Задачи ВсОШ по экономике 2019: региональный этап с решениями и ответами

а) Система потоков в равновесии:
$\Delta E = 0{,}25U + 0{,}1N - 0{,}05E = 0$; $\Delta N = 0{,}2U - 0{,}1N = 0$; $\Delta U = -0{,}25U + 0{,}05E - 0{,}2U = 0$ (любые два достаточны).
Из $\Delta U$: $0{,}05E = 0{,}45U \Rightarrow E = 9U$, $u = U/(U+E) = 10\%$. Из $\Delta N$: $N = 2U$, доля ЭАН $= 10U/12U = 5/6$.

б) На начало года величины равны равновесным $E = 9U$, $N = 2U$. На конец года Z:
безработные $U_Z = U + 0{,}05E\cdot2 - 0{,}25U/2 - 0{,}2U + 0{,}1N/2 = U + 0{,}9U - 0{,}125U - 0{,}2U + 0{,}1U = 1{,}675U$;
занятые $E_Z = E - 2\cdot0{,}05E + 0{,}25U/2 + 0{,}1N/2 = 9U - 0{,}9U + 0{,}125U + 0{,}1U = 8{,}325U$.
Фактический уровень безработицы $u_Z = 1{,}675U/(1{,}675U + 8{,}325U) = 1{,}675/10 = 16{,}75\%$.
Закон Оукена: $\frac{Y_Z - Y^*}{Y^*}\cdot100\% = -\beta(u_Z - u^*) = -2\cdot(16{,}75\% - 10\%) = -2\cdot6{,}75\% = -13{,}5\%$.
Ответ: фактический ВВП ниже потенциального на 13,5%.

В долгосрочном равновесии изменения нулевые:
$\Delta U = 0{,}25\cdot(\text{из }N) ... $ — система потоков:
$\Delta E = 0{,}25U + 0{,}1N - 0{,}05E = 0$ (3.1);
$\Delta N = 0{,}2U - 0{,}1N = 0$ (3.2);
$\Delta U = -0{,}25U + 0{,}05E - 0{,}2U = 0$ (3.3).
(Достаточно любых двух уравнений, третье — следствие, т.к. $\Delta E + \Delta N + \Delta U = 0$.)
Уровень безработицы $u = U/(U+E)$. Из (3.3): $0{,}05E = 0{,}45U \Rightarrow E = 9U$, тогда $u = U/(U + 9U) = 10\%$.
Из (3.2): $N = 2U$. Доля экономически активного населения $\frac{U+E}{U+E+N} = \frac{10U}{12U} = \frac{5}{6}$.
Ответ: $u^* = 10\%$, доля ЭАН $= 5/6$.

а) Суммарный спрос: $Q_D = 190 - 2P$ при $P \le 40$; $150 - P$ при $40 < P \le 150$. Суммарное предложение: $Q_S = -60 + 2P$ при $P \ge 60$; $P$ при $0 \le P < 60$. Равновесие $P^* = 70$ (спрос = предложение = 80). При этой цене в Туле предложение > спроса, в Москве наоборот ⇒ экспорт из Тулы в Москву. (Можно и без расчёта: внутренняя цена в Туле ниже — 20 против 105 в Москве; экспорт идёт оттуда, где дешевле.)
Ответ: $P^* = 70$, экспортирует Тула, импортирует Москва.
Примечание: типичная ошибка — приравнять $IM = EX$ без учёта ограничений на цены: $210 - 2P = 2P - 40 \Rightarrow P = 62{,}5$, но при ней спрос в Туле отрицателен. Корректные функции импорта/экспорта кусочные и совпадают при $P = 70$ (импорт = экспорт = 70).

б) При экспортной пошлине цены различаются: $P^M = P^T + t$. Из равенства экспорта и импорта $210 - 2P^M = 2P^T - 40 \Rightarrow P^T = 62{,}5 - t/2$. Условие равного потребления: $Q_D^M = Q_D^T \Rightarrow 150 - (P^T + t) = 40 - P^T \Rightarrow t = 110$. Проверка: $P^M = 117{,}5$, $P^T = 7{,}5$, потребление по 32,5, но экспорт/импорт $= -25 < 0$. Значит при такой пошлине никто не везёт товар, равновесие совпадает с автаркией. Цель недостижима.
Другой довод: даже без торговли тульчане потребляют 20 против 45 в Москве; любой экспорт из Тулы лишь увеличивает разницу, сравнять потребление нельзя.
Ответ: не удастся.

в) Московская пошлина импортная, но логика та же: $P^M = P^T + t$, $P^T = 62{,}5 - t/2$. Условие равного предложения: $Q_S^M = Q_S^T \Rightarrow -60 + P^M = P^T \Rightarrow -60 + P^T + t = P^T \Rightarrow t = 60$. Проверка: $P^M = 92{,}5$, $P^T = 32{,}5$, предложение по 32,5, экспорт = импорт = 25 > 0. Цель достижима.
Ответ: удастся, $t = 60$, в каждой губернии производится по 32,5 пряника. (Выиграли тульские потребители и московские производители; проиграли тульские производители и московские потребители.)

Спад: $Q = (90 - P)/5 \Rightarrow P = 90 - 5Q$. Из $Q = L/2$ выручка и издержки выражаются через $L$. Прибыль:
$\pi(L_1, L_2) = (90 - L_1/2)\cdot L_1/2 + (90 - 5L_2/2)\cdot L_2/2 - (3 + L_1/4)L_1 - (3 + L_2/4)L_2 = (42L_1 - L_1^2/2) + (42L_2 - 3L_2^2/2)$.
а) Сумма двух независимых парабол ветвями вниз: $L_1^* = 42/1 = 42$, $L_2^* = 42/3 = 14$. (Эквивалентно $MRP_L = MC_L$ в каждом периоде; функции $MRP_L$ убывают, $MC_L$ возрастают ⇒ максимум.)
Ответ: 42 и 14.

б) Та же $\pi(L_1,L_2)$ при ограничении $L_2 \ge 0{,}5L_1$. Глобальный оптимум (42,14) ему не удовлетворяет; так как прибыль убывает в любом направлении от максимума, оптимум лежит на границе $L_2 = 0{,}5L_1$:
$\pi(L_1, 0{,}5L_1) = 42L_1 - L_1^2/2 + 21L_1 - 3(L_1/2)^2/2 = 63L_1 - 7L_1^2/8$ — парабола ветвями вниз, $L_1^* = 63/(7/4) = 36$, тогда $L_2^* = 18$.
Ответ: 36 и 18.

в) Сумма занятых: в а) $42 + 14 = 56$; в б) $36 + 18 = 54 < 56$. Благосостояние работников упало.
Примечание: предвидя сложности с увольнением, монополист изначально нанимает меньше работников — это и снижает их благосостояние.

а) $\pi_0(Q) = (20 - Q/2)Q - 10Q = 10Q - Q^2/2$ — парабола ветвями вниз, вершина $Q = 10$. На допустимом $[0;8]$ функция возрастает, оптимум $Q_0^* = 8$, прибыль $\pi_0(8) = 80 - 32 = 48$. (Эквивалентно: $MR = 20 - Q$, $MC = 10$; при всех $Q \le 8$ $MR > MC$, выгодно производить все 8; пересечение $MR = MC$ при $Q = 10$ недостижимо.)
Ответ: 48.

б) План А: $TC = 0{,}6\cdot10Q + X = 6Q + X$. $\pi_1(Q) = (20 - Q/2)Q - 6Q - X = 14Q - Q^2/2 - X$, вершина $Q = 14$, на $[0;8]$ возрастает, $Q_1^* = 8$, $\pi_1(8) = 112 - 32 - X = 80 - X$. Готовность платить: $80 - X \ge 48 \Rightarrow X \le 32$.
Ответ: 32.

в) Функция прибыли прежняя ($\pi_0$), отрезок расширился до $[0;12]$, который теперь содержит вершину $Q = 10$. Оптимум $Q = 10$, прибыль $\pi_0(10) - X = 50 - X$. $50 - X \ge 48 \Rightarrow X \le 2$.
Ответ: 2.

г) Меняются и функция, и отрезок: $\pi_1(Q) = 14Q - Q^2/2 - X$ на $[0;12]$. Вершина $Q = 14$ правее отрезка ⇒ возрастает, $Q^* = 12$, $\pi_1(12) = 12\cdot8 - X = 96 - X$. $96 - X \ge 48 \Rightarrow X \le 48$.
Ответ: 48.
Примечание: ответ в г) больше суммы б) и в) (32 + 2 = 34) из-за синергии: чем больше можно выпустить, тем выгоднее снижение себестоимости. Плату $X$ можно учитывать в конце как разность прибылей — это корректно.

Луч $x = y$ пересекает КПВ на «среднем» участке ⇒ точка $(48;48)$ выше КПВ. КПВ вогнута. КПВ регионов $y = a(24-x)$, $y = b(24-x)$, $y = c(24-x)$; самый правый участок $y = a(72-x)$, пересечение с $x=y$ при $x = 72a/(a+1) < 48 \Rightarrow a < 2$.
Альтернативные издержки в одном из регионов равны 1 (стране безразличен выпуск там после открытия). Три случая:
Случай A ($a=1$): максимум бананов $24(a+b+c) < 24\cdot3 = 72 < 104$ — противоречие.
Случай B ($b=1$): средний участок имеет наклон 1, при открытии торговли потребление не меняется ($w=0$) — противоречие; либо: вся КПВ под $y = 96 - x$ ⇒ максимум бананов < 96 < 104 — противоречие.
Случай C ($c=1$): верхний участок КПВ $y = 104 - x$ совпадает по наклону с линией обмена. Потребление после открытия — из пересечения $y = 104 - x$ и $x = y$: $x = y = 52$.
Потребление в автаркии: точка излома $(24;80)$ и точка $(72;0)$ на КПВ; прямая через них $y = 120 - 5x/3$; КПВ вогнута ⇒ лежит не ниже этой прямой ⇒ автарктическое потребление $\ge$ пересечения $y = 120 - 5x/3$ с $x=y$, равного 45. С другой стороны $(48;48)$ выше КПВ ⇒ автарктическое потребление < 48. Значит автаркия $\in (45; 48)$ (границы не включаются: 48 — иначе точка на КПВ; 45 — иначе $a=b$).
Выигрыш $w = 52 - (\text{автаркия}) \in (52-48;\ 52-45) = (4; 7)$.
Ответ: $w \in (4; 7)$.

Луч $x = y$ пересекает КПВ страны на «среднем» участке (каждый товар производится более чем в одном регионе) ⇒ точка $(40;40)$ лежит выше КПВ, точка $(20;20)$ — ниже.
КПВ страны вогнута (сумма линейных КПВ, закон возрастающих альтернативных издержек).
Верхняя граница: точка $(40;40)$ выше КПВ, $(60;0)$ на КПВ ⇒ вся КПВ под прямой $y = 120 - 2x$ ⇒ максимум бананов меньше 120.
Нижняя граница: $(20;20)$ ниже КПВ, КПВ вогнута ⇒ КПВ выше ломаной через $(0;20),(20;20),(60;0)$ ⇒ максимум бананов больше 20.
Аналитически: КПВ регионов $y = a(20 - x)$, $y = b(20 - x)$, $y = c(20 - x)$. Самый правый участок (наклон $a$): $y = a(60 - x)$, пересечение с $x = y$ при $x = 60a/(a+1) < 40 \Rightarrow a < 2 \Rightarrow T = 20(a+b+c) < 20\cdot3a < 120$. Самый левый участок (наклон $c$): пересечение при $x = 20(a+b+c)/(c+1) > 20 \Rightarrow a+b > 1 \Rightarrow T = 20(a+b+c) > 20$.
Все промежуточные значения достижимы. Границы не включаются: 20 — иначе альтернативные издержки в двух регионах равны (или одна из них равна 0); 120 — иначе все три равны.
Ответ: $T \in (20; 120)$.