Задачи ВсОШ по экономике 2018: региональный этап с решениями и ответами

Равновесие: автомобилисту не выгодно пересесть на метро ($11+2n \le 50$) и пассажиру метро не выгодно пересесть на авто ($50 \le 11 + 2(n+1)$).
а) $n \le 19{,}5$ и $n \ge 18{,}5$ ⇒ $n = 19$. Время на авто $11 + 38 = 49$ мин. Суммарно $49\cdot19 = 931$ мин.
б) $9 + 2n \le 50$ и $50 \le 9 + 2(n+1)$ ⇒ $19{,}5 \le n \le 20{,}5$ ⇒ $n = 20$. Время $9 + 40 = 49$ мин, суммарно $49\cdot20 = 980$ мин — больше, чем без развязки! Рост пропускной способности привлёк больше водителей.
в) $11 + 2n \le 40$ и $40 \le 11 + 2(n+1)$ ⇒ $13{,}5 \le n \le 14{,}5$ ⇒ $n = 14$. Время $11 + 28 = 39$ мин, суммарно $39\cdot14 = 546$ мин. Ускорение метро снижает пробки.
г) $11 + 2n + 10 \le 50$ и $50 \le 11 + 2(n+1) + 10$ ⇒ $13{,}5 \le n \le 14{,}5$ ⇒ $n = 14$ (как в в)). Время $11 + 28 + 10 = 49$ мин, суммарно $49\cdot14 = 686$ мин. Затруднение парковки снижает пробки.
д) Даже все 10 владельцев электромобилей: время $11 + 20 = 31 < 50$ — все 10 едут на авто, 40 на метро. Суммарно $31\cdot10 = 310$ мин.
Альтернативно (а–г): приравнять время $11 + 2n = 50$ и т. п., получить дробное $n$, округлить вниз (отправка «колеблющегося» на метро сохраняет равновесие).

Прибыль фирмы $\pi = Pq - WL = Pq - Wq^2$ — парабола ветвями вниз, максимум $q = P/(2W)$. (Эквивалентно через $L$: $\pi = P\sqrt{L} - WL$, $L = (P/(2W))^2$; убывающая производная / $MRP_L$ ⇒ максимум.)
Совокупное предложение $N$ фирм: $Y_{AS} = NP/(2W)$.
Равновесие $Y_{AD} = Y_{AS}$: $2M/P = NP/(2W) \Rightarrow P = 2\sqrt{MW/N}$.
Реальная зарплата $W/P = \frac{1}{2}\sqrt{NW/M}$.
При изменении $M$ с $M_0$ до $M_1$ (прочее неизменно): $\frac{(W/P)_1}{(W/P)_0} = \sqrt{M_0/M_1}$.
Сдерживающая политика ⇒ деньги снижаются: $M_1 = 0{,}64 M_0$. Тогда отношение $= \sqrt{1/0{,}64} = 1{,}25$.
Ответ: реальная зарплата выросла на 25%.

Прибыль $\pi = \sum_{i}(P_i q_i - 2q_i) - (1 + 2 + \dots + n)$. Обратный спрос $P_i = 20/\sqrt{q_i}$, сумма прогрессии $(n^2 + n)/2$:
$\pi = \sum_i (20\sqrt{q_i} - 2q_i) - \frac{n^2 + n}{2}$.
Каждое слагаемое — парабола по $\sqrt{q_i}$: при $\sqrt{q_i} = s$ имеем $20s - 2s^2$, вершина $s = 5$, то есть $q_i = 25$ (эквивалентно: $\frac{d}{dq}(20\sqrt{q} - 2q) = 10/\sqrt{q} - 2 = 0 \Rightarrow q = 25$; или через цену $P_i = 4$; или индекс Лернера: $|\varepsilon| = 2$, $MC = 2 \Rightarrow P_i = 4$). В каждый город продаётся 25 билетов по цене 4, независимо от $n$.
Прибыль от одного города: $20\cdot5 - 2\cdot25 = 50$. Тогда $\pi(n) = 50n - \frac{n^2 + n}{2} = \frac{99n - n^2}{2}$ — парабола ветвями вниз, вершина $n = 49{,}5$. Число городов целое; 49 и 50 симметричны относительно 49,5, прибыль одинакова:
$\pi = \frac{99\cdot50 - 50^2}{2} = \frac{4950 - 2500}{2} = 1225$.
Ответ: 1225.
Альтернативно: каждый новый маршрут даёт +50 выгоды, но стоит $k$ д.е.; открывать пока выгода $\ge$ издержек ⇒ 49 или 50 маршрутов, $\pi = 50\cdot49 - (1+\dots+49) = 1225$.

Без лоббирования страна имеет сравнительное преимущество в Игреке: внутренняя альтернативная стоимость 1 Игрека = 0,5 Икса, а на мировом рынке 1:1. Страна произведёт 200 Игреков и часть продаёт по курсу 1:1, получая КТВ без лоббирования: $x + y = 200$.
Лоббировать рост цены Икса невыгодно: курс обмена сравняется с внутренними альтернативными издержками, выгод от торговли нет, а 50 Игреков потрачены.
Лоббирование роста цены Игрека: страна тратит 50 Игреков, остаётся 150, но за каждый Игрек дают 2 Икса. КТВ с лоббированием: $x/2 + y = 150$ (формально: экспорт $e$ Игреков даёт $2e$ Икса, $y = 150 - e$, $x = 2e$).
Какая КТВ выше: $200 - x \ge 150 - x/2 \Rightarrow x \le 100$. КТЛВ:
$y = 200 - x$ при $0 \le x \le 100$; $y = 150 - x/2$ при $100 < x \le 300$ (1.1).
Эквивалентная запись через сравнение по $x$: $y = 200 - x$ при $100 \le y \le 200$; $x = 300 - 2y$ при $0 \le y < 100$ (1.2).
Графически: КТЛВ — верхняя огибающая двух КТВ (без и с лоббированием), излом в точке $(100;100)$.
Примечание: точку $(100;100)$ можно отнести к любому из участков (КТЛВ непрерывна); указание границ $x,y \ge 0$, $x \le 300$, $y \le 200$ необязательно. По решению ЦПМК более сложные трактовки (многократное лоббирование и т. п.) при корректных расчётах тоже засчитываются.

Подставим $\pi = PQ - wL$, $P = 120 - Q$, $Q = 2L$, $w = 4L$, $u = (30 - L)/100\cdot100\% = 30 - L$:
$G = (120 - 2L)\cdot2L - 4L\cdot L + 16(100 - (30 - L)) = -8L^2 + 256L + 1120$ — парабола ветвями вниз, вершина $L^* = 16$ ($G' = -16L + 256 = 0$; производная меняет знак с + на −, вторая производная $-16 < 0$ ⇒ максимум).
Уровень безработицы $u^* = (100 - 70 - 16) = 14\%$.
При максимизации прибыли $\pi = (120 - 2L)\cdot2L - 4L\cdot L = -8L^2 + 240L$ — вершина $L^{**} = 15$, $u^{**} = 30 - 15 = 15\%$.
Разница: $15\% - 14\% = 1$ процентный пункт.
Ответ: на 1 процентный пункт.
Примечание: стандартные формулы монополии ($MR = MC$, индекс Лернера) здесь не работают, т.к. целевая функция — не прибыль. Можно максимизировать через $Q$, $P$ или $w$ (везде парабола ветвями вниз) с тем же итогом.