КПВ и миграция
9–11 кл. · 20 баллов В стране 1 могут производиться два товара — X и Y. Есть две технологии производства товара X: старая (1 единица труда даёт 1 единицу X) и новая (1 единица труда даёт 2 единицы X, но по новой технологии можно произвести не более 200 единиц X из-за ограниченного числа станков). Для товара Y ситуация абсолютно такая же: те же технологии с тем же ограничением для новой. В стране 1 есть 150 единиц труда. Страна 2 отличается только тем, что в ней не 150, а 50 единиц труда.
В пунктах а)-в) укажите на графиках координаты крайних точек и точек излома КПВ.
а) (6 баллов) Постройте КПВ страны 1 и КПВ страны 2.
б) (6 баллов) Постройте общую КПВ двух стран, если миграция труда между странами невозможна.
в) (5 баллов) Постройте общую КПВ двух стран, если возможна свободная миграция труда между странами.
г) (3 балла) Если товары X и Y потребляются только в пропорции $k$ единиц Y на 1 единицу X, то при каких $k > 0$ суммарное потребление в пункте в) увеличится по сравнению с пунктом б)?
Решение
а) Страна 1. Если весь упор на Y: 200 единиц Y по новой технологии требуют 100 единиц труда, оставшиеся 50 дают ещё 50 единиц Y по старой ⇒ максимум $Y = 250$, крайняя точка $(0, 250)$. Начиная производить X по новой технологии (альт. издержки $1/2$), сокращаем Y по старой технологии; через 50 единиц Y получаем $50/(1/2) = 100$ единиц X — точка излома $(100, 200)$. Далее X по новой за счёт Y по новой (альт. издержки 1) до ограничения $X \le 200$ — точка $(200, 100)$. На последнем участке X по старой за счёт Y по новой (альт. издержки 2), ещё 50 единиц X — крайняя точка $(250, 0)$.
Страна 2: 50 единиц труда дают по новой технологии максимум $100 < 200$ единиц любого товара, поэтому всё производится по новой технологии, альт. издержки всегда 1. КПВ линейна: $Y = 100 - X$, крайние точки $(0,100)$ и $(100,0)$.
б) Без миграции КПВ складываются горизонтально. Постоянная альт. стоимость 1 в стране 2 «удлиняет» средний участок страны 1: на нём две страны вместе производят 200 единиц с альт. стоимостью 1. Крайние точки $(0, 350)$ и $(350, 0)$, точки излома $(100, 300)$ и $(300, 100)$.
в) При миграции получаем одну страну: $150 + 50 = 200$ единиц труда, по новой технологии до $200 + 200 = 400$ единиц каждого товара. 200 единиц труда как раз дают максимум 400 единиц по новой технологии ⇒ весь труд занят по новой, альт. издержки всюду 1. Общая КПВ линейна: $Y = 400 - X$, крайние точки $(0, 400)$ и $(400, 0)$.
г) КПВ из в) совпадает с КПВ из б) на среднем участке и лежит выше на крайних. Потребление растёт, если точка производства попадает на крайние участки. Графически (пересечение луча $Y = kX$ с изломами): $k < 1/3$ или $k > 3$, то есть $k \in (0; 1/3) \cup (3; +\infty)$.
Критерии оценивания
За каждую арифметическую ошибку снимается 1 балл. «Определение» = расчёт координат с объяснением; за график с верными точками без объяснений ставятся только баллы за построение. Для симметричных точек достаточно расчёта одной и ссылки на симметрию.
а) КПВ страны 1 — 4 б. (максимумы X и Y по 250 — 1 б.; изломы $(100,200)$, $(200,100)$ — 1 б.; график с подписями — 2 б.); КПВ страны 2 — 2 б. (максимумы по 100 либо верная функция — 1 б.; график — 1 б.).
б) Общая КПВ без миграции — 6 б. (максимумы по 350 — 1 б.; изломы $(100,300)$, $(300,100)$ — 3 б.; график — 2 б.).
в) Общая КПВ с миграцией — 5 б. (максимумы по 400 — 2 б.; наблюдение о постоянных альт. издержках 1 — 1 б.; график с точками $(400,0)$ и $(0,400)$ — 2 б.).
г) преимущество миграции только на крайних участках — 2 б.; расчёт $k$ — 1 б. (включение граничных $1/3$ или $3$ допускается).
Между «Ох» и «Ух»
9–11 кл. · 20 баллов Ох-Банк и Ух-Банк принимают вклады по ставкам (% годовых на весь период, без капитализации):
Ох-банк: полгода — 24, год — 18, два года — 12.
Ух-банк: полгода — 22, год — 15, два года — 11.
Иннокентий Осторожный хочет разместить 2 млн руб. на 2 года, максимизируя итоговую сумму при условии, что ни один банк не банкротится. При этом он рассматривает только варианты, при которых не потеряет ни тело вклада, ни проценты, если какой-либо банк обанкротится в конце второго года. В каждом банке застраховано максимум 1,4 млн руб. (включая накопленные проценты). Одновременно у него может быть максимум по одному вкладу в каждом банке. Иннокентий уверен, что через полгода ставки упадут до 10% годовых и будут держаться: через полгода можно вложить под 10% на 1,5 года; через год — под 10% на 1 год. Куда, сколько и на какой срок вложить (ответ округлить до целых рублей)?
Решение
После короткого вклада остаток срока размещается под 10% годовых. Все стартовые ставки Ух-банка ниже, чем у Ох-банка, поэтому первый вклад — в Ох-банк. Коэффициенты роста за 2 года при разном сроке первого вклада в Ох-банк:
• полгода: $(1 + 0{,}24\cdot0{,}5)(1 + 0{,}1\cdot1{,}5) = 1{,}12\cdot1{,}15 = 1{,}288$;
• год: $(1 + 0{,}18)(1 + 0{,}1) = 1{,}18\cdot1{,}1 = 1{,}298$;
• два года: $1 + 0{,}12\cdot2 = 1{,}24$.
Максимум даёт первый вклад на год (29,8% за 2 года). Через год сумма $2\cdot1{,}18 = 2{,}36$ млн руб.
Распределение на второй год: пусть $x$ млн в Ох-банк, тогда $1{,}1x \le 1{,}4 \Rightarrow x \le 1{,}272727$; для Ух-банка $2{,}36 - x \le 1{,}272727 \Rightarrow x \ge 1{,}087273$. Отрезок непуст: $x \in [1{,}087273;\ 1{,}272727]$ млн руб. (например, поровну по 1,18 млн).
Ответ: вложить 2 млн руб. в Ох-банк на год, затем $x$ млн в Ох-банк и $2{,}36 - x$ млн в Ух-банк, где $x \in [1{,}087273;\ 1{,}272727]$ млн руб.
Критерии оценивания
За каждую арифметическую ошибку снимается 1 балл. Всего 20 баллов:
• верная стратегия (сначала всё в Ох-банк, потом делим) — 2 б.;
• пояснение, почему сразу в Ух-банк не нужно — 1 б.;
• верный расчёт каждого из трёх коэффициентов роста за 2 года — по 3 б., итого 9 б. (расчёт «с капитализацией» вопреки условию — 2 из 3 за коэффициент);
• определение оптимального срока первого вклада в Ох-банк — 2 б.;
• приведение хотя бы одного верного разделения на второй год — 2 б.;
• объяснение, почему разделение подходит — 4 б. (по 2 б. за проверку лимита 1,4 млн в каждом банке; при поиске полного отрезка — 2 б. за левую границу с пояснением и 2 б. за правую).
Примечание: решения с иной (некорректной) трактовкой момента банкротства проверяются по этой же схеме и получают частичный балл за верные расчёты.
Мотивация для менеджера
9–10 кл. · 20 баллов Владелец фирмы-монополии нанял менеджера по маркетингу. Менеджер может приложить усилия для продвижения товара: чем выше уровень усилий $e$, тем выше спрос: $q = \sqrt{e} - p$, где $p$ — цена, $q$ — количество. Усилия объёмом $e$ обходятся менеджеру в $e^2$. Зарплата менеджера равна доле выручки: $w = b\cdot TR$, где $0 < b < 1$, $TR$ — выручка монополии.
Сначала владелец выбирает $b$, затем менеджер выбирает $e$ и $q$, воспринимая $b$ как заданный. Владелец максимизирует выручку за вычетом зарплаты менеджера (других издержек нет). Менеджер максимизирует зарплату за вычетом издержек на усилия.
а) (5 баллов) Найдите оптимальное для менеджера $q^*$ при произвольных $b$ и $e$.
б) (8 баллов) Найдите оптимальные для менеджера $e^*$ и $q^*$ в зависимости от $b$.
в) (7 баллов) Найдите оптимальное для владельца $b^*$, а также $e^*$ и $q^*$, которые выберет менеджер при $b = b^*$.
Решение
а) При заданных $b$ и $e$ менеджер максимизирует $U = b\cdot p\cdot q - e^2$. Так как $p = \sqrt{e} - q$, выручка $TR = q(\sqrt{e} - q)$, и $U = bq(\sqrt{e} - q) - e^2$. Слагаемое $-e^2$ не влияет на оптимизацию по $q$; при $b > 0$ максимизируется $q(\sqrt{e} - q)$ — парабола ветвями вниз. Вершина: $q^* = \sqrt{e}/2$. (Эквивалентно условие $MR = \sqrt{e} - 2q = 0$.)
б) Подставив $q^* = \sqrt{e}/2$: $TR = \frac{\sqrt{e}}{2}\cdot\frac{\sqrt{e}}{2} = \frac{e}{4}$. Полезность менеджера $U = b\cdot\frac{e}{4} - e^2$ — парабола ветвями вниз по $e$, максимум: $e^* = \frac{b}{8}$. Тогда $q^* = \frac{\sqrt{e^*}}{2} = \frac{\sqrt{b/8}}{2} = \frac{\sqrt{2b}}{8}$.
в) При $e^*(b)$ выручка $TR = e^*/4 = \frac{b}{32}$. Прибыль владельца $\Pi = TR(1 - b) = \frac{b}{32}(1 - b)$ — парабола ветвями вниз по $b$, максимум: $b^* = \frac{1}{2}$. Тогда $e^* = \frac{1/2}{8} = \frac{1}{16}$, $q^* = \frac{\sqrt{1/16}}{2} = \frac{1}{8}$.
Критерии оценивания
За каждую арифметическую ошибку снимается 1 балл; за неуказанное направление ветвей параболы баллы не снимаются.
а) (5 б.): запись полезности менеджера через $q,e,b$, либо выручки через $q,e$, либо условия $MR=0$ — 3 б.; вывод $q^* = \sqrt{e}/2$ — 2 б.
б) (8 б.): запись полезности менеджера через $e$ и $b$ — 3 б.; вывод $e^* = b/8$ — 3 б.; вывод $q^* = \sqrt{b/8}/2$ (любая эквивалентная форма) — 2 б.
в) (7 б.): функция прибыли фирмы через $b$ — 3 б.; $b^* = 1/2$ — 2 б.; $q^* = 1/8$ — 1 б.; $e^* = 1/16$ — 1 б.
Два налога — два мультипликатора
11 кл. · 20 баллов Закрытая экономика с функцией потребления $C(Y_d) = C_a + mpc\cdot Y_d$, где $C_a > 0$ — автономное потребление, $Y_d$ — располагаемый доход, $0 < mpc < 1$. Государственные закупки $G$ и инвестиции $I$ постоянны. Бюджет может быть несбалансированным.
а) (8 баллов) Действует пропорциональный подоходный налог со ставкой $t$ ($0 < t < 1$). Определите равновесный ВВП и выведите формулу мультипликатора госзакупок.
б) (10 баллов) Подоходный налог отменён, вместо него введён пропорциональный налог на потребление с той же ставкой $t$: в начале периода домохозяйства получают весь доход; немедленно платят налог в размере доли $t$ от потребления предыдущего периода; затем планируют текущее потребление по $C(Y_d)$. Равновесие — значения ВВП и потребления, не меняющиеся из периода в период. Найдите равновесный ВВП и мультипликатор госзакупок.
в) (2 балла) Сравните мультипликаторы из а) и б): в каком случае он больше?
Решение
а) Подоходный налог $= tY$, располагаемый доход $Y_d = (1 - t)Y$. Потребление $C = C_a + mpc(1 - t)Y$. Условие равновесия $Y = C + I + G$:
$Y = \frac{C_a + I + G}{1 - mpc(1 - t)}$. Мультипликатор госзакупок — коэффициент при $G$: $mult_G = \frac{1}{1 - mpc(1 - t)}$.
б) В равновесии потребление не меняется, поэтому налог $T = tC$. Располагаемый доход $Y_d = Y - tC$, и $C = C_a + mpc(Y - tC)$, откуда $C = \frac{C_a + mpc\cdot Y}{1 + mpc\cdot t}$. Подставив в $Y = C + I + G$:
$Y = \frac{C_a + (I + G)(1 + mpc\cdot t)}{1 - mpc(1 - t)}$. Мультипликатор: $mult_G = \frac{1 + mpc\cdot t}{1 - mpc(1 - t)}$.
в) Знаменатели одинаковы и положительны. Числитель в а) равен 1, в б) равен $1 + mpc\cdot t > 1$ (так как $mpc > 0$, $t > 0$). Значит, при налоге на потребление мультипликатор госзакупок больше.
Критерии оценивания
За каждую арифметическую (алгебраическую) ошибку снимается 1 балл.
а) (8 б.): корректная функция потребления через $t$ и $Y$ — 3 б.; равновесный ВВП — 3 б.; значение мультипликатора (любым способом) — 2 б. (если ВВП найден верно, вывод формулы пояснять не нужно; без найденного ВВП за голую формулу — 0 б.).
б) (8 б. по схеме; пункт оценивается из 8): уравнение равновесного потребления при данном $Y$, не зависящее от $T$ — 4 б.; уравнение для $Y$ (без $C$) — 3 б.; равновесный $Y$ — 1 б.; значение мультипликатора — 2 б.
в) (2 б.): верный ответ, при каком налоге мультипликатор больше — 2 б. Баллы ставятся, только если в а) и б) получены верные формулы и ответ основан на них; за угаданный ответ — 0 б.
Для этого класса задач в архиве нет. Сбросьте фильтр.
