Темы задач регионального этапа ВсОШ по экономике 2018 года (сезон 2017/18): монополия, взаимодействие, формализация, КПВ, рынок труда и макроэкономика. Здесь собрано 5 задач с развёрнутым решением: для 9 класса — 4, для 10 класса — 4, для 11 класса — 4. Тесты первых трёх частей того же года разобраны по темам в сборнике олимпиадных задач — там есть фильтр «региональный этап».
«Борьба с пробками»
9 кл. · 30 баллов 50 человек живут в пригороде и ездят на работу в город М на метро или на автомобиле. Поездка на метро всегда занимает 50 минут; поездка на автомобиле — $11 + 2n$ минут, где $n$ — общее число едущих на автомобиле. Люди учитывают только время в пути; в равновесии никто не может доехать быстрее, сменив транспорт. Мэр хочет уменьшить пробки. Для каждой меры (вводится по отдельности) определите общее время, которое жители проводят в автомобилях в пути на работу.
а) (6 баллов) Равновесие без мер.
б) (6 баллов) Новая развязка: время на машине $9 + 2n$.
в) (6 баллов) Дополнительные поезда: время на метро сокращается до 40 минут.
г) (6 баллов) Ограничение парковки: время каждого автомобилиста растёт на 10 минут.
д) (6 баллов) Запрет ДВС: на машине (электромобиле) могут ехать только 10 человек, остальные 40 — на метро.
Решение
Равновесие: автомобилисту не выгодно пересесть на метро ($11+2n \le 50$) и пассажиру метро не выгодно пересесть на авто ($50 \le 11 + 2(n+1)$).
а) $n \le 19{,}5$ и $n \ge 18{,}5$ ⇒ $n = 19$. Время на авто $11 + 38 = 49$ мин. Суммарно $49\cdot19 = 931$ мин.
б) $9 + 2n \le 50$ и $50 \le 9 + 2(n+1)$ ⇒ $19{,}5 \le n \le 20{,}5$ ⇒ $n = 20$. Время $9 + 40 = 49$ мин, суммарно $49\cdot20 = 980$ мин — больше, чем без развязки! Рост пропускной способности привлёк больше водителей.
в) $11 + 2n \le 40$ и $40 \le 11 + 2(n+1)$ ⇒ $13{,}5 \le n \le 14{,}5$ ⇒ $n = 14$. Время $11 + 28 = 39$ мин, суммарно $39\cdot14 = 546$ мин. Ускорение метро снижает пробки.
г) $11 + 2n + 10 \le 50$ и $50 \le 11 + 2(n+1) + 10$ ⇒ $13{,}5 \le n \le 14{,}5$ ⇒ $n = 14$ (как в в)). Время $11 + 28 + 10 = 49$ мин, суммарно $49\cdot14 = 686$ мин. Затруднение парковки снижает пробки.
д) Даже все 10 владельцев электромобилей: время $11 + 20 = 31 < 50$ — все 10 едут на авто, 40 на метро. Суммарно $31\cdot10 = 310$ мин.
Альтернативно (а–г): приравнять время $11 + 2n = 50$ и т. п., получить дробное $n$, округлить вниз (отправка «колеблющегося» на метро сохраняет равновесие).
Критерии оценивания
Применяется общая шкала перевода в баллы комплекта 2018 (итог кратен 5: 30 / 25 / 20 / 15 / 10 / 5 / 0). Каждый пункт — 6 баллов, из них −1 за арифметическую ошибку, не сильно исказившую результат.
Если участник решает «приравниванием времён», но неверно решает вопрос с округлением (оставляет дробный ответ, округляет не в ту сторону или в правильную, но без объяснения) — 3 балла за пункт. Если из-за арифметической ошибки ответ сразу получился целым и округление не потребовалось — 2 балла за пункт.
«Географическое разнообразие»
9–11 кл. · 30 баллов В стране A есть столица и очень много маленьких городов. Автобусная компания «Солнышко» — единственный перевозчик между столицей и маленькими городами. Она выбирает цены билетов и в какие города пускать автобусы из столицы (между маленькими городами дорог нет); число городов целое. Спрос в каждый город одинаков: $q_i = 400/P_i^2$, где $q_i$ — спрос на билеты в $i$-й город, $P_i$ — цена билета ($i = 1,\dots,n$, $n$ — число обслуживаемых городов). Издержки перевозки одного пассажира — 2 д.е. (без учёта организации маршрута). Организация маршрута в первый город стоит 1 д.е., во второй — 2, …, в $n$-й — $n$ д.е.
Определите максимальную прибыль фирмы «Солнышко».
Решение
Прибыль $\pi = \sum_{i}(P_i q_i - 2q_i) - (1 + 2 + \dots + n)$. Обратный спрос $P_i = 20/\sqrt{q_i}$, сумма прогрессии $(n^2 + n)/2$:
$\pi = \sum_i (20\sqrt{q_i} - 2q_i) - \frac{n^2 + n}{2}$.
Каждое слагаемое — парабола по $\sqrt{q_i}$: при $\sqrt{q_i} = s$ имеем $20s - 2s^2$, вершина $s = 5$, то есть $q_i = 25$ (эквивалентно: $\frac{d}{dq}(20\sqrt{q} - 2q) = 10/\sqrt{q} - 2 = 0 \Rightarrow q = 25$; или через цену $P_i = 4$; или индекс Лернера: $|\varepsilon| = 2$, $MC = 2 \Rightarrow P_i = 4$). В каждый город продаётся 25 билетов по цене 4, независимо от $n$.
Прибыль от одного города: $20\cdot5 - 2\cdot25 = 50$. Тогда $\pi(n) = 50n - \frac{n^2 + n}{2} = \frac{99n - n^2}{2}$ — парабола ветвями вниз, вершина $n = 49{,}5$. Число городов целое; 49 и 50 симметричны относительно 49,5, прибыль одинакова:
$\pi = \frac{99\cdot50 - 50^2}{2} = \frac{4950 - 2500}{2} = 1225$.
Ответ: 1225.
Альтернативно: каждый новый маршрут даёт +50 выгоды, но стоит $k$ д.е.; открывать пока выгода $\ge$ издержек ⇒ 49 или 50 маршрутов, $\pi = 50\cdot49 - (1+\dots+49) = 1225$.
Критерии оценивания
Применяется общая шкала перевода в баллы комплекта 2018 (итог кратен 5: 30 / 25 / 20 / 15 / 10 / 5 / 0). Схема — классификация некорректностей.
Недочёты: Н1 — ошибка в преобразованиях/расчётах/дифференцировании, не упростившая решение и не повлиявшая на ответ; Н2 — найдено $n$, максимизирующее прибыль, но не учтена целочисленность (оставлен дробный ответ); Н3 — не проверено достаточное условие максимума хотя бы один раз; Н4 — не посчитано численное значение максимальной прибыли.
Ошибки: О1 — неверная формула суммы арифметической прогрессии; О2 — ошибка, существенно упростившая решение, давшая экономически нелогичный результат (напр. возрастающие функции спроса) или качественно исказившая итог (напр. вывод, что фирма должна закрыться).
Изъяны: И1 — не искал оптимальное $n$ (оставил прибыль как функцию $n$: $\pi(n) = (99n - n^2)/2$).
Минимальные продвижения: П1 — максимизирована прибыль от одного города (получено $q_i = 25$).
Итоговый балл — по общей шкале (30/25/20/15/10/5/0).
«Лоббирование»
9–11 кл. · 30 баллов Страна A располагает 200 единицами труда и производит два товара — Икс и Игрек. На единицу Икса нужно 2 единицы труда, на единицу Игрека — 1 единица. На мировом рынке единица Игрека стоит как единица Икса, в этой пропорции можно обменивать любой товар на другой в любом количестве. Пропорцию обмена можно изменить лоббированием: наняв лоббистов, страна добьётся удвоения мировой цены любого из товаров (в единицах другого). Услуги лоббистов стоят 50 единиц Игрека независимо от выбранного товара.
Кривая торгово-лоббистских возможностей (КТЛВ) — множество точек, ограничивающее сверху все доступные наборы $(x, y)$ в результате производства, торговли и лоббирования. Постройте КТЛВ страны A и выведите её аналитическое выражение.
Решение
Без лоббирования страна имеет сравнительное преимущество в Игреке: внутренняя альтернативная стоимость 1 Игрека = 0,5 Икса, а на мировом рынке 1:1. Страна произведёт 200 Игреков и часть продаёт по курсу 1:1, получая КТВ без лоббирования: $x + y = 200$.
Лоббировать рост цены Икса невыгодно: курс обмена сравняется с внутренними альтернативными издержками, выгод от торговли нет, а 50 Игреков потрачены.
Лоббирование роста цены Игрека: страна тратит 50 Игреков, остаётся 150, но за каждый Игрек дают 2 Икса. КТВ с лоббированием: $x/2 + y = 150$ (формально: экспорт $e$ Игреков даёт $2e$ Икса, $y = 150 - e$, $x = 2e$).
Какая КТВ выше: $200 - x \ge 150 - x/2 \Rightarrow x \le 100$. КТЛВ:
$y = 200 - x$ при $0 \le x \le 100$; $y = 150 - x/2$ при $100 < x \le 300$.
Эквивалентная запись через сравнение по $x$: $y = 200 - x$ при $100 \le y \le 200$; $x = 300 - 2y$ при $0 \le y < 100$.
Графически: КТЛВ — верхняя огибающая двух КТВ (без и с лоббированием), излом в точке $(100;100)$.
Примечание: точку $(100;100)$ можно отнести к любому из участков (КТЛВ непрерывна); указание границ $x,y \ge 0$, $x \le 300$, $y \le 200$ необязательно. По решению ЦПМК более сложные трактовки (многократное лоббирование и т. п.) при корректных расчётах тоже засчитываются.
Критерии оценивания
Применяется общая шкала перевода в баллы комплекта 2018 (итог кратен 5: 30 / 25 / 20 / 15 / 10 / 5 / 0). Схема — классификация некорректностей.
Недочёты: Н1 — ошибка в преобразованиях/расчётах, не упростившая решение и не повлиявшая на ответ; Н2 — не объяснено, что лоббировать рост цены Икса (и экспортировать его) невыгодно.
Ошибки: О1 — ошибка, существенно упростившая решение, давшая экономически нелогичный результат (напр. возрастающую КТЛВ) или качественно исказившая итог (напр. вывод, что лоббирование не нужно никогда).
Изъяны: И1 — неверно определено направление экспорта (страна экспортирует Икс); И2 — КТЛВ построена содержательно неверно (не верхняя граница объединения множеств; в частности, КТЛВ из одного участка — без лоббирования или только с ним).
Минимальные продвижения: П1 — построена КПВ ($2x + y = 200$) аналитически или графически; П2 — объяснено, почему страна экспортирует Игрек (до и/или после лоббирования).
Итоговый балл — по общей шкале (30/25/20/15/10/5/0).
«Прибыль — это не всё»
9–11 кл. · 30 баллов Фирма ABC максимизирует не прибыль, а сумму прибыли и величины, зависящей от уровня безработицы: $G = \pi + 16(100 - u)$, где $\pi$ — прибыль, $u$ — уровень безработицы в процентах. В стране 100 человек, 70 стабильно заняты на других производствах и в ABC не пойдут; 30 безработных, фирма нанимает именно их (других работодателей у них нет). Спрос на продукцию ABC: $Q = 120 - P$. Товар производится только трудом, $Q = 2L$. При найме $L$ работников каждому платят $w = 4L$.
На сколько процентных пунктов уровень безработицы будет меньше по сравнению с тем, который был бы при максимизации фирмой ABC прибыли?
Решение
Подставим $\pi = PQ - wL$, $P = 120 - Q$, $Q = 2L$, $w = 4L$, $u = (30 - L)/100\cdot100\% = 30 - L$:
$G = (120 - 2L)\cdot2L - 4L\cdot L + 16(100 - (30 - L)) = -8L^2 + 256L + 1120$ — парабола ветвями вниз, вершина $L^* = 16$ ($G' = -16L + 256 = 0$; производная меняет знак с + на −, вторая производная $-16 < 0$ ⇒ максимум).
Уровень безработицы $u^* = (100 - 70 - 16) = 14\%$.
При максимизации прибыли $\pi = (120 - 2L)\cdot2L - 4L\cdot L = -8L^2 + 240L$ — вершина $L^{**} = 15$, $u^{**} = 30 - 15 = 15\%$.
Разница: $15\% - 14\% = 1$ процентный пункт.
Ответ: на 1 процентный пункт.
Примечание: стандартные формулы монополии ($MR = MC$, индекс Лернера) здесь не работают, т.к. целевая функция — не прибыль. Можно максимизировать через $Q$, $P$ или $w$ (везде парабола ветвями вниз) с тем же итогом.
Критерии оценивания
Применяется общая шкала перевода в баллы комплекта 2018 (итог кратен 5: 30 / 25 / 20 / 15 / 10 / 5 / 0). Схема — классификация некорректностей.
Недочёты: Н1 — ошибка в преобразованиях/расчётах/дифференцировании, не упростившая решение и не повлиявшая на ответ (в частности, получено $L^* > L^{**}$, как и должно быть); Н2 — не проверено достаточное условие максимума хотя бы один раз.
Ошибки: О1 — неверная формула уровня безработицы; О2 — не проведён расчёт $L^{**}$ (сколько наняла бы фирма при максимизации прибыли); О3 — ошибка, существенно упростившая решение, давшая экономически нелогичный результат или качественно исказившая итог (напр. вывод, что фирма должна закрыться).
Изъяны: И1 — не проведён расчёт $L^*$ (сколько нанимает фирма с заданной целевой функцией).
Минимальные продвижения: П1 — выписана целевая функция $G$, преобразованная к одной переменной.
Итоговый балл — по общей шкале (30/25/20/15/10/5/0).
«Внезапный центробанк»
10–11 кл. · 30 баллов В закрытой экономике страны Альфа единственный конечный товар производят $N$ одинаковых фирм на рынке совершенной конкуренции. Выпуск фирмы $q = \sqrt{L}$, где $L$ — число её работников. Зарплата одного работника фиксирована профсоюзом и равна $W$. Совокупный спрос $Y_{AD} = 2M/P$, где $M$ — денежная масса, $P$ — уровень цен.
Центробанк неожиданно проводит сдерживающую ДКП, в результате которой новое предложение денег отличается от старого на 36% (профсоюз не успевает скорректировать зарплату, число фирм неизменно). На сколько процентов и в каком направлении изменится реальная заработная плата работников?
Решение
Прибыль фирмы $\pi = Pq - WL = Pq - Wq^2$ — парабола ветвями вниз, максимум $q = P/(2W)$. (Эквивалентно через $L$: $\pi = P\sqrt{L} - WL$, $L = (P/(2W))^2$; убывающая производная / $MRP_L$ ⇒ максимум.)
Совокупное предложение $N$ фирм: $Y_{AS} = NP/(2W)$.
Равновесие $Y_{AD} = Y_{AS}$: $2M/P = NP/(2W) \Rightarrow P = 2\sqrt{MW/N}$.
Реальная зарплата $W/P = \frac{1}{2}\sqrt{NW/M}$.
При изменении $M$ с $M_0$ до $M_1$ (прочее неизменно): $\frac{(W/P)_1}{(W/P)_0} = \sqrt{M_0/M_1}$.
Сдерживающая политика ⇒ деньги снижаются: $M_1 = 0{,}64 M_0$. Тогда отношение $= \sqrt{1/0{,}64} = 1{,}25$.
Ответ: реальная зарплата выросла на 25%.
Критерии оценивания
Применяется общая шкала перевода в баллы комплекта 2018 (итог кратен 5: 30 / 25 / 20 / 15 / 10 / 5 / 0). Схема — классификация некорректностей.
Недочёты: Н1 — ошибка в преобразованиях/расчётах/дифференцировании, не упростившая решение и не повлиявшая на ответ; Н2 — не проверено достаточное условие максимума (напр. найдена вершина параболы, но не указано, что ветви вниз).
Ошибки: О1 — ошибка, существенно упростившая решение, давшая экономически нелогичный результат или качественно исказившая итог (напр. снижение реальной зарплаты); О2 — неверно определено направление изменения денежной массы (рассмотрен рост, хотя политика сдерживающая).
Минимальные продвижения: П1 — найдена функция предложения фирмы или её спроса на труд (максимизация прибыли), даже без проверки достаточных условий.
Итоговый балл — по общей шкале (30/25/20/15/10/5/0).
Для этого класса задач в архиве нет. Сбросьте фильтр.
