Лицензирование (функция предложения)
9–11 кл. · 13 баллов Фирма Альфа реализует товар А на рынке совершенной конкуренции. Общие издержки $TC = 0{,}2q^2 + 20q$, где $q$ — выпуск (единиц в месяц). Действует система лицензирования: если выпуск не превышает 100 единиц в месяц, лицензионные сборы не взимаются; при превышении этого объёма фирма платит фиксированный сбор 3125 рублей в месяц. Выведите функцию предложения фирмы Альфа.
Решение
Без лицензии прибыль $\pi = pq - 0{,}2q^2 - 20q$ — парабола ветвями вниз с вершиной $q^* = 2{,}5(p - 20)$ (при $p \le 20$ выпуск 0). Вершина не превышает 100 при $p \le 60$ — тогда лицензия не нужна.
При $p > 60$ у фирмы два варианта.
(1) Выпустить ровно 100 и не платить сбор: $\pi_1 = 100p - 0{,}2\cdot 100^2 - 20\cdot 100 = 100p - 4000$.
(2) Выпустить $q^* = 2{,}5(p - 20)$ и заплатить 3125: $\pi_2 = 1{,}25(p - 20)^2 - 3125$.
Вариант (2) не хуже, если $1{,}25(p-20)^2 - 3125 \ge 100p - 4000$. Обозначив $x = p - 20$: $x^2 - 80x - 900 \ge 0$, откуда $x \ge 90$, то есть $p \ge 110$. При $p = 110$ оба варианта дают 7000 — фирме безразлично, выпустить 100 или 225.
Ответ: $q = 0$ при $p \le 20$; $q = 2{,}5(p - 20)$ при $20 < p \le 60$; $q = 100$ при $60 < p \le 110$; $q = 2{,}5(p - 20)$ при $p \ge 110$ (при $p = 110$ подходят оба объёма — 100 и 225).
Критерии оценивания
Задача максимизации прибыли без лицензии — 1 б.; вершина $q = 2{,}5(p - 20)$ — 1 б.; лицензия не нужна при $p \le 60$ — 2 б.; постановка выбора из двух вариантов при $p > 60$ — 2 б.; неравенство для сравнения вариантов — 2 б.; его решение (порог $p = 110$) — 3 б.; оба объёма в точке безразличия — 1 б.; итоговый ответ — 1 б. Полный балл — только при разборе всех значений цены; верный ответ без объяснений — 2 б.
Парадокс неравенства
9–11 кл. · 15 баллов В странах Ричия и Пурия по две группы населения — богатые и бедные (доходы внутри групп распределены равномерно). За год доход одного бедного в Ричии составил 8, в Пурии — 5; доход одного богатого в Ричии — 72, в Пурии — 30. Каждая группа в Ричии богаче аналогичной в Пурии, однако среднедушевой доход всей Ричии оказался на 4 % меньше, чем в Пурии.
а) (5 баллов) Объясните, как возможна такая «парадоксальная» ситуация.
б) (10 баллов) Если коэффициент Джини в Ричии равен 0,5, найдите коэффициент Джини в Пурии.
Решение
а) Среднедушевой доход страны зависит не только от доходов в группах, но и от долей богатых и бедных. Среднедушевой доход Ричии лежит между 8 и 72, Пурии — между 5 и 30; интервалы (8; 72) и (5; 30) пересекаются. Если в Ричии относительно много бедных, её средний доход близок к 8; если в Пурии много богатых, её средний доход близок к 30 — и тогда средний доход Пурии может оказаться больше.
б) Используем формулу: при двух группах с равномерным распределением внутри $G = s_p - s_{inc}$, где $s_p$ — доля более бедной группы в населении, $s_{inc}$ — её доля в доходе. Пусть $\alpha$ — доля бедных в Ричии. Доля дохода бедных $= 8\alpha/(8\alpha + 72(1 - \alpha))$. Условие $G = 0{,}5$ приводит к квадратному уравнению, левая часть которого — полный квадрат; решение даёт $\alpha = 0{,}75$ (бедных 75 %). Тогда среднедушевой доход Ричии $= 8\cdot 0{,}75 + 72\cdot 0{,}25 = 6 + 18 = 24$.
Из условия про 4 %: среднедушевой доход Пурии $= 24/0{,}96 = 25$. Пусть $\beta$ — доля бедных в Пурии: $5\beta + 30(1 - \beta) = 25 \Rightarrow 30 - 25\beta = 25 \Rightarrow \beta = 0{,}2$ (бедных 20 %). Доля дохода бедных Пурии $= 5\cdot 0{,}2/25 = 1/25 = 0{,}04$. Коэффициент Джини Пурии $G = 0{,}2 - 0{,}04 = 0{,}16$.
Ответ: 0,16. (В Ричии относительно много бедных — 75 %, в Пурии мало — 20 %.)
Критерии оценивания
а) (5 б.): мысль о роли долей богатых и бедных — 3 б.; мысль, что ситуация возможна, когда в Ричии относительно много бедных, а в Пурии много богатых — 2 б.
б) (10 б.): нахождение доли бедных в Ричии (0,75) — 5 б.; нахождение доли бедных в Пурии (0,2) — 3 б.; коэффициент Джини Пурии (0,16) — 2 б. За арифметическую ошибку при верной логике — минус 1 балл.
Сюрприз для «Сюрприза»
9–11 кл. · 17 баллов Фирма «Сюрприз» — монополист на рынке хороших новостей. Спрос $P = 9 - Q$, где $Q$ — количество товара, $P$ — цена. Средние издержки постоянны и равны 1. Выпуск может быть нецелым. Государство собирается обложить фирму налогом 2 д.е. с каждой проданной единицы. Рассматриваются два случая: (1) фирма не знает заранее о введении налога (в момент решения о выпуске); (2) фирма знает заранее.
а) (4 балла) Если фирма не знает о налоге, найдите выпуск, прибыль за вычетом налогов и сумму налоговых сборов государства.
б) (4 балла) Если фирма знает о налоге, найдите выпуск, прибыль за вычетом налогов и сумму сборов.
в) (2 балла) Сколько фирма выиграет, узнав о налоге заранее? Сколько потеряет государство?
г) (7 баллов) Докажите, что при любой функции спроса, любой функции издержек и любой ставке налога выигрыш фирмы от заблаговременного знания о налоге не может быть больше потерь государства.
Решение
а) Не зная о налоге, фирма максимизирует $\pi = (9 - Q)Q - Q = 8Q - Q^2$: $Q = 4$, $P = 5$, прибыль до налога 16. Налог $2\cdot 4 = 8$, прибыль после налога $16 - 8 = 8$. Сборы государства 8.
б) Зная о налоге, фирма учитывает его в издержках: $\pi = (9 - Q)Q - 3Q = 6Q - Q^2$: $Q = 3$, $P = 6$. Прибыль после налога $(6 - 3)\cdot 3 = 9$. Сборы $2\cdot 3 = 6$.
в) Фирма выигрывает $9 - 8 = 1$ д.е., государство теряет $8 - 6 = 2$ д.е.
г) Пусть $\Pi(q)$ — прибыль фирмы до уплаты налога как функция выпуска. Не зная о налоге, фирма выбирает $q_1 = \arg\max \Pi(q)$; её прибыль после налога $\Pi(q_1) - T_1$, где $T_1$ — сборы государства. Зная о налоге, фирма выбирает $q_2$; прибыль $\Pi(q_2) - T_2$. Выигрыш фирмы от знания $= [\Pi(q_2) - T_2] - [\Pi(q_1) - T_1]$; проигрыш государства $= T_1 - T_2$. Требуемое неравенство «выигрыш фирмы $\le$ проигрыш государства»: $[\Pi(q_2) - T_2] - [\Pi(q_1) - T_1] \le T_1 - T_2$, что эквивалентно $\Pi(q_2) \le \Pi(q_1)$. Это верно, так как $\Pi(q_1)$ — максимум функции $\Pi$, а $\Pi(q_2)$ — её значение в некоторой точке. Что и требовалось.
Критерии оценивания
а) (4 б.): функция прибыли без налога — 1 б.; оптимум $Q = 4$ — 1 б.; сумма сборов — 1 б.; прибыль после налога — 1 б.
б) (4 б.): функция прибыли с учётом налога — 1 б.; оптимум $Q = 3$ — 1 б.; сумма сборов — 1 б.; прибыль после налога — 1 б.
в) (2 б.): выигрыш фирмы — 1 б.; потери государства — 1 б.
г) (7 б.): доказательство эквивалентности требуемого неравенства неравенству $\Pi(q_2) \le \Pi(q_1)$ — 3 б.; обоснование, что оно верно, так как фирма в первом случае выбирает максимизирующий $\Pi$ выпуск — 4 б. В а)-б) допустимо находить оптимум через $MR = MC$.
Шоколадки «Вкусняшка»
9–11 кл. · 15 баллов Нужно угостить $N$ сотрудников батончиками «Вкусняшка». В магазине батончики продаются в упаковке из 2 батончиков по 25 рублей и в упаковке из 3 батончиков по 40 рублей. Каждому сотруднику — 1 батончик. Для любого натурального $N$ определите минимальные расходы на угощение $N$ сотрудников.
Решение
При $N = 1$ нужно купить упаковку из двух батончиков за 25 рублей.
Ни при каких $N$ не выгодно покупать более одной упаковки из трёх батончиков: вместо двух таких упаковок (80 руб.) дешевле три упаковки из двух батончиков (75 руб.).
Если $N = 2m$ (чётное): покупать ровно одну тройную упаковку и докупать $m - 1$ двойных дало бы $(m-1)\cdot 25 + 40 = 25m + 15$, тогда как $m$ двойных упаковок стоят $25m$ — дешевле. Оптимум: $N/2$ двойных упаковок, расходы $25N/2$.
Если $N = 2m + 1$ (нечётное, $N \ne 1$): альтернатива — $m + 1$ двойных упаковок за $25(m+1)$, но $m - 1$ двойных + 1 тройная стоят $25(m-1) + 40 = 25m + 15$, что дешевле. Оптимум: $(N-3)/2$ двойных упаковок и 1 тройная, расходы $25(N-3)/2 + 40$.
Ответ: 25, если $N = 1$; $25N/2$, если $N$ чётно; $25(N-3)/2 + 40$, если $N$ нечётно и $N \ne 1$.
Критерии оценивания
Случай $N = 1$ — 1 б.; обоснование, что более одной тройной упаковки покупать невыгодно — 4 б.; разбор чётного $N$ (оптимум $N/2$ двойных) — 5 б.; разбор нечётного $N \ne 1$ (оптимум $(N-3)/2$ двойных + 1 тройная) — 5 б.
Для этого класса задач в архиве нет. Сбросьте фильтр.
