Задачи ВсОШ по экономике 2010: региональный этап с решениями и ответами

1) Спрос фирм на труд. Прибыль $\pi = P\cdot 2\sqrt{L} - WL$. Приравниваем производную по $L$ к нулю: $P/\sqrt{L} - W = 0$, откуда $L = (P/W)^2$. Производная убывает при $L > 0$, значит это максимум. Спрос на труд $L^D = (P/W)^2$.
2) Равновесие на рынке труда: $8000\,W/P = (P/W)^2$. Обозначив $w = W/P$: $8000 w = 1/w^2$, откуда $w^3 = 1/8000$, $w = 1/20$. Тогда $L = (P/W)^2 = (1/w)^2 = 20^2 = 400$. Потенциальный выпуск $Y = 2\sqrt{400} = 2\cdot 20 = 40$.
3) Совокупный спрос при $M = 25$: $Y = 50/P$. При $Y = 40$: $40 = 50/P$, откуда $P = 5/4$.
Ответ: уровень цен $P = 5/4$; ставка реальной зарплаты $W/P = 1/20$; выпуск $Y = 40$.

а) Оценим суммарные потери общества (фермы и завода) в каждом варианте при $X = 2000$. Без очистки потери $= 2000$. Если очищает завод — $3000$. Если очищает ферма — $5000$. Минимальны потери, если очистки не происходит (2000). Наилучшее для общества решение — не очищать воду.
б) При $X = 4000$: завод примет предложение фермы, только если ему заплатят сумму не меньше 3000 (стоимость очистки для завода). Ферма при полной информации знает это и предложит ровно 3000, так как остальные варианты для неё хуже: самостоятельная очистка 5000, отсутствие очистки 4000 (ущерб). Заплатив заводу 3000 за очистку, ферма несёт 3000 вместо 4000. Это эффективно для общества: общественные потери минимальны (3000). Торг привёл к эффективному решению (иллюстрация теоремы Коуза).

а) Доход чиновника от продажи лицензий $(100 - p)p$, в казну уходит официальная плата $20(100 - p)$, компенсация чиновнику $10(100 - p)$, издержки $10(100 - p)$, жалование 50. Выигрыш чиновника: $\pi = (100 - p)p - 20(100 - p) + 50$ (компенсация и издержки взаимно сокращаются). Это парабола ветвями вниз, максимум при $p = 60$. Размер взятки $= 60 - 20 = 40$ у.е. Выигрыш: $\pi = 40\cdot 40 + 50 = 1650$.
б) У чиновника два варианта: честно сообщать о лицензиях (получая компенсацию издержек — случай а) или полностью утаивать доход, неся издержки сам. Для второго варианта решаем $\max\,[(100 - p)p - 10(100 - p) + 50]$. Максимум при $p = 55$, взятка $= 55 - 20 = 35$. Прибыль второго варианта: при $Q = 100 - 55 = 45$... выигрыш $= (55 - 10)\cdot 45 + 50 = 65\cdot 25 + 50 = 1675$ против 1650 в случае а). Чиновнику выгодно умалчивать о количестве лицензий; оптимальный размер взятки 35.
в) Объявляя о выданной лицензии, чиновник передаёт в казну её официальную стоимость, но получает покрытие расходов 10 у.е., то есть чистый выигрыш $10 - (\text{плата за лицензию})$. Чиновнику выгодно объявлять о лицензии, только если официальная плата не превышает 10 у.е. (его альтернативных издержек). Значит, максимальная официальная плата, при которой чиновник ещё показывает лицензии (и казна пополняется), равна 10 у.е.

Обозначим $q_h$, $q_f$ — продажи на внутреннем и зарубежном рынках, $Q = q_h + q_f$. $MR_h(q_h) = 100 - 2q_h$, $MR_f = P_f$ (рынок конкурентен), $MC(Q) = Q$.
а) От противного: пусть $Q = 0$, тогда $\pi(0) = 0$. Рассмотрим $\tilde Q = q_h > 0$: $\pi = (100 - q_h)q_h - 0{,}5q_h^2 = (100 - 1{,}5q_h)q_h > 0$ при $0 < q_h < 100/1{,}5$. Это больше нуля, противоречие. Значит, оптимальный объём положителен.
б) Пусть $q_h > 0$, $q_f > 0$ и $MR_h \ne MR_f$, для определённости $MR_h > MR_f$. Перераспределим продажи в пользу рынка с большей предельной выручкой: $\Delta q_h = a > 0$, $\Delta q_f = -a$. Совокупный выпуск не меняется, издержки прежние, изменение прибыли $\Delta\pi = a(100 - 2q_h - a - P_f) > 0$ при малых $a$ (так как $100 - 2q_h - P_f = MR_h - MR_f > 0$). Противоречие — значит $MR_h = MR_f$. Вторая часть: если $q_h = 0$, то $MR_h = 100 \ge P_f$ (иначе перераспределение в пользу внутреннего рынка увеличило бы прибыль).
в) Пусть $q_f > 0$ и $MR_f \ne MC$, для определённости $P_f > Q$. Произведя дополнительно $b$ единиц на экспорт: $\Delta\pi = P_f b - [0{,}5(Q+b)^2 - 0{,}5Q^2] = b(P_f - Q - 0{,}5b) > 0$ при $0 < b < 2(P_f - Q)$. Противоречие. Аналогично для внутреннего рынка ($100 - 2q_h = Q$). Значит, на каждом рынке с продажами $MR = MC$.
г) Пусть $P_f < 100$. Если $q_h = 0$, то по п. а) $Q = q_f > 0$, и $MR_h = 100 > P_f = MR_f$ — противоречие с п. б). Значит $q_h > 0$. Обратно: пусть $q_h > 0$, тогда $MR_h = 100 - 2q_h < 100$; по п. б) $MR_h = MR_f = P_f$, и так как $MR_h$ может быть ниже только при $q_h > 0$, получаем $P_f < 100$.
д) При положительных продажах на обоих рынках $MR_h = MR_f$: $100 - 2q_h = P_f$, откуда $q_h = (100 - P_f)/2$. Повышение цены за рубежом снижает продажи на внутреннем рынке.