Задачи ВсОШ по экономике 2014: региональный этап с решениями и ответами

а) 1) Группа «дети и пенсионеры + выбывшие из состава рабочей силы + безработные» = $18 + 24 - 8 = 34$ млн чел. 2) Занятые $E$ = население − эта группа = $98 - 34 = 64$ млн чел. 3) Безработные $U$ = (не работающая часть трудоспособного) − (выбывшие из рабочей силы) = $24 - 8 = 16$ млн чел. 4) Рабочая сила $L = E + U = 64 + 16 = 80$ млн чел. 5) Уровень безработицы $u = U/L = 16/80 = 20\%$.

б) По условию коэффициент Оукена связывает превышение безработицы над естественным уровнем со снижением ВВП (2 % ВВП на 1 п.п. безработицы). Безработица снижена на $20 - 10 = 10$ п.п., следовательно, ВВП вырос на $2\cdot 10 = 20\%$. Тогда инфляция изменилась на $20\% \cdot 1{,}25 = +25$ п.п.
Ответ: а) 20 %; б) +25 п.п.

Пусть $N$ — минуты использования Nokia, $S$ — минуты использования Samsung. Ограничения: по зарядке $2S + N = 12$ (Samsung требует 2 мин зарядки на 1 мин разговора, Nokia — 1 мин); по тарифам $S + 1{,}5N = 12$ (минута Samsung 1 $, минута Nokia 1,5 $; всего 12 $). Множество доступных распределений — точки, не выходящие за оба ограничения.
Точка пересечения двух линий: из $2S + N = 12$ и $S + 1{,}5N = 12$ получаем $S = 3$, $N = 6$.
Максимизируем $S + N$. Способ 1: в точке (3; 6) увеличить $S$ на $X$ минут — активно ограничение по зарядке, $N$ уменьшается на $2X$ (сумма $S+N$ падает на $X$); увеличить $N$ на $X$ — активно ограничение по тарифам, $S$ уменьшается на $1{,}5X$ (сумма падает на $0{,}5X$). Значит, (3; 6) оптимальна. (Те же рассуждения из угловых точек (6; 0) или (0; 8): движение к (3; 6) выгодно, дальше — нет.) Способ 2: графически, линии уровня $S + N = T$ (пунктир); максимально удалённая от начала координат линия, содержащая допустимую точку, проходит через (3; 6).
Ответ: 6 минут заряжать Nokia, 6 минут заряжать Samsung; тогда можно говорить 6 минут по Nokia и 3 минуты по Samsung. Максимальное время разговора — 9 минут.

Рассмотрим зависящую от $t$ часть издержек: $f(t) = tq + 100 - t^2$, $t \in [0, 10]$. Относительно $t$ это парабола ветвями вниз, поэтому минимум на отрезке достигается на одном из краёв: при $t = 0$ ($f = 100$) или при $t = 10$ ($f = 10q$). Минимум во второй точке при $q < 10$; при $q > 10$ — в городе ($t = 0$); при $q = 10$ безразлично ($f = 100$ в обеих точках).
Суммарные издержки как функция только от $q$:
$TC(q) = q^2 + 10q$ при $q < 10$; $TC(q) = q^2 + 100$ при $q \ge 10$.
Функция прибыли:
$\pi(q) = pq - q^2 - 10q$ при $q < 10$; $\pi(q) = pq - q^2 - 100$ при $q \ge 10$.
Каждый участок — парабола ветвями вниз. На первом участке максимум при $q = 0{,}5p - 5$, $\pi = (0{,}5p - 5)^2$. На втором участке максимум при $q = 0{,}5p$, $\pi = 0{,}25p^2 - 100$.
Первый участок выбирается, когда $(0{,}5p - 5)^2 \ge 0{,}25p^2 - 100$, откуда $p \le 25$. При $p = 25$ участки равнозначны (для определённости точка $p = 25$ отнесена к последнему участку).
Функция предложения:
$q_s(p) = 0$ при $p \le 10$; $q_s(p) = 0{,}5p - 5$ при $10 < p < 25$; $q_s(p) = 0{,}5p$ при $p \ge 25$.
Разрыв в функции предложения возникает потому, что при превышении ценой порога фирме становится выгодно перенести производство с периферии в город, обнуляя транспортные расходы и резко увеличивая выпуск.

а) Поиск параметров функции спроса. Пусть обратная функция спроса линейна: $P = a - bQ$, тогда $MR = a - 2bQ$. Поскольку $MR$ убывает, а $MC = 10$ постоянны, условие максимума прибыли $MR = MC$ даёт оптимальный выпуск. Оптимальный выпуск при максимизации прибыли равен 18, цена равна 100. Подставляя: $a - 2b\cdot 18 = 10$ и $a - b\cdot 18 = 100$. Решая систему, $b = 5$, $a = 190$. Значит, спрос $P = 190 - 5Q$, $MR = 190 - 10Q$.
Поиск точки максимума выручки. Так как $MR$ — убывающая функция, максимум выручки достигается при $MR = 0$: $190 - 10Q = 0$, то есть $Q = 19$. (То же — через вершину параболы выручки $TR = (190 - 5Q)Q$.) Цена в этой точке $P = 190 - 5\cdot 19 = 95$ тыс. ливров.
Итак, максимизируя выручку, скульптор продал бы 19 экземпляров по цене 95 тыс. ливров.

б) Уничтожение формы убедило заказчиков, что приобретённые статуи будут в будущем цениться высоко. Если бы форма не была уничтожена, в будущем могли быть отлиты новые экземпляры (что вероятно, ведь не весь спрос был удовлетворён 18 экземплярами); это сделало бы работу менее редкой и снизило бы её будущую цену. Уничтожив форму, скульптор сделал предложение статуй на вторичном рынке заведомо ограниченным, что повысило готовность покупателей платить, а значит, и прибыль скульптора. Каждый экземпляр тем ценнее для покупателей, чем меньше всего таких экземпляров; рост готовности платить (рост спроса) увеличивает прибыль продавца.