«Мягкий» потолок цены
9–11 кл. · 30 баллов Спрос на продукцию монополиста $Q = 10 - P$, средние издержки постоянны и равны 2. Государство вводит потолок цены $\bar P$. Ограничение не жёсткое: если фирма нарушает потолок, она платит штраф 9 (переустанавливать цену не нужно). Если фирма безразлична между несколькими ценами, она выбирает меньшую.
Для каждого $\bar P \ge 0$ найдите цену $P^*(\bar P)$, которую установит фирма. Постройте график $P^*(\bar P)$.
Решение
Без ограничения: прибыль $\pi(P) = (10 - P)(P - 2)$ — парабола ветвями вниз с вершиной $P = 6$ (выпуск $Q = 4$, прибыль 16). При оптимальной цене со штрафом прибыль $16 - 9 = 7$.
Случай 1: $\bar P \ge 6$ — потолок не связывает, фирма ставит $P^* = 6$, прибыль 16, штраф не платит.
Случай 2: $2 \le \bar P < 6$ — подчинившись, фирма имеет прибыль $(10 - \bar P)(\bar P - 2) \ge 0$. Платить штраф выгоднее, если эта прибыль < 7: $(10 - \bar P)(\bar P - 2) < 7 \Rightarrow \bar P < 3$ или $\bar P > 9$. Интервал $\bar P > 9$ относится к случаю 1, поэтому при $\bar P < 3$ фирма платит штраф и ставит 6, при $3 \le \bar P < 6$ — подчиняется и ставит $\bar P$.
Случай 3: $\bar P < 2$ — цена ниже средних издержек, подчинение даёт отрицательную прибыль; фирма платит штраф и ставит 6 (входит в «$\bar P < 3$»).
$P^*(\bar P) = 6$ при $\bar P < 3$; $P^*(\bar P) = \bar P$ при $3 \le \bar P < 6$; $P^*(\bar P) = 6$ при $\bar P \ge 6$.
График: горизонталь $P^*=6$ при $\bar P<3$; отрезок $P^*=\bar P$ на $[3;6)$; снова $P^*=6$ при $\bar P\ge 6$.
Критерии оценивания
Поиск оптимума монополиста без ограничения — 7 б.; идея, что при $\bar P \ge 6$ ничего не меняется (случай 1) — 3 б.; идея, что при подчинении и $\bar P < 2$ фирма ничего не продаёт (случай 3) — 3 б.; корректное составление и решение неравенства для случая 2 с границей 3 — 7 б. (можно через противоположное неравенство и интервал $[3;9]$); выписывание функции $P^*(\bar P)$ для всех значений — 5 б. (интервалы $\bar P<3$ и $\bar P\ge 6$ можно объединить); график с координатами ключевых точек — 5 б. (если форма верна, но координаты не все указаны — 4 из 5).
Штрафы: −1 б., если не проверено достаточное условие максимума прибыли (парабола ветвями вниз / убывающая первая производная / отрицательная вторая); за неверные строгие/нестрогие неравенства и выколотые точки на графике баллы не снимаются; за вычислительную ошибку, не повлиявшую качественно, — −10% набранных баллов; если ошибка повлияла качественно — затронутые фрагменты не оцениваются.
КТВ и торговые санкции
9–11 кл. · 30 баллов В стране три региона с КПВ: $y_1 = 10 - x_1$, $y_2 = 2(10 - x_2)$, $y_3 = 3(10 - x_3)$. Страна открыта для свободной торговли. Валюта мирового рынка — тугрик; можно купить/продать любые количества по ценам $p_x = 30$, $p_y = 20$ тугриков. До торговли тугриков нет. Во всех пунктах укажите на рисунках координаты пересечений КПВ/КТВ с осями и точек излома.
а) (6 баллов) Постройте КПВ страны.
б) (8 баллов) Постройте кривую торговых возможностей (КТВ) на том же рисунке (КТВ — верхняя граница наборов $(x,y)$, доступных для потребления после производства и торговли).
в) Против страны введена торговая санкция. [9 класс: (14 баллов) стоимость импорта не может превышать 480 тугриков. 10/11 класс: (16 баллов) внешнеторговый оборот (сумма стоимостей импорта и экспорта) не может превышать 960 тугриков.] Постройте новую КТВ на новом рисунке.
г) (только 9 класс, 2 балла) Как изменится ответ в), если санкция ограничивает не импорт, а экспорт: стоимость экспорта не может превышать 480 тугриков?
Решение
а) Складывая КПВ регионов, получаем ломаную через точки $(0;60)$, $(10;50)$, $(20;30)$, $(30;0)$.
б) Пропорция обмена на мировом рынке $20:30 = 1:1{,}5$ (за 1 ед. X дают 1,5 ед. Y). Производить X выгодно лишь там, где альт. издержки X (равны номеру региона) меньше 1,5; значит X производится только в регионе 1. Страна производит $x = 10$, $y = 20 + 30 = 50$. Стартуя из $(10;50)$, обмен идёт по наклону $-1{,}5$. КТВ — прямая $3x + 2y = 130$ (или $y = 65 - 1{,}5x$): пересекает ось Y при $y = 65$, ось X при $x = 43\tfrac{1}{3}$. (Эквивалентно: максимизация выручки $30x + 20y$, максимум 1300 в точке $(10;50)$.)
в) [9 класс — лимит импорта 480.] Импорт X не более $480/30 = 16$, импорт Y не более $480/20 = 24$. При производстве $x=10$ экспортировать можно не более 10 ед. X, то есть импортировать не более 15 < 24 ед. Y — ограничение по Y не связывает; влияет только импорт X. Отрезок $(0;65)-(10;50)$ старой КТВ сохраняется. Из $(10;50)$ вправо можно сдвинуться по старой КТВ только на 16 по оси X: при $x = 26$ потребление $y = 50 - 24 = 26$, отрезок $(10;50)-(26;26)$ принадлежит новой КТВ. При $x > 26$ страна наращивает производство X (альт. издержки > 1,5), используя торговлю по максимуму (импорт 16 X, экспорт 24 Y): КТВ при $x>26$ — сдвиг части КПВ правее $(10;50)$ на вектор $(16;-24)$. Новая КТВ — ломаная через $(0;65)$, $(26;26)$, $(36;6)$, $(38;0)$ (последний участок наклон 3 через $(36;6)$ даёт $x = 36 + 6/3 = 38$).
[10/11 класс — лимит оборота 960.] При оптимуме стоимость импорта = стоимости экспорта, поэтому ограничение эквивалентно: импорт ≤ 480 и экспорт ≤ 480 тугриков. Значит импорт и экспорт X ≤ 16, импорт и экспорт Y ≤ 24 (достаточно ограничений по X). При $x=10$ экспорт ≤ 10 < 16 — влияет только импорт X. Дальнейшее построение совпадает с версией 9 класса: новая КТВ — ломаная через $(0;65)$, $(26;26)$, $(36;6)$, $(38;0)$.
г) (9 класс) При оптимуме страна тратит всю валютную выручку от экспорта на импорт, поэтому стоимость импорта равна стоимости экспорта, и две санкции эквивалентны. КТВ та же, что в в); ответ не меняется.
Критерии оценивания
Требуется только построить графики и указать координаты; аналитические выражения выводить не нужно.
а) Всего 6 б.: точки с осями $(0;60)$ и $(30;0)$ — по 1 б.; изломы $(10;50)$ и $(20;30)$ — по 2 б.
б) Всего 8 б.: КТВ — прямая через $(10;50)$ выше КПВ — 4 б.; по 1 б. за каждую точку с осями; обоснование (сравнение альт. издержек, линии равной выручки или аналитическая максимизация) — 2 б.
в) 9 класс — всего 14 б.: ограничения на импорт X (≤16) и Y (≤24) — 2 б.; вывод, что влияет только импорт X, точка $(0;65)$ — 2 б.; излом $(26;26)$ — 2 б.; излом $(36;6)$ — 6 б.; точка $(38;0)$ — 2 б.
в) 10/11 класс — всего 16 б.: вывод об эквивалентности санкции лимиту импорта/экспорта 480 — 2 б.; ограничения на импорт и экспорт X (≤16) либо Y (≤24), достаточно двух неравенств — 2 б.; влияет только импорт X, точка $(0;65)$ — 2 б.; излом $(26;26)$ — 2 б.; излом $(36;6)$ — 6 б.; точка $(38;0)$ — 2 б.
г) (только 9 класс) всего 2 б.: идея «стоимость экспорта = стоимости импорта» — 1 б.; вывод, что КТВ не меняется — 1 б. (не зависит от верности в)).
Штраф: за вычислительные ошибки снимается 10% набранных баллов (с округлением до целого); за неверные координаты из-за неверного способа построения баллы за точку не ставятся.
Субсидия в условиях пандемии
9–10 кл. · 30 баллов Рынок товара X: спрос и предложение в любой момент линейны. Изначально равновесная цена 40, количество 20. Из-за пандемии предложение упало: цена выросла до 50, количество сократилось до 10.
Министерство экономики хочет ввести потоварную субсидию производителю так, чтобы цена для потребителя снизилась обратно до 40. Нужно рассчитать ставку $s$. Приятель замечает: «Раз надо снизить цену на 10 (с 50 до 40), ставка $s$ просто равна 10». Докажите, что он неправ. Дополнительно известно: коэффициент эластичности предложения по цене в новой точке равновесия ($P=50$, $Q=10$) равен 5.
а) (18 баллов) Какова будет цена для потребителя, если ввести субсидию по ставке 10 д.е.?
б) (12 баллов) Найдите настоящее значение $s$ и расходы государства на субсидию при ставке $s$.
Решение
а) Спрос по двум точкам $(40;20)$ и $(50;10)$: $Q_D = 60 - P$. Пусть $Q_S(P) = a + bP$. Из прохождения через $(50;10)$: $10 = a + 50b$. Из эластичности: $5 = b\cdot P/Q = b\cdot 50/10 = 5b \Rightarrow b = 1$. Тогда $a = 10 - 50 = -40$, и $Q_S = P - 40$.
При субсидии 10 предложение сдвигается: $Q_S(P+10) = P + 10 - 40 = P - 30$. Новое равновесие: $60 - P = P - 30 \Rightarrow P = 45$. Цена будет 45, а не 40.
(Альтернативно: $Q_D(P) = Q_S(P)+10$ по объёму при цене потребителя — тот же ответ 45.)
Ответ: 45.
б) При ставке $s$: $Q_S(P+s) = P + s - 40$. Равновесие $60 - P = P + s - 40 \Rightarrow P = (100 - s)/2$. Нужно $P = 40 \Rightarrow s = 20$.
Расходы: $s\cdot Q = 20\cdot 20 = 400$ (при $P=40$ объём $Q = 60-40 = 20$).
Ответ: $s = 20$, расходы 400.
Продвинутое решение б) через распределение бремени: для линейных функций $T_C/T_P = |E_D|/E_S$, где $T_C, T_P$ — части субсидии потребителю и производителю. Эластичность спроса в точке $(50;10)$ по модулю равна 5, поэтому $T_C/T_P = 5/5 = 1$. Нужно снизить цену потребителя на 10, значит $T_C = 10$, тогда $T_P = 10$ и $s = T_C + T_P = 20$.
Комментарий: субсидии 10 хватает лишь чтобы по цене 40 произвели прежнее малое количество 10; но при цене 40 спрос 20 > 10, дефицит толкает цену к 45. Чтобы 40 стала равновесной, нужно стимулировать выпуск 20, а для этого требуется бо́льшая ставка.
Критерии оценивания
Для решения (как минимум п. а)) нужно вывести уравнения спроса и предложения; баллы за это ставятся в п. а) даже без дальнейших продвижений.
а) Всего 18 б.: вывод кривой спроса — 3 б.; вывод кривой предложения (после падения) любым способом — 7 б.; расчёт равновесной цены при субсидии 10 (ответ 45) — 8 б.
б) Всего 12 б.: определение ставки $s = 20$ — 8 б.; расходы на субсидию (400) — 4 б.
Графическая иллюстрация не обязательна и не оценивается.
Штраф: за вычислительные ошибки снимается 10% набранных баллов (с округлением до целого).
Трилемма едока
9–11 кл. · 30 баллов Юрист Савва зарабатывает $w$ рублей в час (за полчаса $w/2$ рублей, за 10 минут $w/6$ рублей и т.д.). Савва должен решить, как организовать своё питание. Есть три варианта:
1: ходить в магазин за продуктами и готовить еду самому;
2: заказывать в интернете продукты с доставкой и готовить еду самому;
3: заказывать в интернете готовую еду с доставкой.
Стоимость продуктов на один приём пищи как в магазине, так и в интернете (без учёта доставки) составляет 600 руб. Стоимость готовой еды при заказе в интернете — 1200 руб. без учёта доставки. Стоимость доставки продуктов или готовой еды — 500 руб. Поскольку Савва употребляет только свежие продукты и только что приготовленную еду, он ходит в магазин или заказывает доставку перед каждым приёмом пищи. Поход в магазин занимает 30 минут. Готовка занимает 45 минут. Временем на сам приём пищи можно пренебречь.
Савва минимизирует экономические издержки, связанные с организацией питания. Сбережений хватит на любой вариант при любом $w$. Для каждого $w \ge 0$ определите, какой из трёх вариантов оптимален (если оптимальных несколько — укажите все).
Решение
Экономические издержки трёх вариантов (включая альтернативную стоимость времени):
$C_1(w) = 600 + w/2 + 3w/4 = 600 + 5w/4$ (поход в магазин 30 мин $= w/2$ и готовка 45 мин $= 3w/4$);
$C_2(w) = 600 + 500 + 3w/4 = 1100 + 3w/4$ (доставка продуктов + готовка);
$C_3(w) = 1200 + 500 = 1700$.
1) Вариант 2 лучше 1 при $C_2 < C_1$: $1100 + 3w/4 < 600 + 5w/4 \Rightarrow w/2 > 500 \Rightarrow w > 1000$. (Короче: оба варианта с готовкой, 2 выгоднее, если плата за доставку 500 меньше альт. стоимости похода в магазин $w/2$.)
2) Вариант 3 лучше 2 при $C_3 < C_2$: $1700 < 1100 + 3w/4 \Rightarrow w > 800$. (Короче: оба с доставкой, 3 выгоднее, если наценка готовой еды $1200-600=600$ меньше альт. стоимости готовки $3w/4$.)
3) Вариант 2 не оптимален ни при каком $w$: при $w < 1000$ он хуже 1, при $w > 800$ — хуже 3, а хотя бы одно из этих неравенств выполнено всегда.
4) Сравниваем 1 и 3: $C_1 < C_3 \Rightarrow 600 + 5w/4 < 1700 \Rightarrow w < 880$.
Ответ: при $w < 880$ — вариант 1; при $w = 880$ — варианты 1 и 3; при $w > 880$ — вариант 3.
Комментарий: при большой зарплате Савва пользуется доставкой не потому, что денег больше (их хватает всегда), а потому, что выше ценит своё время.
Критерии оценивания
При аналитическом методе: вывод каждой из функций $C_i(w)$ — по 4 б.; определение зарплат безразличия $C_1\!=\!C_2$ ($w=1000$), $C_2\!=\!C_3$ ($w=800$), $C_1\!=\!C_3$ ($w=880$) — по 3 б.; определение оптимального варианта при каждом $w$ — 9 б. Если участник сравнивает варианты 1–2 и 2–3 без полного расчёта издержек (не находя $C_2$), определение оптимума оценивается из 9+4=13 б.
При графическом методе: вывод функций — по 4 б.; правильное расположение графиков с обоснованием (любым способом; достаточно подписать на графике две из трёх критических зарплат) — 9 б.; определение оптимального варианта — 9 б.
Если участник учитывает только явные издержки без альтернативной стоимости времени и получает «всегда вариант 1» — 0 баллов.
Штраф: за вычислительные ошибки снимается 10% набранных баллов (с округлением до целого).
Ключевая ставка в условиях пандемии
11 кл. · 30 баллов В стране Z совокупный спрос $Y = 250 - 100P - 10r$, где $Y$ — реальный ВВП, $P$ — уровень цен, $r$ — ключевая ставка ЦБ в процентах (например при $r=4$: $Y = 210 - 100P$).
В 2120 году краткосрочное предложение $Y = 100P$; экономика в краткосрочном и долгосрочном равновесии, ключевая ставка 5%. В 2121 году из-за пандемии краткосрочное предложение сократилось до $Y = 100P - 50$. Потенциальный ВВП не изменился. В 2121 году равновесие только краткосрочное, устанавливается один раз с учётом действий ЦБ.
а) (7 баллов) Определите годовой темп инфляции в 2121 году, если ЦБ не изменит ставку.
б) (5 баллов) Если ЦБ таргетирует инфляцию на уровне 5% в год, какую ставку он установит в 2121 году?
в) (18 баллов) Теперь ЦБ заботится и об инфляции, и о ВВП: выбирает ставку, минимизируя потери $L = 8(\pi - 5)^2 + (Y - Y^*)^2$, где $\pi$ — годовой темп инфляции в процентах, $Y^*$ — потенциальный ВВП. Определите оптимальную ставку и темп инфляции в 2121 году.
Решение
а) 2120 год при $r=5$: $250 - 100P - 50 = 100P \Rightarrow 200 = 200P \Rightarrow P = 1$. 2121 год при $r=5$: $250 - 100P - 50 = 100P - 50 \Rightarrow 250 = 200P \Rightarrow P = 1{,}25$. Инфляция $\pi = (1{,}25 - 1)/1\cdot 100\% = 25\%$.
Ответ: 25%.
б) Нужен $P = 1{,}05$: $250 - 100\cdot 1{,}05 - 10r = 100\cdot 1{,}05 - 50 \Rightarrow 300 - 210 = 10r \Rightarrow r = 9$.
Ответ: 9%.
в) Потенциальный ВВП = равновесный ВВП 2120 (долгосрочное равновесие): $Y^* = 100\cdot 1 = 100$.
Способ 1. Равновесие при ставке $r$: $250 - 100P - 10r = 100P - 50 \Rightarrow P = (300 - 10r)/200$; $Y = 100P - 50 = 100 - 5r$; $\pi = 100(P-1) = 50 - 5r$. Потери: $L(r) = 8(45 - 5r)^2 + (5r)^2 = 25(8(9-r)^2 + r^2)$. Минимум: $L'(r) = 50(-8(9-r) + r) = 0 \Rightarrow -72 + 9r = 0 \Rightarrow r = 8$. Это минимум (парабола ветвями вверх). Инфляция $\pi = 50 - 5\cdot 8 = 10$.
Способ 2. Из предложения $Y = 50 + \pi$, потери $L(\pi) = 8(\pi-5)^2 + (\pi - 50)^2$, минимум $\pi = 10$; ставка из $250 - 100\cdot 1{,}1 - 10r = 100\cdot 1{,}1 - 50 \Rightarrow r = 8$.
Ответ: ставка 8%, инфляция 10%.
Комментарий: заботясь о ВВП, ЦБ соглашается на бо́льшую инфляцию (10 > 5) и более мягкую политику (8 < 9) — это и есть средство поддержать выпуск в краткосрочном периоде (аналог «двойного мандата» ФРС США).
Критерии оценивания
Выкладки, нужные для в), могут быть в а)/б) или в общей части; баллы за них ставятся в в) независимо от продвижений в в).
а) Всего 7 б.: уровень цен 2120 — 3 б.; уровень цен 2121 — 3 б.; расчёт инфляции — 1 б.
б) Всего 5 б.: целевой уровень цен $P=1{,}05$ — 1 б.; ставка — 4 б.
в) Всего 18 б.: потенциальный ВВП — 2 б. Способ 1: выражение для $Y$ — 3 б.; выражение для $\pi$ — 4 б.; функция $L(r)$ — 3 б.; минимизация и оптимум $r$ — 4 б. (−1 б. без проверки достаточного условия); темп инфляции — 2 б. Способ 2: одна из функций $L(\pi)/L(P)/L(Y)$ — 7 б.; минимизация — 4 б. (−1 б. без проверки); ставка, реализующая оптимум — 5 б.
Штраф: суммарно за вычислительные ошибки снимается 10% набранных баллов (с округлением до целого).
Для этого класса задач в архиве нет. Сбросьте фильтр.
