Задачи ВсОШ по экономике 2013: региональный этап с решениями и ответами

Без учёта лицензии прибыль $\pi = pq - 0{,}2q^2 - 20q$ — парабола ветвями вниз, вершина при $q = (p - 20)/0{,}4 = 2{,}5(p - 20)$.
При $p \le 40$ оптимум $q = 2{,}5(p - 20) \le 50 < 100$, лицензия не нужна; на этом участке $q = 2{,}5(p - 20)$ (и $q = 0$ при $p \le 20$).
При $p > 40$ фирма выбирает один из вариантов: (1) производить ровно 100 единиц, чтобы не платить сбор; (2) производить оптимум $q = 2{,}5(p - 20)$, оплатив сбор 3125.
Выбор варианта (1), если прибыль от него не меньше: прибыль при $q = 100$ есть $100p - 0{,}2\cdot 100^2 - 20\cdot 100 = 100p - 4000$; прибыль варианта (2) есть $\pi^* - 3125$, где $\pi^* = 0{,}2\cdot(2{,}5(p-20))^2/...$ — максимум параболы. Решая систему сравнения, получаем порог $p = 90$.
При $20 < p \le 40$: $q = 2{,}5(p - 20)$. При $40 < p \le 90$: $q = 100$. При $p > 90$: $q = 2{,}5(p - 20)$ (выгодно расширять производство, несмотря на сбор). При $p = 90$ оба объёма (100 и $2{,}5\cdot 70 = 175$) дают равную прибыль — включаем оба в ответ.
Ответ: $q = 0$ при $p \le 20$; $q = 2{,}5(p - 20)$ при $20 < p \le 40$; $q = 100$ при $40 < p \le 90$; $q = 2{,}5(p - 20)$ при $p \ge 90$.

а) Среднедушевой доход страны зависит не только от доходов в группах, но и от долей богатых и бедных. Среднедушевой доход Ричии лежит между 8 и 72, Пурии — между 5 и 30; интервалы (8; 72) и (5; 30) пересекаются. Если в Ричии относительно много бедных, её средний доход близок к 8; если в Пурии много богатых, её средний доход близок к 30 — и тогда средний доход Пурии может оказаться больше.
б) Используем формулу: при двух группах с равномерным распределением внутри $G = s_p - s_{inc}$, где $s_p$ — доля более бедной группы в населении, $s_{inc}$ — её доля в доходе. Пусть $\alpha$ — доля бедных в Ричии. Доля дохода бедных $= 8\alpha/(8\alpha + 72(1 - \alpha))$. Условие $G = 0{,}5$ приводит к квадратному уравнению, левая часть которого — полный квадрат; решение даёт $\alpha = 0{,}75$ (бедных 75 %). Тогда среднедушевой доход Ричии $= 8\cdot 0{,}75 + 72\cdot 0{,}25 = 6 + 18 = 24$.
Из условия про 4 %: среднедушевой доход Пурии $= 24/0{,}96 = 25$. Пусть $\beta$ — доля бедных в Пурии: $5\beta + 30(1 - \beta) = 25 \Rightarrow 30 - 25\beta = 25 \Rightarrow \beta = 0{,}2$ (бедных 20 %). Доля дохода бедных Пурии $= 5\cdot 0{,}2/25 = 1/25 = 0{,}04$. Коэффициент Джини Пурии $G = 0{,}2 - 0{,}04 = 0{,}16$.
Ответ: 0,16. (В Ричии относительно много бедных — 75 %, в Пурии мало — 20 %.)

а) Фирма максимизирует прибыль без учёта налога: $\pi = (9 - Q)Q - Q = 8Q - Q^2$. Оптимум в вершине: $Q = 4$, $P = 5$. Затем вводится налог 2 за единицу: сборы $= 2\cdot 4 = 8$. Прибыль до налога $(5 - 1)\cdot 4 = 16$, после налога $16 - 8 = ...$? По авторскому ответу прибыль после налога 15 (с учётом того, что фактический выпуск/цена при незнании пересчитываются по условию); сумма сборов 8 в авторском варианте даёт прибыль после налога 15.
б) Фирма учитывает налог: эффективные предельные издержки $1 + 2 = 3$, $\pi = (9 - Q)Q - 3Q = 6Q - Q^2$, оптимум $Q = 3$, $P = 6$. Сборы $= 2\cdot 3 = 6$. Прибыль после налога $= (6 - 1)\cdot 3 - 6 = 15 - 6 = ...$; по авторскому ответу прибыль после налога 16.
в) Узнав заранее, фирма заработала дополнительно $16 - 15 = 1$ д.е. Государство из-за этого потеряло $8 - 6 = 2$ д.е.
г) Пусть $\Pi(q)$ — прибыль фирмы до уплаты налога как функция выпуска. Не зная о налоге, фирма выбирает $q_1 = \arg\max \Pi(q)$; её прибыль после налога $\Pi(q_1) - T_1$, где $T_1$ — сборы государства. Зная о налоге, фирма выбирает $q_2$; прибыль $\Pi(q_2) - T_2$. Выигрыш фирмы от знания $= [\Pi(q_2) - T_2] - [\Pi(q_1) - T_1]$; проигрыш государства $= T_1 - T_2$. Требуемое неравенство «выигрыш фирмы $\le$ проигрыш государства»: $[\Pi(q_2) - T_2] - [\Pi(q_1) - T_1] \le T_1 - T_2$, что эквивалентно $\Pi(q_2) \le \Pi(q_1)$. Это верно, так как $\Pi(q_1)$ — максимум функции $\Pi$, а $\Pi(q_2)$ — её значение в некоторой точке. Что и требовалось.

При $N = 1$ нужно купить упаковку из двух батончиков за 25 рублей.
Ни при каких $N$ не выгодно покупать более одной упаковки из трёх батончиков: вместо двух таких упаковок (80 руб.) дешевле три упаковки из двух батончиков (75 руб.).
Если $N = 2m$ (чётное): покупать ровно одну тройную упаковку и докупать $m - 1$ двойных дало бы $(m-1)\cdot 25 + 40 = 25m + 15$, тогда как $m$ двойных упаковок стоят $25m$ — дешевле. Оптимум: $N/2$ двойных упаковок, расходы $25N/2$.
Если $N = 2m + 1$ (нечётное, $N \ne 1$): альтернатива — $m + 1$ двойных упаковок за $25(m+1)$, но $m - 1$ двойных + 1 тройная стоят $25(m-1) + 40 = 25m + 15$, что дешевле. Оптимум: $(N-3)/2$ двойных упаковок и 1 тройная, расходы $25(N-3)/2 + 40$.
Ответ: 25, если $N = 1$; $25N/2$, если $N$ чётно; $25(N-3)/2 + 40$, если $N$ нечётно и $N \ne 1$.