Темы задач регионального этапа ВсОШ по экономике 2021 года (сезон 2020/21): монополия, совершенная конкуренция, финансы, КПВ, спрос и предложение, вмешательство государства и макроэкономика. Здесь собрано 7 задач с развёрнутым решением: для 9 класса — 4, для 10 класса — 4, для 11 класса — 4. Тесты первых трёх частей того же года разобраны по темам в сборнике олимпиадных задач — там есть фильтр «региональный этап».
Повышенная ставка
9–10 кл. · 30 баллов Предлагаются два вклада сроком 12 месяцев. Первый: ставка 1% в месяц, можно пополнять на любую сумму с интервалом не менее месяца. Второй: ставка 1,5% в месяц, пополнять нельзя. Проценты простые: сумма $A$, пролежавшая $n$ месяцев по ставке $(100r)\%$ в месяц, даёт проценты $A\cdot r\cdot n$.
а) (10 баллов) У вас изначально 500 тыс. руб. для размещения, и вы готовы сберегать 40 тыс. руб. каждый месяц (первая зарплата — через месяц после начала срока). Какой вклад выгоднее, если хотите накопить как можно больше к концу срока?
б) (20 баллов) Вы — менеджер банка, прогнозируете, сколько людей выберет каждый тип вклада. Пусть $A$ — сумма в начале срока, $b$ — сумма ежемесячного пополнения, $k = A/b$. Значения $k$ — от 5 до 15; доли людей: $[5;7]$ — 10%, $(7;9]$ — 20%, $(9;11]$ — 30%, $(11;13]$ — 30%, $(13;15]$ — 10%. Если человеку безразлично — он выбирает пополняемый. Какой процент людей выберет пополняемый вклад?
Решение
а) Пополняемый: $S_1 = 500 + 500\cdot 12\cdot 0{,}01 + 40\cdot 12 + 40\cdot 0{,}01\cdot(11+10+\dots+0) = 500 + 60 + 480 + 0{,}4\cdot 66 = 1066{,}4$ (проценты на пополнения: вклад месяца лежит соответственно 11,…,0 месяцев). Непополняемый: $S_2 = 500 + 500\cdot 12\cdot 0{,}015 + 40\cdot 12 = 500 + 90 + 480 = 1070$. Непополняемый выгоднее.
б) Пополняемый: $S_1 = A + A\cdot 12\cdot 0{,}01 + 12b + b\cdot 0{,}01\cdot(11+\dots+0) = 1{,}12A + 12{,}66b$. Непополняемый: $S_2 = A + A\cdot 12\cdot 0{,}015 + 12b = 1{,}18A + 12b$. Пополняемый выгоднее при $S_1 \ge S_2$: $1{,}12A + 12{,}66b \ge 1{,}18A + 12b \Rightarrow 0{,}66b \ge 0{,}06A \Rightarrow k = A/b \le 11$. Значит при $5 \le k \le 11$ — пополняемый, при $11 < k \le 15$ — непополняемый. Доля пополняемого: $10\% + 20\% + 30\% = 60\%$.
Ответ: 60%.
Примечание: в а) $k = 500/40 = 12{,}5 > 11$, поэтому непополняемый выгоднее (согласуется с б)).
Критерии оценивания
а) Всего 10 б.: сумма к концу года для пополняемого вклада — 4 б.; для непополняемого — 4 б.; вывод о предпочтении непополняемого — 2 б. (если участник выводит ответ а) из б) через $k=12{,}5>11$ без прямого расчёта $S_1,S_2$ — всё равно 10 б.).
б) Всего 20 б.: выражение суммы (от $A,b$) для пополняемого — 4 б.; для непополняемого — 4 б.; неравенство сравнения вкладов — 4 б.; решение неравенства, граничное $k=11$ — 4 б.; доля людей за пополняемый — 4 б.
Сложение квадратичных КПВ
9–11 кл. · 30 баллов На острове Паабалор два племени, потребляющие мясо ($x$) и плоды ($y$). КПВ: племя 1 — $y_1 = 4 - x_1^2$ (при $x_1 \in [0;2]$, $y_1 \in [0;4]$); племя 2 — $y_2 = 2 - x_2^2/8$ (при $x_2 \in [0;4]$, $y_2 \in [0;2]$).
а) (8 баллов) Какое максимальное количество плодов можно собрать, если всего нужно добыть 3 единицы мяса?
б) (8 баллов) То же, если нужно добыть 5 единиц мяса?
в) (14 баллов) Определите уравнение КПВ острова.
Решение
Суммарные плоды $y_1 + y_2 = 6 - x_1^2 - x_2^2/8$ при $x_1 + x_2 = X$, $x_1 \in [0;2]$, $x_2 \in [0;4]$.
а) $X = 3$: максимизируем $6 - x_1^2 - (3 - x_1)^2/8$ на $[0;2]$. Вершина параболы ветвями вниз $x_1^* = 1/3 \in [0;2]$ (второе племя даёт $8/3 \in [0;4]$). Плоды $6 - (1/3)^2 - (8/3)^2/8 = 5$.
Ответ: 5. (Альт. издержки: племя 1 — $2x_1$, племя 2 — $x_2/4$; приравнивание даёт ту же точку.)
б) $X = 5$: второе племя не может добыть больше 4, значит $x_1 \ge 1$, оптимизируем на $[1;2]$. Вершина $x_1 = 5/9 < 1$, оптимум на границе $x_1^* = 1$ (второе племя даёт все 4). Плоды $6 - 1 - 16/8 = 3$.
Ответ: 3.
в) Для произвольного $X \in [0;6]$: максимизируем $6 - x_1^2 - (X - x_1)^2/8$. Вершина $x_1 = X/9$. При $X \le 4$ оптимизация на $[0;2]$, $X/9 \in [0;2]$ всегда, $x_1^* = X/9$. При $X > 4$ — на $[X-4; 2]$, и $X/9 \ge X - 4 \Leftrightarrow X \le 4{,}5$.
Случай $X \le 4{,}5$: $x_1^* = X/9$, $y = 6 - (X/9)^2 - (8X/9)^2/8 = 6 - X^2/9$.
Случай $X > 4{,}5$: $x_1^* = X - 4$ (вершина левее отрезка, оптимум в левом конце), $y = 4 - (X-4)^2$.
КПВ острова: $y = 6 - X^2/9$ при $X \le 4{,}5$; $y = 4 - (X-4)^2$ при $4{,}5 \le X \le 6$.
Примечание: в точке $(4{,}5; 3{,}75)$ излома нет — наклон с обеих сторон стремится к единице. Альт. издержки не постоянны (стремятся к нулю при малых $x$), поэтому метод «порядка специализации» (как для линейных КПВ) неприменим; при $X<4{,}5$ племя 1 производит лишь $1/9$ объёма, племя 2 — $8/9$.
Критерии оценивания
Достаточное условие максимума — направление ветвей параболы вниз / смена знака первой производной с плюса на минус / отрицательная вторая производная / возрастание альтернативных издержек. За каждую арифметическую ошибку −1 балл.
а) Всего 8 б.: функция двух переменных для максимизации — 2 б.; переход к одной переменной — 1 б.; кандидат на оптимум через вершину/производную — 1 б.; проверка достаточного условия — 1 б.; проверка $x_1 \in [0;2]$ — 1 б.; проверка $x_2 \in [0;4]$ — 1 б.; значение $Y$ — 1 б.
б) Всего 8 б.: функция двух переменных — 2 б.; переход к одной переменной — 1 б.; краевой оптимум $(x_1^*,x_2^*)=(1,4)$ — 4 б. (через вершину вне отрезка + направление ветвей, либо монотонность через производную/сравнение альт. издержек); значение $Y$ — 1 б. Если участник остановился на вершине параболы — 3 б. Ссылка на симметрию с пунктом а) — 0 б. (симметрии между $x$ и $y$ нет).
в) Всего 14 б.: постановка задачи при произвольном $X$ — 5 б.; переход к одной переменной — 1 б.; правильное определение отрезка оптимизации для каждого $X$ — 2 б.; вершина/нулевая производная — 1 б.; определение критического $X=4{,}5$ (где решение переходит с вершины на границу, с обоснованием) — 4 б. (−1 б. без обоснования); расчёт максимального $Y$ — 1 б.
Шарик-бизнесмен
9 кл. · 30 баллов Шарик — монополист по производству творога в Простоквашино. Недельный спрос $Q = 48 - 2P$, где $P$ — цена (д.е./кг), $Q$ — объём (кг). Чтобы произвести $Q$ кг творога, Шарику нужно $h(Q) = Q^2/2$ часов (зависимость нелинейна: каждый следующий килограмм даётся труднее). Помимо творога Шарик может давать уроки фотоохоты по 2 д.е./час (число часов нецелое допустимо). В запасе 50 часов в неделю на оба занятия. Шарик максимизирует суммарный доход.
а) (9 баллов) Найдите оптимальный объём производства творога и максимальный суммарный доход.
б) (11 баллов) Печкин предлагает за 115 д.е. привлечь клиентов, спрос вырастет до $Q = 72 - 2P$. Какой объём выберет Шарик, если согласится? Стоит ли соглашаться?
в) (10 баллов) Теперь Печкин просит не фиксированную сумму, а треть выручки от продажи творога. Какой объём выберет Шарик, если согласится? Стоит ли соглашаться?
Решение
Обратный спрос $P = 24 - Q/2$, выручка от творога $(24 - Q/2)Q$. Суммарный доход $D = (24 - Q/2)Q + 2\cdot t_f$, где $t_f$ — часы уроков. Так как $h(Q) + t_f = 50$, $h(Q) = Q^2/2$:
$D(Q) = (24 - Q/2)Q + 2(50 - Q^2/2) = 24Q - 3Q^2/2 + 100$. При этом $Q \in [0; 10]$, т.к. максимум выпуска из ограничения времени $\sqrt{50\cdot 2} = 10$.
а) Парабола ветвями вниз, вершина $Q = 24/(2\cdot 3/2) = 8 \in [0;10]$. Доход $D_0 = 24\cdot 8 - 1{,}5\cdot 64 + 100 = 196$.
Ответ: $Q^* = 8$, доход 196.
б) Новый обратный спрос $P = 36 - Q/2$, доход $D = 36Q - 3Q^2/2 + 100$. Вершина $Q = 36/3 = 12$ правее $[0;10]$, оптимум на правой границе $Q^* = 10$. Доход $D_1 = 36\cdot 10 - 1{,}5\cdot 100 + 100 = 310$. С учётом платы Печкину нетто $310 - 115 = 195 < 196$, соглашаться не стоит.
Ответ: $Q^* = 10$, нет.
в) Печкин берёт 1/3 выручки, доход Шарика $D = \tfrac{2}{3}(36 - Q/2)Q + 2(50 - Q^2/2) = 24Q - 4Q^2/3 + 100$. Вершина $Q = 24/(8/3) = 9 \in [0;10]$. Доход $D_2 = 24\cdot 9 - \tfrac{4}{3}\cdot 81 + 100 = 216 - 108 + 100 = 208 > 196$, соглашаться стоит.
Ответ: $Q^* = 9$, да.
Примечание: те же ответы даёт максимизация экономической прибыли от творога (выручка минус неявные издержки — упущенный доход от уроков): она отличается от суммарного дохода лишь на константу 100, поэтому оптимальные выпуски совпадают.
Критерии оценивания
Максимизация экономической прибыли вместо суммарного дохода балл не снижает. Достаточное условие максимума — ветви параболы вниз / смена знака первой производной с плюса на минус / отрицательная вторая производная. За каждую арифметическую ошибку −1 балл.
а) Всего 9 б.: составление функции дохода (или прибыли) — 5 б.; $Q=8$ — 1 б.; проверка $Q=8\in[0;10]$ — 1 б.; проверка достаточного условия — 1 б.; нахождение дохода — 1 б.
б) Всего 11 б.: функция дохода — 5 б.; $Q=12$ — 1 б.; проверка достаточного условия — 1 б.; проверка $Q=12\notin[0;10]$ — 1 б.; оптимум $Q^*=10$ — 1 б.; доход — 1 б.; вывод (соглашаться или нет) — 1 б.
в) Всего 10 б.: функция дохода — 5 б.; $Q=9$ — 1 б.; проверка достаточного условия — 1 б.; проверка $Q=9\in[0;10]$ — 1 б.; доход — 1 б.; вывод — 1 б.
Шок на рынке масок
9 кл. · 30 баллов Рынок медицинских масок в стране A совершенно конкурентный. В 2019 году недельный рыночный спрос $Q_D = 55 - P$ (объём в тыс. шт./нед.), недельное рыночное предложение $Q_S = P - 11$; на рынке действовало 10 одинаковых фирм.
В 2020 году из-за пандемии недельный спрос резко вырос (сдвинулся параллельно). В первые месяцы число фирм осталось прежним (10), и цена выросла в 4 раза. Во второй половине 2020 года вошли новые фирмы (та же технология), и цена опустилась до уровня 2019 года.
а) (10 баллов) Определите уравнение недельного спроса в 2020 году.
б) (12 баллов) Определите число фирм, вошедших на рынок в 2020 году.
в) (8 баллов) Если после пандемии спрос вернётся к уровню 2019 года, а число фирм останется как в 2020 году, какой будет цена на маски?
Решение
а) 2019 год: $55 - P = P - 11 \Rightarrow P_{19} = 33$, $Q_{19} = 22$. В первом полугодии 2020 цена $P_{20} = 4\cdot 33 = 132$; объём из неизменного предложения $Q_{20} = 132 - 11 = 121$. Параллельный сдвиг спроса сохраняет единичный наклон: $Q_D = a - P$. Из $121 = a - 132 \Rightarrow a = 253$. Спрос 2020: $Q_D = 253 - P$.
б) Во втором полугодии 2020 цена вернулась к $P = 33$, равновесное количество $Q = 253 - 33 = 220$. Предложение 10 фирм $Q_S = P - 11$, индивидуальное $q_S = 0{,}1(P - 11)$; при $P = 33$ каждая фирма производит $q = 0{,}1\cdot 22 = 2{,}2$. Всего фирм $220/2{,}2 = 100$, вошло $100 - 10 = 90$ новых фирм.
в) Спрос снова $Q_D = 55 - P$, рыночное предложение 100 фирм $Q_S = 100\cdot 0{,}1(P-11) = 10P - 110$. Равновесие $55 - P = 10P - 110 \Rightarrow 11P = 165 \Rightarrow P = 15$.
Примечание: после пандемии цена (15) может оказаться ниже доковидной (33) из-за наращённых мощностей; со временем часть фирм уйдёт, и цена вернётся к уровню 2019.
Критерии оценивания
а) Всего 10 б.: равновесные количество и цена 2019 — 2 б.; равновесное количество 2020 — 2 б.; запись функции спроса через параметр с параллельным сдвигом (можно в ходе решения) — 2 б.; значение параметра — 4 б.
б) Всего 12 б.: функция предложения одной фирмы — 4 б.; объём фирмы при цене 33 — 2 б.; равновесное количество после входа фирм — 2 б.; общее число фирм — 2 б.; число вошедших фирм — 2 б.
в) Всего 8 б.: совокупное рыночное предложение — 4 б.; условие равновесия — 2 б.; цена — 2 б.
Уклонение от уплаты налогов
10–11 кл. · 30 баллов Фирма-монополист: спрос $Q_D = 15 - P$, производство единицы стоит 5 д.е. Прибыль облагается налогом по ставке 20% (только если прибыль положительна), но фирма может задекларировать меньшую прибыль и уклониться. Уклонение не бесплатно: чтобы не платить налог с $x$ д.е. прибыли, нужно потратить $0{,}01x^2$ д.е. Эта оплата неофициальна — не отражается в издержках, платится из чистой прибыли (после налога).
а) (6 баллов) Какую чистую прибыль получит фирма без уклонения?
б) (12 баллов) Какую настоящую чистую прибыль (с учётом затрат на уклонение) получит фирма при уклонении? Уровень уклонения $x$ выбирается оптимально.
в) (12 баллов) Государство хочет собрать как можно больше налогов (зная об уклонении, но не борясь с ним). Сначала государство выбирает ставку, затем фирма — выпуск и уклонение. Какую ставку налога установить государству?
Решение
Прибыль до налога $\pi_0(Q) = (15 - Q)Q - 5Q = 10Q - Q^2$ — парабола ветвями вниз, $Q^* = 5$, $\pi_0 = 25$.
а) Чистая прибыль $\pi_{net} = (1 - 0{,}2)\pi_0 = 0{,}8\cdot 25 = 20$.
Ответ: 20.
б) При уклонении на $x$: фирма платит налог $t(\pi_0 - x)$ и неофициально $0{,}01x^2$. Целевая функция $\pi_{net}(Q,x) = (1-t)\pi_0(Q) + tx - 0{,}01x^2 = 0{,}8(10Q - Q^2) + 0{,}2x - 0{,}01x^2$ — сумма двух независимых парабол ветвями вниз, вершины $Q^* = 5$ (не меняется) и $x^* = 0{,}2/0{,}02 = 10$. Прибыль $0{,}8\cdot 25 + 0{,}2\cdot 10 - 0{,}01\cdot 100 = 20 + 2 - 1 = 21$.
Ответ: 21.
в) При ставке $t$: $\pi_{net}(Q,x) = (1-t)(10Q - Q^2) + tx - 0{,}01x^2$, вершины $Q^* = 5$ и $x^* = t/0{,}02 = 50t$ (строго $x^* = \min\{50t; \pi_0\}$). Сборы $T(t) = t(\pi_0 - x^*) = t(25 - 50t)$ — парабола ветвями вниз, вершина $t^* = 25/100 = 0{,}25$.
Ответ: $t^* = 25\%$.
Критерии оценивания
Достаточное условие максимума — ветви параболы вниз / убывающая первая производная / отрицательная вторая производная.
а) Всего 6 б.: функция чистой прибыли от одного аргумента — 2 б.; оптимум (количество/цена) — 2 б.; проверка достаточного условия — 1 б.; чистая прибыль — 1 б.
б) Всего 12 б.: функция настоящей чистой прибыли от двух аргументов — 4 б.; оптимальные значения количества/цены и $x$ — 4 б.; проверка двух достаточных условий — 2 б.; чистая прибыль — 2 б.
в) Всего 12 б.: функция чистой прибыли от двух аргументов при произвольной ставке — 4 б.; оптимальные количество/цена и $x$ — 2 б.; проверка двух достаточных условий — 2 б.; функция налоговых сборов от одного аргумента — 2 б.; оптимальная ставка — 1 б.; проверка достаточного условия — 1 б.
Шок на рынке масок
10–11 кл. · 30 баллов Рынок медицинских масок в стране Z совершенно конкурентный. Функция издержек вошедшей на рынок фирмы $TC(q) = q^2 + 4$, где $q$ — выпуск (в тыс. шт.). Не вошедшая фирма получает нулевую прибыль. В краткосрочном равновесии число фирм фиксировано; в долгосрочном — определяется условием безразличия фирмы к входу.
а) (14 баллов) Изначально спрос $D_0(P) = 40 - P$ и рынок в долгосрочном равновесии. Найдите рыночные цену, объём и число фирм.
б) (6 баллов) Из-за пандемии спрос вырос до $D_1(P) = 400 - P$, но в краткосрочном периоде новые фирмы не вошли (число фирм как в а)). Найдите цену и объём нового краткосрочного равновесия.
в) (10 баллов) Спрос остался $D_1(P) = 400 - P$, но вошли новые фирмы, установилось новое долгосрочное равновесие. Найдите цену, объём и число фирм.
Решение
а) Фирма максимизирует $\pi(q) = Pq - q^2 - 4$ (парабола ветвями вниз), оптимум $q^*(P) = P/2$ — это функция предложения фирмы. В долгосрочном равновесии прибыль нулевая: $\max\pi = 0{,}25P^2 - 4 = 0 \Rightarrow P = 4$. (Эквивалентно $P = MC = AC$: $MC = 2q$, $AC = q + 4/q$, из $2q = q + 4/q$ следует $q^* = 2$, $P = 4$; или $\min AC$ при $q=2$.) Спрос $D_0(4) = 36$, каждая фирма даёт $q^*(4) = 2$, число фирм $36/2 = 18$.
Ответ: $P = 4$, $Q = 36$, $N = 18$.
б) Предложение фирмы $q^* = 0{,}5P$, рыночное предложение 18 фирм $Q_S = 9P$. Краткосрочное равновесие: $400 - P = 9P \Rightarrow P = 40$, $Q = 360$.
Ответ: $P = 40$, $Q = 360$.
в) В долгосрочном равновесии цена та же ($P = 4$, не зависит от спроса). Спрос $D_1(4) = 396$, фирма даёт 2, число фирм $396/2 = 198$.
Ответ: $P = 4$, $Q = 396$, $N = 198$.
Критерии оценивания
а) Всего 14 б.: продвижение к равновесной цене/оптимуму фирмы (постановка задачи фирмы, либо $P=MC=AC$, либо $P=\min AC$) — 2 б. (−1 б., если не проверено достаточное условие экстремума; при $\min AC$ через неравенство о средних проверка не требуется); равновесная цена долгосрочного равновесия — 4 б.; объём спроса при ней — 6 б.; число фирм — 2 б.
б) Всего 6 б.: индивидуальная функция предложения (со ссылкой на а)) — 2 б.; краткосрочное рыночное предложение — 2 б.; цена — 1 б.; объём — 1 б.
в) Всего 10 б.: указание, что цена та же, что в исходном долгосрочном равновесии (не зависит от спроса) — 4 б.; объём спроса при ней — 3 б.; число фирм — 3 б.
Две цели
11 кл. · 30 баллов В закрытой экономике потребители расходуют две трети располагаемого дохода плюс автономное потребление 10 д.е. (при любом доходе). Инвестиции постоянны и равны 40 д.е. Взимается только подоходный налог по ставке 25%; аккордных налогов и трансфертов нет. Потенциальный ВВП равен 300 д.е. Правительство воздействует только на госзакупки.
а) (20 баллов) На каком уровне установить госзакупки (без изменения ставки налога), чтобы установился потенциальный ВВП? А чтобы был сбалансированный бюджет?
б) (10 баллов) Правительство преследует две цели: потери $L = (Y - Y^*)^2 + 4\cdot B^2$, где $Y$ — фактический ВВП, $Y^*$ — потенциальный, $B$ — сальдо бюджета (вторая цель в 4 раза важнее первой). Чему равны госзакупки при минимизации потерь?
Решение
а) Закрытая экономика: $Y = C + I + G$, $C = 10 + (2/3)Y_d$, $Y_d = Y - T = 0{,}75Y$ (налог $T = 0{,}25Y$), $I = 40$. Уравнение: $Y = 10 + (2/3)\cdot 0{,}75Y + 40 + G = 50 + 0{,}5Y + G \Rightarrow Y = 100 + 2G$. Для $Y = Y^* = 300$: $100 + 2G_1 = 300 \Rightarrow G_1 = 100$. Сальдо $B = T - G = 0{,}25(100 + 2G) - G = 25 - 0{,}5G$. Сбалансированный бюджет $B = 0$: $25 - 0{,}5G_2 = 0 \Rightarrow G_2 = 50$.
Ответ: $G_1 = 100$, $G_2 = 50$.
б) Подставляем $Y = 100 + 2G$ и $B = 25 - 0{,}5G$: $L(G) = (100 + 2G - 300)^2 + 4(25 - 0{,}5G)^2 = (2G - 200)^2 + 4(25 - 0{,}5G)^2 = 5(G^2 - 180G + 8500)$ — парабола ветвями вверх, минимум $G^* = 90$.
Ответ: $G^* = 90$.
Критерии оценивания
Арифметическая ошибка −1 балл; ошибки, искажающие экономический смысл (ВВП меньше компонента, отрицательный ВВП/госзакупки), штрафуются сильнее.
а) Всего 20 б.: основное макротождество для закрытой экономики (равенство дохода и расходов, либо инвестиций и сбережений, либо инъекций и изъятий) — 4 б.; уравнение/система для $G_1$ — 4 б.; решение и значение $G_1$ — 4 б.; уравнение/система для $G_2$ — 4 б.; решение и значение $G_2$ — 4 б.
б) Всего 10 б.: задача правительства как функция одной переменной ($G$ или $Y$) — 4 б.; решение и значение $G^*$ — 4 б.; проверка условия второго порядка (парабола ветвями вверх / возрастающая первая производная / положительная вторая производная) — 2 б.
Для этого класса задач в архиве нет. Сбросьте фильтр.
