Задачи ВсОШ по экономике 2015: региональный этап с решениями и ответами

а) Только из Альфы: КПВ $X + 4Y = 80$. Только из Гаммы: $2X + Y = 80$. Без ограничения по хранению, пользуясь обоими видами сырья, КПВ была бы: $X + 4Y = 400$ при $X \le 80$; $2X + Y = 240$ при $X > 80$ (сначала Икс производят из Альфы — меньшие альтернативные издержки, затем из Гаммы). Но есть ограничение по хранению $X + Y \le 140$. С его учётом КПВ Панацеи:
$X + 4Y = 400$ при $X \le 160/3$; $X + Y = 140$ при $160/3 < X \le 100$; $2X + Y = 240$ при $X > 100$.

б) Максимальный комплект на КПВ при пропорции $X = 2{,}5Y$ — это 100 об.ед. Икс и 40 об.ед. Игрек (лежит на точке излома КПВ). Если цена Икс меньше альтернативных издержек хранения единицы Икс, Панацее выгоднее снижать производство Икс и наращивать Игрек. Интервал цен, при котором Панацея согласна продавать данный комплект: $1 \le P \le 2$, где 1 — альтернативные издержки хранения единицы Икс на участке $160/3 < X < 100$, а 2 — альтернативные издержки производства единицы Икс при $X > 100$.
Ответ: а) $X + 4Y = 400$ при $X \le 160/3$; $X + Y = 140$ при $160/3 < X \le 100$; $2X + Y = 240$ при $X > 100$. б) $1 \le P \le 2$.

Из $q = \sqrt{L}$ следует $L = q^2$, затраты на труд $5L = 5q^2$. Малое предприятие использует не более 4 единиц труда, то есть $q \le 2$.
Без налога прибыль $\pi = pq - 5q^2$ — парабола ветвями вниз с вершиной $q = 0{,}1p$. Вершина удовлетворяет $q < 2$ при $p < 20$, значит при $p < 20$ оптимально быть малым предприятием (и без учёта налога).
При $p \ge 20$ фирме выгодно либо производить ровно 2 тонны (максимум без налога), либо больше двух тонн с налогом. При $q = 2$: $\pi_1 = 2p - 20 = (p - 10)\cdot 2$. При выпуске больше 2 тонн прибыль $\pi = pq - 5q^2 - 10q$ — парабола ветвями вниз, максимум при $q = 0{,}1p - 1$, $\pi_2 = (p - 10)^2\cdot 0{,}05$.
Первый вариант выбирается, когда $\pi_1 \ge \pi_2$: $(p - 10)\cdot 2 \ge (p - 10)^2\cdot 0{,}05$, при $p \ge 20$ это даёт $2 \ge (p - 10)\cdot 0{,}05$, откуда $p \le 50$.
Функция предложения: $q_s = 0{,}1p$ при $p < 20$; $q_s = 2$ при $20 \le p \le 50$; $q_s = 0{,}1p - 1$ при $p > 50$.
Примечание: верный ответ засчитывается независимо от того, в какой участок включена точка $p = 50$.

а) Пусть бедные получают $X$, средний класс $2X$, богатые $4X$. Совокупный доход $Y = 7X$, доля каждой группы по численности 1/3. Доли дохода нарастающим итогом: бедные 1/7, бедные + средний класс 3/7, все 1. Кривая Лоренца — ломаная через точки (0;0), (1/3; 1/7), (2/3; 3/7), (1; 1). Индекс Джини $G = 2/7$ (площадь между кривой и линией равенства, делённая на 1/2).

б) Абсолютное равенство достигается, когда доходы после налога у трёх групп равны. Для богатых ставка 75 % ($4X \to X$), для среднего класса 50 % ($2X \to X$), для бедных 0 %. Доходы государства: $T = 0{,}75\cdot 4X + 0{,}5\cdot 2X + 0 = 4X$.

в) После уплаты налогов все три группы получают одинаковый доход, коэффициент Джини станет равен нулю. Так как все ценят и заработок, и свободное время, богатые и средний класс могут снижать время работы или отказываться от дополнительного заработка в пользу досуга, и доходы государства будут сокращаться. В предельном случае (средний класс и богатые отказались от дополнительного заработка) доходы государства составили бы $3tX$, что на $4X$ меньше поступлений из пункта б).

г) Налоговые поступления — сумма по группам: для каждой группы (доход) × (ставка налога из п. б) × (доля оставшихся, с учётом доли $2t$ перешедших в более бедную группу и пришедших из более богатой). Оптимальные ставки: на богатых 75 %, на средний класс 50 %, на бедных 0 %; при этих ставках ни один индивид не переходит в другую группу, поступления максимальны и достигается абсолютное равенство.

а) При совершенной конкуренции $p = MC = 2$. Из спроса $2 = 21 - 0{,}001Q$, $Q = 19000$. При мощности 1000 тыс. км на фирму на рынке будет не менее $N = 19$ фирм.

б) Число фирм ограничено 15, то есть введено ограничение объёма $Q = 15000$ (мощности фирм сохраняются). Возникает дефицит и рост цены. Из спроса $p = 21 - 0{,}001\cdot 15000 = 6$. Прибыль каждой фирмы $\pi = 6\cdot 1000 - 2\cdot 1000 = 4000$; всех фирм — 60000 д.е.

в) Лицензию имеет смысл перепродать по цене не меньше её текущей ценности: $4000/0{,}1 = 40000$ д.е. Фирма, купившая лицензию на вторичном рынке, не получит положительной экономической прибыли, так как заплатит за лицензию её ценность.

г) Высокопроизводительная фирма (2000 тыс. км) получит большую отдачу от лицензии, поэтому будет участвовать в аукционе. На рынке остаётся 15 фирм. Если новая фирма работает, новое равновесие: $p = 21 - 0{,}001(14\cdot 1000 + 2000) = 5$. Прибыль новой фирмы $\pi = 5\cdot 2000 - 2\cdot 2000 = 6000$, прибыль каждой из остальных $= 5\cdot 1000 - 2\cdot 1000 = 3000$. Если технологии госу неизвестны и аукцион выигрывает предложивший больше, низкопроизводительные фирмы готовы платить до 30000 д.е., а высокопроизводительная — немного больше, выигрывая аукцион; при этом она получит положительную экономическую прибыль не более 30000 д.е.

д) Совместно определяя объём, 15 фирм образуют картель (монополию). Условие максимума $MR = MC$: $MR = 21 - 0{,}002Q = 2$, $Q^* = 9500$, $p^* = 11{,}5$. Прибыль $\pi = 11{,}5\cdot 9500 - 2\cdot 9500 = 90250$; в среднем на фирму $90250/15 \approx 6017$ д.е.