеличить $S$ на $X$ минут — активно ограничение по зарядке, $N$ уменьшается на $2X$ (сумма $S+N$ падает на $X$); увеличить $N$ на $X$ — активно ограничение по тарифам, $S$ уменьшается на $1{,}5X$ (сумма падает на $0{,}5X$). Значит, (3; 6) оптимальна. (Те же рассуждения из угловых точек (6; 0) или (0; 8): движение к (3; 6) выгодно, дальше — нет.) Способ 2: графически, линии уровня $S + N = T$ (пунктир); максимально удалённая от начала координат линия, содержащая допустимую точку, проходит через (3; 6).
Ответ: 6 минут заряжать Nokia, 6 минут заряжать Samsung; тогда можно говорить 6 минут по Nokia и 3 минуты по Samsung. Максимальное время разговора — 9 минут.
Критерии оценивания
Вывод ограничения по зарядке $2S + N = 12$ — 2 б.; вывод ограничения по тарифам $S + 1{,}5N = 12$ — 2 б.; описание множества доступных распределений (заштрихованная область) — 5 б.; нахождение оптимальной точки (3; 6) любым из способов (аналитическим перебором направлений или графически через линии уровня $S + N$) — 6 б.
Размещение завода
9–11 кл. · 15 баллов Фирма Альфа продаёт товар А на совершенно конкурентном рынке города N. При производстве продукции фирма несёт следующие издержки:
- Издержки транспортировки товара от завода до города, зависящие от размещения завода. Завод можно расположить на любом расстоянии $t$ от города N (от 0 до 10 км). Если завод на расстоянии $t$ км, транспортировка каждой единицы товара обходится в $t$ рублей.
- Арендная плата за землю: чем дальше от города, тем дешевле; при расстоянии $t$ км аренда составит $(100 - t^2)$ рублей.
- Остальные издержки производства $TC = q^2$, где $q$ — объём выпуска.
Найдите функцию предложения фирмы и постройте её график.
Решение
Рассмотрим зависящую от $t$ часть издержек: $f(t) = tq + 100 - t^2$, $t \in [0, 10]$. Относительно $t$ это парабола ветвями вниз, поэтому минимум на отрезке достигается на одном из краёв: при $t = 0$ ($f = 100$) или при $t = 10$ ($f = 10q$). Минимум во второй точке при $q < 10$; при $q > 10$ — в городе ($t = 0$); при $q = 10$ безразлично ($f = 100$ в обеих точках).
Суммарные издержки как функция только от $q$:
$TC(q) = q^2 + 10q$ при $q < 10$; $TC(q) = q^2 + 100$ при $q \ge 10$.
Функция прибыли:
$\pi(q) = pq - q^2 - 10q$ при $q < 10$; $\pi(q) = pq - q^2 - 100$ при $q \ge 10$.
Каждый участок — парабола ветвями вниз. На первом участке максимум при $q = 0{,}5p - 5$, $\pi = (0{,}5p - 5)^2$. На втором участке максимум при $q = 0{,}5p$, $\pi = 0{,}25p^2 - 100$.
Первый участок выбирается, когда $(0{,}5p - 5)^2 \ge 0{,}25p^2 - 100$, откуда $p \le 25$. При $p = 25$ участки равнозначны (для определённости точка $p = 25$ отнесена к последнему участку).
Функция предложения:
$q_s(p) = 0$ при $p \le 10$; $q_s(p) = 0{,}5p - 5$ при $10 < p < 25$; $q_s(p) = 0{,}5p$ при $p \ge 25$.
Разрыв в функции предложения возникает потому, что при превышении ценой порога фирме становится выгодно перенести производство с периферии в город, обнуляя транспортные расходы и резко увеличивая выпуск.
Критерии оценивания
Анализ части издержек $f(t)$ и вывод о расположении завода на краю отрезка — 2 б.; вывод о выборе точки в зависимости от $q$ (порог $q = 10$) — 1 б.; запись суммарных издержек $TC(q)$ — 1 б.; запись функции прибыли по участкам — 1 б.; максимум на первом участке ($q = 0{,}5p - 5$, $\pi = (0{,}5p-5)^2$) — 1 б.; максимум на втором участке ($q = 0{,}5p$, $\pi = 0{,}25p^2 - 100$) — 1 б.; идея сравнения двух участков (при корректном выписывании) — 2 б., верно найденная граница $p \le 25$ — 1 б.; запись итоговой функции предложения по всем участкам — 3 б. (без нулевого участка на 1 б. меньше; при единственном участке — 0 б.); рисунок — 2 б. Если ни одна из двух ключевых идей (завод на краю; сравнение участков прибыли) не возникла, задача оценивается в 0 б.
Шедевр
9–11 кл. · 15 баллов Сотворив очередной шедевр, известный скульптор изготовил форму для отлития бронзовых копий своего творения. Максимизируя прибыль, он решил сделать 18 экземпляров и продать каждый из них коллекционерам по 100 тыс. ливров, в то время как издержки на отлитие одного экземпляра составляют всего 10 тыс. ливров.
а) (10 баллов) Предполагая, что рыночный спрос коллекционеров на шедевр известен мастеру и линеен, определите, сколько экземпляров и по какой цене продал бы скульптор, если бы он максимизировал выручку.
б) (5 баллов) До того, как был отлит первый экземпляр, скульптор сообщил каждому коллекционеру, что после отлития первой же партии форма будет уничтожена. (И она в действительности была уничтожена.) Объясните, как это помогло скульптору максимизировать прибыль.
Решение
а) Поиск параметров функции спроса. Пусть обратная функция спроса линейна: $P = a - bQ$, тогда $MR = a - 2bQ$. Поскольку $MR$ убывает, а $MC = 10$ постоянны, условие максимума прибыли $MR = MC$ даёт оптимальный выпуск. Оптимальный выпуск при максимизации прибыли равен 18, цена равна 100. Подставляя: $a - 2b\cdot 18 = 10$ и $a - b\cdot 18 = 100$. Решая систему, $b = 5$, $a = 190$. Значит, спрос $P = 190 - 5Q$, $MR = 190 - 10Q$.
Поиск точки максимума выручки. Так как $MR$ — убывающая функция, максимум выручки достигается при $MR = 0$: $190 - 10Q = 0$, то есть $Q = 19$. (То же — через вершину параболы выручки $TR = (190 - 5Q)Q$.) Цена в этой точке $P = 190 - 5\cdot 19 = 95$ тыс. ливров.
Итак, максимизируя выручку, скульптор продал бы 19 экземпляров по цене 95 тыс. ливров.
б) Уничтожение формы убедило заказчиков, что приобретённые статуи будут в будущем цениться высоко. Если бы форма не была уничтожена, в будущем могли быть отлиты новые экземпляры (что вероятно, ведь не весь спрос был удовлетворён 18 экземплярами); это сделало бы работу менее редкой и снизило бы её будущую цену. Уничтожив форму, скульптор сделал предложение статуй на вторичном рынке заведомо ограниченным, что повысило готовность покупателей платить, а значит, и прибыль скульптора. Каждый экземпляр тем ценнее для покупателей, чем меньше всего таких экземпляров; рост готовности платить (рост спроса) увеличивает прибыль продавца.
Критерии оценивания
а) (10 б.): поиск параметров функции спроса — 6 б. (рассуждение любым способом — 4 б., из них 1 б. за обоснование, что найденная точка является максимумом: убывание $MR$ при постоянстве $MC$, рисунок, вторая производная, ветви параболы вниз; цена $P = 100$ при $Q = 18$ — 1 б.; решение системы — 1 б.); поиск точки максимума выручки — 4 б. (рассуждение любым способом — 3 б., из них 1 б. за обоснование максимума; подсчёт ответа $P = 95$ — 1 б.). Политика по арифметическим ошибкам: при нецелом выпуске без реакции участника снимается 2 из 3 б. на втором этапе; при целочисленном результате ошибки или указанном участником противоречии — 1 из 3 б.
б) (5 б.): идея «чем меньше экземпляров, тем ценнее каждый для покупателей» — 3 б.; рост ценности и готовности платить (рост спроса) увеличивает прибыль продавца — 2 б.
Для этого класса задач в архиве нет. Сбросьте фильтр.
