Долгосрочное равновесие (рынок труда и AD)
9–11 кл. · 10 баллов В закрытой экономике предложение труда задано функцией $L^S = 8000\,W/P$, где $W$ — номинальная зарплата, $P$ — уровень цен. ВВП создаётся только трудом по производственной функции $F(L) = 2\sqrt{L}$, где $L$ — занятость в часах. Кривая совокупного спроса $Y = 2M/P$, где $M$ — номинальное предложение денег. Все рынки совершенно конкурентны. Найдите уровень цен, ставку реальной заработной платы и выпуск в долгосрочном равновесии при $M = 25$.
Решение
1) Спрос фирм на труд. Прибыль $\pi = P\cdot 2\sqrt{L} - WL$. Приравниваем производную по $L$ к нулю: $P/\sqrt{L} - W = 0$, откуда $L = (P/W)^2$. Производная убывает при $L > 0$, значит это максимум. Спрос на труд $L^D = (P/W)^2$.
2) Равновесие на рынке труда: $8000\,W/P = (P/W)^2$. Обозначив $w = W/P$: $8000 w = 1/w^2$, откуда $w^3 = 1/8000$, $w = 1/20$. Тогда $L = (P/W)^2 = (1/w)^2 = 20^2 = 400$. Потенциальный выпуск $Y = 2\sqrt{400} = 2\cdot 20 = 40$.
3) Совокупный спрос при $M = 25$: $Y = 50/P$. При $Y = 40$: $40 = 50/P$, откуда $P = 5/4$.
Ответ: уровень цен $P = 5/4$; ставка реальной зарплаты $W/P = 1/20$; выпуск $Y = 40$.
Критерии оценивания
Вывод спроса на труд $L^D = (P/W)^2$ (с обоснованием максимума) — 4 б.; равновесие на рынке труда: $W/P = 1/20$ — 2 б. и $L = 400$ — 2 б.; потенциальный выпуск $Y = 40$ — 1 б.; вычисление кривой AD и уровня цен $P = 5/4$ — 3 б. (итого 12 контрольных баллов при максимуме 10; полный балл за полное верное решение).
Загрязнение реки
9–11 кл. · 10 баллов Химический завод загрязняет воду, сливая в реку отходы, что наносит ущерб расположенной ниже по течению ферме в размере $X$ у.е. Завод мог бы очищать стоки с дополнительными издержками 3000 у.е. Ферма также может проводить дополнительную очистку воды, что повысит её издержки на 5000 у.е.
а) (5 баллов) Пусть $X = 2000$ у.е. Найдите наилучшее для общества решение: стоит ли очищать воду, и если стоит — на заводе или на ферме?
б) (5 баллов) Пусть $X = 4000$ у.е. Завод и ферма ведут переговоры. Закон разрешает заводу сбрасывать стоки, поэтому ферма предлагает заводу компенсацию за очистку стоков; завод может принять или отвергнуть предложение. Будет ли достигнуто эффективное для общества решение при полной информации об издержках и выгодах и отсутствии издержек на переговоры?
Решение
а) Оценим суммарные потери общества (фермы и завода) в каждом варианте при $X = 2000$. Без очистки потери $= 2000$. Если очищает завод — $3000$. Если очищает ферма — $5000$. Минимальны потери, если очистки не происходит (2000). Наилучшее для общества решение — не очищать воду.
б) При $X = 4000$: завод примет предложение фермы, только если ему заплатят сумму не меньше 3000 (стоимость очистки для завода). Ферма при полной информации знает это и предложит ровно 3000, так как остальные варианты для неё хуже: самостоятельная очистка 5000, отсутствие очистки 4000 (ущерб). Заплатив заводу 3000 за очистку, ферма несёт 3000 вместо 4000. Это эффективно для общества: общественные потери минимальны (3000). Торг привёл к эффективному решению (иллюстрация теоремы Коуза).
Критерии оценивания
а) (5 б.): оценка суммарных потерь общества по трём вариантам и вывод, что очистка не нужна (минимум 2000).
б) (5 б.): завод примет предложение при оплате $\ge 3000$ — 1 б.; ферма при полной информации предложит ровно 3000, остальные варианты для неё хуже (5000 и 4000) — 2 б.; вывод, что решение эффективно (минимальные общественные потери 3000), торг привёл к эффективному результату — 2 б.
Лицензии и взятки чиновника
9–11 кл. · 20 баллов В королевстве N каждый предприниматель должен приобрести у короля лицензию. Лицензии выдаёт чиновник, назначенный королём. Чиновник в дополнение к официальной плате (20 у.е. за лицензию) берёт взятку за каждую выданную лицензию, причём размер взятки одинаков для всех. Выдача одной лицензии сопряжена для чиновника с издержками 10 у.е. Чиновник получает фиксированное жалование 50 у.е. и, кроме того, компенсацию 10 у.е. за каждую лицензию, плата за которую поступила в казну. Спрос на лицензии $Q = 100 - p$, где $p$ — цена лицензии, включая взятку.
а) (6 баллов) Спрос королю неизвестен, но король может проверить, сколько лицензий выдано, поэтому вся официальная плата должна поступать в казну (иначе недостача взыскивается с чиновника, и он лишается жалования). Какой размер взятки назначит чиновник? Какой выигрыш он получит?
б) (7 баллов) Король не может узнать, сколько лицензий выдано. Найдите оптимальный размер взятки.
в) (7 баллов) Если бы король стремился пополнить казну, какую максимальную официальную плату он установил бы за лицензию в ситуации, когда количество выданных лицензий ему неизвестно?
Решение
а) Доход чиновника от продажи лицензий $(100 - p)p$, в казну уходит официальная плата $20(100 - p)$, компенсация чиновнику $10(100 - p)$, издержки $10(100 - p)$, жалование 50. Выигрыш чиновника: $\pi = (100 - p)p - 20(100 - p) + 50$ (компенсация и издержки взаимно сокращаются). Это парабола ветвями вниз, максимум при $p = 60$. Размер взятки $= 60 - 20 = 40$ у.е. Выигрыш: $\pi = 40\cdot 40 + 50 = 1650$.
б) У чиновника два варианта: честно сообщать о лицензиях (случай а) или полностью утаивать их, неся издержки сам и не передавая официальную плату в казну. Во втором варианте он решает $\max\,[(100 - p)(p - 10) + 50]$. Максимум при $p = 55$, взятка $= 55 - 20 = 35$. Выигрыш: $45\cdot 45 + 50 = 2075$ против 1650 в случае а). Чиновнику выгодно умалчивать о количестве лицензий; оптимальный размер взятки 35.
в) Объявляя о выданной лицензии, чиновник передаёт в казну её официальную стоимость, но получает покрытие расходов 10 у.е., то есть чистый выигрыш $10 - (\text{плата за лицензию})$. Чиновнику выгодно объявлять о лицензии, только если официальная плата не превышает 10 у.е. (его альтернативных издержек). Значит, максимальная официальная плата, при которой чиновник ещё показывает лицензии (и казна пополняется), равна 10 у.е.
Критерии оценивания
а) (6 б.): функция выигрыша чиновника — 3 б.; решение задачи чиновника (максимизация) — 1 б.; определение размера взятки $= 40$ — 2 б.
б) (7 б.): постановка задачи для варианта утаивания дохода — 2 б.; решение и определение взятки $= 35$ — 2 б.; сравнение прибылей двух вариантов и выбор лучшего — 3 б.
в) (7 б.): идея чистого выигрыша $10 - $ плата при объявлении лицензии — 3 б.; вывод о максимальной официальной плате $= 10$ у.е. (равна альтернативным издержкам чиновника) — 4 б.
Монополист на внутреннем и зарубежном рынках
9–11 кл. · 20 баллов Спрос на продукцию монополиста внутри страны $Q^D(P_h) = 100 - P_h$, где $P_h$ — цена на внутреннем рынке. Функция издержек $TC(Q) = Q^2/2$. Монополист может продавать продукцию как на внутреннем рынке, так и на конкурентном рынке за рубежом по цене $P_f$. Монополист выбирает объёмы производства и продаж на двух рынках, максимизирующие прибыль (предполагается, что такие объёмы существуют).
а) (3 балла) Докажите, что совокупный объём продаж монополиста при любых $P_f$ и любом внутреннем спросе не может быть равен нулю.
б) (6 баллов) Докажите, что на каждом рынке, где монополист продаёт, предельная выручка одинакова и не ниже предельной выручки на рынке, где продаж нет.
в) (4 балла) Докажите, что на каждом рынке, где есть продажи, предельная выручка равна предельным издержкам.
г) (4 балла) Докажите, что монополист заинтересован в продажах на внутреннем рынке тогда и только тогда, когда $P_f < 100$.
д) (3 балла) Как зависит объём продаж на внутреннем рынке от цены за рубежом, если продажи на обоих рынках положительны?
Решение
Обозначим $q_h$, $q_f$ — продажи на внутреннем и зарубежном рынках, $Q = q_h + q_f$. $MR_h(q_h) = 100 - 2q_h$, $MR_f = P_f$ (рынок конкурентен), $MC(Q) = Q$.
а) От противного: пусть $Q = 0$, тогда $\pi(0) = 0$. Рассмотрим $\tilde Q = q_h > 0$: $\pi = (100 - q_h)q_h - 0{,}5q_h^2 = (100 - 1{,}5q_h)q_h > 0$ при $0 < q_h < 100/1{,}5$. Это больше нуля, противоречие. Значит, оптимальный объём положителен.
б) Пусть $q_h > 0$, $q_f > 0$ и $MR_h \ne MR_f$, для определённости $MR_h > MR_f$. Перераспределим продажи в пользу рынка с большей предельной выручкой: $\Delta q_h = a > 0$, $\Delta q_f = -a$. Совокупный выпуск не меняется, издержки прежние, изменение прибыли $\Delta\pi = a(100 - 2q_h - a - P_f) > 0$ при малых $a$ (так как $100 - 2q_h - P_f = MR_h - MR_f > 0$). Противоречие — значит $MR_h = MR_f$. Вторая часть: если $q_h = 0$, то $MR_h = 100 \ge P_f$ (иначе перераспределение в пользу внутреннего рынка увеличило бы прибыль).
в) Пусть $q_f > 0$ и $MR_f \ne MC$, для определённости $P_f > Q$. Произведя дополнительно $b$ единиц на экспорт: $\Delta\pi = P_f b - [0{,}5(Q+b)^2 - 0{,}5Q^2] = b(P_f - Q - 0{,}5b) > 0$ при $0 < b < 2(P_f - Q)$. Противоречие. Аналогично для внутреннего рынка ($100 - 2q_h = Q$). Значит, на каждом рынке с продажами $MR = MC$.
г) Пусть $P_f < 100$. Если $q_h = 0$, то по п. а) $Q = q_f > 0$, и $MR_h = 100 > P_f = MR_f$ — противоречие с п. б). Значит $q_h > 0$. Обратно: пусть $q_h > 0$, тогда $MR_h = 100 - 2q_h < 100$; по п. б) $MR_h = MR_f = P_f$, и так как $MR_h$ может быть ниже только при $q_h > 0$, получаем $P_f < 100$.
д) При положительных продажах на обоих рынках $MR_h = MR_f$: $100 - 2q_h = P_f$, откуда $q_h = (100 - P_f)/2$. Повышение цены за рубежом снижает продажи на внутреннем рынке.
Критерии оценивания
а) (3 б.): $\pi(0) = 0$ — 1 б.; построение положительного выпуска с большей прибылью — 2 б.
б) (6 б.): первая часть ($MR_h = MR_f$) через перераспределение с обоснованием непустоты — 3 б.; вторая часть (на рынке без продаж $MR$ не выше) — 3 б.
в) (4 б.): доказательство $MR_f = MC$ для зарубежного рынка — 2 б.; для внутреннего рынка $MR_h = MC$ — 2 б.
г) (4 б.): прямое утверждение ($P_f < 100 \Rightarrow q_h > 0$) — 2 б.; обратное ($q_h > 0 \Rightarrow P_f < 100$) — 2 б.
д) (3 б.): вывод $q_h = (100 - P_f)/2$ — 2 б.; вывод, что рост $P_f$ снижает внутренние продажи — 1 б.
Для этого класса задач в архиве нет. Сбросьте фильтр.
