Тема 14 из 18 · сборник олимпиадных задач

Задачи на олигополию и теорию игр с ответами — Курно, Штакельберг, Бертран и картель на олимпиадах по экономике

Q: Чем олигополия отличается от других рыночных структур?

На олигополистическом рынке работает несколько крупных фирм, и решения каждой из них заметно влияют на прибыль остальных. Поэтому фирмы ведут себя стратегически: учитывают ожидаемую реакцию конкурентов. Вход на рынок затруднён барьерами, а товар может быть как однородным, так и дифференцированным.

Q: Как найти равновесие Курно?

Запишите прибыль каждой фирмы как функцию её выпуска при заданном выпуске соперника и найдите максимум — для линейного спроса это вершина параболы. Получатся функции реакции. Решите их систему; для одинаковых фирм удобно сразу положить выпуски равными.

Q: Чем модель Штакельберга отличается от модели Курно?

В модели Курно фирмы выбирают объёмы одновременно, а в модели Штакельберга лидер ходит первым и учитывает функцию реакции последователя. Задача решается обратной индукцией. При одинаковых линейных издержках лидер производит больше, чем в Курно, а суммарный выпуск на рынке выше.

Q: Почему картель неустойчив?

Картель максимизирует общую прибыль, выбирая монопольный выпуск. Но если остальные соблюдают квоту, каждой фирме выгодно увеличить свой выпуск и получить больше — это ситуация дилеммы заключённого. При однократном взаимодействии сговор распадается; удержать его помогают повторяющиеся взаимодействия и наказания за отклонение.

Q: Что такое равновесие Нэша?

Это набор стратегий игроков, при котором ни одному из них не выгодно в одиночку менять свою стратегию, если остальные свои не меняют. Равновесий может быть несколько или ни одного в чистых стратегиях. В последовательных играх равновесие находят обратной индукцией — от последнего хода к первому.

32 задач на олигополию, модели Курно, Штакельберга и Бертрана, картельный сговор, равновесие Нэша, доминирующие стратегии и обратную индукцию — из ВсОШ, Высшей пробы и МОШ 2000–2023 годов. У каждой задачи — источник и ответ.

32задачи с ответами

3муниципального этапа

6регионального этапа

2заключительного этапа

Перейти к задачам Теория за 3 минуты

Коротко о теме

Олигополия за 3 минуты: что нужно знать перед задачами

Главное об олигополии и играх

Олигополия — несколько крупных фирм и высокие барьеры входа. Главное отличие — стратегическое поведение: прибыль фирмы зависит от решений конкурентов.
Равновесие Нэша — набор стратегий, при котором никому не выгодно менять свою стратегию в одиночку. Доминирующая стратегия лучше остальных при любых действиях соперника.
Курно — фирмы одновременно выбирают объёмы. Каждая максимизирует прибыль при заданном выпуске соперника — получается функция реакции; равновесие — пересечение функций реакции.
Штакельберг — лидер выбирает объём первым, зная функцию реакции последователя. Решается обратной индукцией: сначала реакция последователя, потом выбор лидера.
Картель ведёт себя как монополист: суммарный выпуск из $MR=MC$, затем делится между участниками.
Сравнение при одинаковых линейных издержках: выпуск растёт от картеля к Курно и Штакельбергу, цена — падает.

Пример: дуополия Курно, шаг за шагом

Спрос: $P=120-Q$, где $Q=q_1+q_2$. У обеих фирм $MC=30$, постоянных издержек нет. Найдите равновесие Курно и сравните с картелем.

Прибыль фирмы 1 при выпуске соперника $q_2$. $\pi_1=(120-q_1-q_2-30)\,q_1=(90-q_2-q_1)\,q_1$ — парабола по $q_1$ ветвями вниз с корнями $0$ и $90-q_2$.
Функция реакции — вершина параболы. $q_1=\tfrac{90-q_2}{2}$, симметрично $q_2=\tfrac{90-q_1}{2}$.
Равновесие. Фирмы одинаковы, поэтому $q_1=q_2=q$: $q=\tfrac{90-q}{2}\Rightarrow q=30$. $Q=60$, $P=60$, прибыль каждой $30\cdot30=900$.
Картель. Как монополист: $\pi=(90-Q)Q$, вершина $Q=45$, $P=75$, общая прибыль $2025$ — по $1012{,}5$ на фирму, больше 900. Но при $q_2=22{,}5$ фирме 1 выгоднее выпустить $\tfrac{90-22{,}5}{2}=33{,}75$ — сговор неустойчив.

Если фирма 1 — лидер по Штакельбергу, она подставляет реакцию соперника: $\pi_1=\left(90-q_1-\tfrac{90-q_1}{2}\right)q_1=\tfrac{(90-q_1)\,q_1}{2}$, откуда $q_1=45$, $q_2=22{,}5$.

Задачи с ответами