Top.Mail.Ru
Задачи ВсОШ по экономике 2023 — региональный этап с решениями и ответами (9–11 класс)
ВсОШ · Региональный этап · Экономика · 2023

Задачи ВсОШ по экономике 2023: региональный этап с решениями и ответами

Полный комплект заданий регионального этапа Всероссийской олимпиады школьников по экономике 2023 года для 9, 10 и 11 классов. К каждой задаче — подробное решение и критерии оценивания жюри. Выберите свой класс в фильтре ниже.

6задач 2023 года
9–11классы
с разборомрешения и критерии

Ипотека от застройщика

Финансы9–10 кл.
Иван может купить квартиру в новостройке стоимостью $P$, взяв ипотеку. Две опции:
1. Ипотека в банке на срок $T$ месяцев, ставка $100R$ % в месяц. Застройщик даёт скидку: стоимость квартиры $(1-d)P$, где $d$ — размер скидки.
2. «Ипотека от застройщика» на срок $T$ месяцев, ставка $100r$ % в месяц ($r<R$), но скидки нет — кредит берётся на всю сумму $P$.

В обоих случаях проценты начисляются ежемесячно (сложные проценты), платёж $X$ каждый месяц одинаков и вычитается из долга после начисления процентов: $S_1=(1+i)S_0-X$, $S_2=(1+i)S_1-X$ и т.д. Платёж подбирается так, чтобы в конце срока долг был равен нулю.

Иван хочет минимальный ежемесячный платёж. Определите, при каких $d$ ипотека от банка (опция 1) строго предпочтительнее ипотеки от застройщика (опция 2). Ответ должен зависеть только от $P,T,R,r$.

Для справки: $b+bq+bq^2+\dots+bq^n=\dfrac{b-bq^{n+1}}{1-q}$. Для полного балла примените эту формулу.

Решение

Через $t$ месяцев долг: $S_t=S_0(1+i)^t-X(1+i)^{t-1}-\dots-X(1+i)-X$. Условие $S_T=0$:
$S_0(1+i)^T=X(1+(1+i)+\dots+(1+i)^{T-1})=X\dfrac{(1+i)^T-1}{i}$.
Отсюда $X=\dfrac{S_0(1+i)^T i}{(1+i)^T-1}=\dfrac{S_0 i}{1-(1+i)^{-T}}$.
Банк ($S_0=P(1-d)$, $i=R$): $X_{банк}=\dfrac{P(1-d)(1+R)^T R}{(1+R)^T-1}$.
Застройщик ($S_0=P$, $i=r$): $X_{застр}=\dfrac{P(1+r)^T r}{(1+r)^T-1}$.
Ипотека от банка выгоднее (платёж меньше), когда $X_{банк}<X_{застр}$. Сокращая на $P$ и выражая $d$:
$d>1-\dfrac{r}{R}\dfrac{(1+r)^T}{(1+R)^T}\dfrac{(1+R)^T-1}{(1+r)^T-1}$, или компактно $d>1-\dfrac{r}{R}\dfrac{1-(1+R)^{-T}}{1-(1+r)^{-T}}$.

Критерии оценивания

Решение из двух частей: (1) вывод формулы платежа — 20 б.; (2) неравенство на $d$ — 10 б. За арифметическую ошибку −1 балл.
1) Вывод формулы (7.4) — 20 б.: верное уравнение на $X$ (ур-е $S_T=0$ или эквивалент) — 14 б., из них связь $S_2$ и $S_0$ — 4 б., общая формула $S_t$ — 8 б., само уравнение $S_T=0$ — 2 б. (если выведена только связь $S_3$ и $S_0$ без перехода к общей формуле — доп. 2 б.); упрощение по формуле геом. прогрессии — 3 б.; выражение $X$ — 3 б. Можно сделать выкладки сразу для одного типа ипотеки и отметить аналогию — полный балл.
2) Неравенство на $d$ — 10 б.: платёж банка — 2 б.; платёж застройщика — 2 б.; верное неравенство между платежами — 3 б.; решение относительно $d$ — 3 б. Если всё верно, но не использована формула геом. прогрессии — 27 б. (всё, кроме 3 б. за упрощение).

Монополия — лекарство от внешнего эффекта

МонополияИзлишки9–10–11 кл.
В некой стране рынок грузовых автомобильных перевозок — рынок совершенной конкуренции. Спрос $Q=25-P$, предложение $P=5$. Перевозки сопровождаются вредными выбросами: объём $Q$ влечёт ущерб для экологии $aQ^2$, где $a>0$ — параметр. Государство рассматривает меру: принудительно объединить все фирмы, создав монополиста, чтобы повысить общественное благосостояние.

а) (17 баллов) Определите, какие значения может принимать $a$, если монополизация действительно увеличит общественное благосостояние.
б) (13 баллов) Определите $a$, если объединение фирм приведёт к росту общественного благосостояния до максимально возможного уровня.

Для справки: общественное благосостояние при объёме $Q$ равно сумме излишка потребителей ($CS=0{,}5Q^2$) и прибыли фирм за вычетом ущерба для экологии. Постоянные издержки отсутствуют.

Решение

а) Конкуренция: $Q^c=25-5=20$; $CS_c=20^2/2=200$. Абсолютно эластичное предложение ⇒ $MC=5$, $FC=0$ ⇒ прибыль фирм 0. Ущерб $a(Q^c)^2=400a$. Итог: $SW_c=200-400a$.
Монополия: $TC=5Q$, $\pi(Q)=(25-Q)Q-5Q=(20-Q)Q$ — парабола ветвями вниз, вершина $Q^m=10$ (или $MR=25-2Q=5$). $CS_m=10^2/2=50$, прибыль $\pi^m=(25-10)\cdot10-5\cdot10=100$, ущерб $a\cdot10^2=100a$. Итог: $SW_m=50+100-100a=150-100a$.
Монополизация увеличит благосостояние при $SW_c<SW_m$: $200-400a<150-100a \Rightarrow 50<300a \Rightarrow a>1/6$.
Ответ: $a>1/6$.

б) В общем виде $SW(Q)=Q^2/2+(20-Q)Q-aQ^2=20Q-(1/2+a)Q^2$ — парабола ветвями вниз, максимум при $Q^*=\dfrac{20}{1+2a}$.
Способ 1: максимум благосостояния достигается при монополии тогда и только тогда, когда $Q^m=Q^*$: $10=\dfrac{20}{1+2a}\Rightarrow a=1/2$.
Способ 2: $SW(Q^*)=\dfrac{200}{1+2a}=SW_m=150-100a$ ⇒ $4a^2-4a+1=0$ ⇒ $(2a-1)^2=0$ ⇒ $a=1/2$.
Ответ: $a=1/2$.

Критерии оценивания

Общее: можно использовать «излишек производителей» вместо «прибыль»; за арифметическую ошибку −1 балл; за отсутствие проверки достаточного условия максимума −1 балл каждый раз.
а) (17 б.): объём при конкуренции — 2 б.; $MC=P$, $MC=5$ — 2 б.; благосостояние при конкуренции — 4 б. (CS 1 б., прибыль 1 б., ущерб 1 б., итог 1 б.); объём при монополии — 3 б. (функция прибыли/$MR=MC$ — 1 б., оптимум — 2 б.); благосостояние при монополии — 4 б. (CS 1 б., прибыль 1 б., ущерб 1 б., итог 1 б.); сравнение и условие $a>1/6$ — 2 б.
б) (13 б.): функция $SW(Q)$ в общем виде — 5 б.; объём $Q^*$ максимума — 2 б. Способ 1: идея $Q^m=Q^*$ — 4 б., $a=1/2$ — 2 б. Способ 2: максимальное благосостояние — 2 б., верное уравнение на $a$ — 2 б., $a=1/2$ — 2 б.

Налог на добычу полезных ископаемых (НДПИ)

Вмешательство государства9–10–11 кл.
В России действует налог на добычу полезных ископаемых (НДПИ): для нефти он взимается как потоварный налог за каждую добытую тонну, ставка $t$ зависит от мировой цены. Внутренний спрос $P=90-3Q$, внутреннее предложение $P=30+Q$. Страна может экспортировать любое количество нефти по мировой цене $x\ge0$, но импортировать не может. Государство вводит НДПИ по ставке $t\ge0$ с каждой добытой единицы независимо от места продажи и максимизирует налоговые сборы. Если государство безразлично между двумя ставками, оно выбирает наименьшую.

Пусть $t^*(x)$ — ставка налога в зависимости от $x$. Выведите $t^*(x)$ для всех $x\ge0$ и постройте график.

Решение

После НДПИ предложение $P=30+Q+t$, т.е. $Q_s(P)=P-30-t$; спрос $Q_d(P)=30-P/3$. Экспорт идёт тогда и только тогда, когда $Q_d(x)<Q_s(x)$: $30-x/3<x-30-t$ ⇒ $t<4x/3-60$.
Объём добычи: при $t<4x/3-60$ (экспорт) $Q=x-30-t$; при $t\ge4x/3-60$ (только внутренний рынок) $90-3Q=30+Q+t$ ⇒ $Q=(60-t)/4$.
Сборы $T(t)=tQ(t)$: $t(x-30-t)$ на левом участке, $t(60-t)/4$ на правом — две параболы ветвями вниз, непрерывно стыкуются.
Вершины: левой $t_1=(x-30)/2$, правой $t_2=30$. Левая вершина на своём участке при $(x-30)/2<4x/3-60$ ⇒ $x>54$; правая на своём участке при $30>4x/3-60$ ⇒ $x<67{,}5$. При $x\le45$ левого участка нет ($4x/3-60\le0$).
Случаи:
1) $x\le45$: только правая парабола, $t^*=t_2=30$.
2) $x\in(45;54]$: на левом участке $T$ растёт, оптимум в вершине правой, $t^*=30$.
3) $x\in(54;67{,}5]$: обе вершины актуальны. $T(t_1)=(x-30)^2/4$, $T(t_2)=900/4$. $T(t_1)>T(t_2)$ при $(x-30)^2>900$ ⇒ $x>60$. Значит при $x>60$ $t^*=(x-30)/2$, при $x<60$ $t^*=30$; при $x=60$ государство безразлично и выбирает меньшую $t_1=15$.
4) $x>67{,}5$: правая парабола убывает, оптимум в вершине левой, $t^*=(x-30)/2=x/2-15$.
Итог: $t^*(x)=30$ при $x<60$; $t^*(x)=x/2-15$ при $x\ge60$. График: горизонталь на уровне 30 до $x=60$, затем луч $x/2-15$ (в точке $x=60$ скачок до 15, далее рост).

Критерии оценивания

За арифметическую ошибку −1 балл. Часть 1) нахождение $T(t)$ — 17 б.; часть 2) максимизация — 13 б.
1) Объём $Q=(60-t)/4$ (внутренний рынок) — 5 б. (уравнение на $Q$ сдвигом предложения — 4 б., решение — 1 б.; если найдено только равновесие без налога $Q=15,P=45$ — 2 б.); объём $Q=x-30-t$ (экспорт) — 5 б. (аналогично); условие на $t,x$ для экспорта ($t<4x/3-60$ или эквивалент) — 5 б. (если только $x>45$ без налога — 1 б.); запись $T(t)$ — 2 б.
2) Вершина левой параболы — 1 б.; правой — 1 б.; значения $x$, где левая вершина на левом участке — 1 б.; где правая на правом — 1 б.; $t^*$ в случае 1 — 1 б.; случай 2 — 1 б.; случай 3 — 4 б. (сборы левой 1 б., правой 1 б., сравнение по $x$ — 2 б.); случай 4 — 1 б.; итоговый ответ — 1 б.; график — 1 б.
Если участник лишь сравнивает сборы в двух вершинах (без анализа актуальности участков и случаев 1,2,4) — 25 б.; если дополнительно разобран случай 1 — 26 б.

Нелинейная функция потребления

Макроэкономика11 кл.
В закрытой экономике предельная норма потребления убывает с ростом дохода, функция потребления $C=4+\sqrt{Y_d}$, где $Y_d$ — располагаемый доход, $C$ — потребление. Инвестиции равны 16, госзакупки и налоги изначально равны нулю. Рассматриваются только аккордные налоги.

а) (5 баллов) Найдите равновесный ВВП.
б) (5 баллов) Найдите ВВП, если государство в ситуации а) увеличит госзакупки на 10, не увеличивая налоги.
в) (5 баллов) Найдите ВВП, если госзакупки увеличены на 22, налоги не растут.
г) (6 баллов) Определите мультипликаторы госрасходов для политик б) и в). Одинаковы ли они?
д) (9 баллов) В стандартной модели (линейная функция потребления) мультипликатор сбалансированного бюджета равен единице для любого $\Delta G\ge0$. Верно ли это в данной задаче?

Решение

а) $Y=C+I+G$; $G=T=0$: $Y=4+\sqrt{Y}+16=20+\sqrt{Y}$. Замена $x=\sqrt{Y}$: $x^2-x-20=0$, $x=5$, $Y=25$.
б) $Y=4+\sqrt{Y}+16+10=30+\sqrt{Y}$: $x^2-x-30=0$, $x=6$, $Y=36$.
в) $Y=4+\sqrt{Y}+16+22=42+\sqrt{Y}$: $x^2-x-42=0$, $x=7$, $Y=49$.
г) $mult_G=\Delta Y/\Delta G$. Для б): $(36-25)/(10-0)=11/10$. Для в): $(49-25)/(22-0)=12/11$. Поскольку $11/10\ne12/11$, мультипликаторы не равны (он зависит от размера прироста, т.к. предельная норма потребления убывает).
д) При сбалансированном бюджете $\Delta G=\Delta T$ (т.е. $G=T$). $Y=4+\sqrt{Y-\Delta G}+16+\Delta G$, т.е. $Y-\Delta G=20+\sqrt{Y-\Delta G}$. Замена $x=\sqrt{Y-\Delta G}$: $x^2-x-20=0$, $x=5$, $Y-\Delta G=25$, значит $Y=25+\Delta G$. ВВП растёт ровно на $\Delta G$, мультипликатор сбалансированного бюджета равен единице для любого $\Delta G$. Ответ: верно.

Критерии оценивания

Общее: за арифметическую ошибку −1 балл.
а) (5 б.): верное уравнение на $Y$ — 3 б.; решение — 2 б.
б) (5 б.): уравнение — 3 б.; решение — 2 б.
в) (5 б.): уравнение — 3 б.; решение — 2 б.
г) (6 б.): идея $mult_G=\Delta Y/\Delta G$ — 3 б. (полный балл даже без формулы в общем виде); расчёт для б) — 1 б.; для в) — 1 б.; вывод о неравенстве — 1 б. Если используется формула линейной модели $1/(1-mpc)$: 1 б. за формулу и 1 б. за попытку расчёта.
д) (9 б.): идея $\Delta G=\Delta T$ ($G=T$) — 2 б.; верное уравнение на $Y$ — 3 б.; решение и зависимость $Y$ от $\Delta G$ — 3 б. (достаточно доказать $Y(\Delta G)=x+\Delta G$); вывод о мультипликаторе единица — 1 б.

Фирма «ЭПВВв»

ПроизводствоФормализация10–11 кл.
Фирма «ЭПВВв» производит параболические антенны. Производственная функция фирмы имеет вид $Q(L,K)=\min\{L^2,K\}$, где $Q$ — количество антенн (в тыс. шт., целочисленностью пренебрегаем), $L$ — объём труда, $K$ — объём капитала. Фирма — совершенный конкурент и на рынке труда, и на рынке антенн, цена 1 тыс. шт. равна 1. В собственности фирмы есть 4 единицы капитала. Если фирма безразлична между несколькими объёмами труда, она выбирает наибольший.

а) (12 баллов) Фирма не может изменить количество капитала. Выведите функцию спроса на труд $L_d(w)$ при каждом уровне зарплаты $w>0$.
б) (13 баллов) У фирмы появляется возможность арендовать дополнительно 5 единиц капитала за сумму $S$. Пусть $S_{max}(w)$ — максимальное $S$, которое фирма готова заплатить за аренду 5 единиц капитала при каждом $w>0$. Выведите $S_{max}(w)$ и постройте график.
в) (5 баллов) Заполните пропуски во фразе «В данном случае функция $S_{max}(w)$ ..., и значит, труд и капитал являются ... в производстве»: первый — «убывает»/«возрастает», второй — «субститутами»/«комплементами».

Решение

а) При $K=4$: $Q(L,4)=\min\{L^2,4\}$. Прибыль $\pi(L)=P\cdot Q-wL = L^2-wL$ при $L\le2$ и $4-wL$ при $L>2$ (расходы на капитал уже понесены и не входят). Функция $L^2-wL$ — парабола ветвями вверх, максимум на $[0;2]$ достигается на одном из концов; $4-wL$ убывает, поэтому $L>2$ неоптимально. При $L=0$ прибыль 0, при $L=2$ прибыль $4-2w$. Значит при $w\le2$ оптимально $L=2$, при $w>2$ оптимально $L=0$:
$L_d(w)=2$ при $w\le2$; $L_d(w)=0$ при $w>2$.

б) Без аренды максимальная прибыль: $\pi^*_1 = 4-2w$ при $w\le2$; $0$ при $w>2$.
С арендой $K=4+5=9$: $\pi(L)=L^2-wL-S$ при $L\le3$ и $9-wL-S$ при $L>3$. Максимум при $L=0$ (прибыль $-S$) или $L=3$ (прибыль $9-3w-S$). Значит $\pi^*_2 = 9-3w-S$ при $w\le3$; $-S$ при $w>3$.
$S_{max}(w)$ — максимальное $S$, при котором $\pi^*_2\ge\pi^*_1$:
При $w\le2$: $S_{max}=9-3w-(4-2w)=5-w$.
При $2<w\le3$: $S_{max}=9-3w-0=9-3w$.
При $w>3$: $S_{max}=0$.
Итог: $S_{max}(w)=5-w$ при $0<w\le2$; $9-3w$ при $2<w\le3$; $0$ при $w>3$. График — ломаная: от $(0;5)$ к $(2;3)$, затем круче к $(3;0)$, далее 0.

в) 1) «убывает», 2) «комплементами». ($S_{max}$ — готовность платить за капитал, т.е. спрос на капитал; он убывает по цене труда, значит блага — комплементы.)

Критерии оценивания

Общее: подстановка $K=4$ и $K=9$ при решении в общем виде; расхождения в строгих/нестрогих неравенствах не штрафуются; за арифметическую ошибку −1 балл.
а) (12 б.): подстановка $K=4$ — 1 б.; запись функции прибыли — 3 б.; обоснование, что на $[0;2]$ оптимум только $L=0$ или $L=2$ — 3 б. (без обоснования 1 из 3); обоснование неоптимальности $L>2$ — 1 б.; определение $w$ для $L=0$ и $L=2$ — 3 б.; итоговый ответ — 1 б.
б) (13 б.): максимальная прибыль без аренды — 2 б.; с арендой — всего 7 б. (новая функция прибыли при $K=9$ — 2 б.; утверждение об оптимуме $L=0$ или $L=3$ — 1 б.; определение $w$ — 2 б.; вычисление прибыли — 2 б.); $S_{max}$ при $w\le2$ — 1 б.; при $2<w\le3$ — 1 б.; при $w>3$ — 1 б.; график — 1 б.
в) (5 б.): «убывает» — 2 б.; «комплементами» — 3 б.

Фирма «ЭПВВн»

ПроизводствоФормализация9 кл.
Фирма «ЭПВВн» производит параболические антенны. Производственная функция фирмы имеет вид $Q(L,K)=KL-L^2/2$ (если $KL-L^2/2<0$, выпуск равен нулю), где $Q$ — количество антенн (в тыс. шт.), $L$ — объём труда, $K$ — объём капитала. Фирма — совершенный конкурент и на рынке труда, и на рынке антенн, цена 1 тыс. шт. равна 1. В собственности фирмы есть 4 единицы капитала. На протяжении всей задачи зарплата $w\in[0;4]$.

а) (12 баллов) Фирма не может изменить количество капитала. Выведите функцию спроса на труд $L_d(w)$ при $w\in[0;4]$.
б) (13 баллов) У фирмы появляется возможность арендовать дополнительно 2 единицы капитала за сумму $S$. Пусть $S_{max}(w)$ — максимальное $S$, которое фирма готова заплатить за аренду двух единиц капитала при зарплате $w$. Выведите $S_{max}(w)$ для $w\in[0;4]$.
в) (5 баллов) Заполните пропуски во фразе «В данном случае функция $S_{max}(w)$ ..., и значит, труд и капитал являются в данном случае ... друг друга факторами производства»: первый — «убывает»/«возрастает», второй — «заменяющими»/«дополняющими».

Решение

а) При $K=4$: $Q(L,4)=4L-L^2/2$. Прибыль $\pi=P\cdot Q-wL=(4-w)L-L^2/2$ — парабола ветвями вниз, максимум в вершине: $L^*=(4-w)/(2\cdot1/2)=4-w$. (Эквивалентно $MRP_L=w$: $P\cdot MP_L=(4-L)=w$, $L=4-w$; это максимум, т.к. $MP_L$ в денежном выражении убывает.) Ответ: $L_d(w)=4-w$.

б) Без аренды максимальная прибыль: $\pi^*_1=\pi(4-w)=(4-w)^2-(4-w)^2/2=(4-w)^2/2$.
С арендой $K=4+2=6$: $\pi(L)=(6-w)L-L^2/2-S$, максимум в вершине $L^*=6-w$, прибыль $\pi^*_2=(6-w)^2/2-S$.
$S_{max}(w)$ — максимальное $S$, при котором $\pi^*_2\ge\pi^*_1$:
$S_{max}(w)=(6-w)^2/2-(4-w)^2/2=((6-w)-(4-w))((6-w)+(4-w))/2=2\cdot(10-2w)/2=10-2w$.
Ответ: $S_{max}(w)=10-2w$.

в) 1) «убывает», 2) «дополняющими». ($S_{max}$ — спрос на капитал; он убывает по цене труда, значит блага — дополняющие/комплементы.)

Критерии оценивания

Общее: при решении в общем виде подстановка $K=4$ и $K=6$; за арифметическую ошибку −1 балл.
а) (12 б.): подстановка $K=4$ — 2 б.; запись функции прибыли (способ 1) или условия $MRP_L=w$ (способ 2) — 5 б.; вычисление точки максимума с обоснованием — 4 б. (без обоснования −1 б.); итоговый ответ — 1 б.
б) (13 б.): максимальная прибыль без аренды — 3 б.; с арендой — всего 7 б. (новая функция прибыли при $K=6$ или условие $MRP_L=w$ — 2 б.; новый оптимум $L=6-w$ — 2 б.; вычисление прибыли — 3 б.); определение $S_{max}(w)$ — 3 б. (любое верное выражение).
в) (5 б.): «убывает» — 2 б.; «дополняющими» — 3 б.

О заданиях регионального этапа ВсОШ по экономике 2023 года

Региональный этап Всероссийской олимпиады школьников по экономике проводится для учащихся 9–11 классов. Здесь собраны задачи комплекта 2023 года с авторскими решениями и официальными критериями оценивания. Темы заданий охватывают микроэкономику, макроэкономику, финансовую грамотность и формализацию экономических ситуаций.

Чтобы системно подготовиться к региональному и заключительному этапам, заберите бесплатный гайд по подготовке к олимпиаде по экономике или присмотритесь к нашему курсу — ссылки в кнопках на странице.

О школе "Олмат"
Мы предлагаем комплексную подготовку, которая охватывает все аспекты участия в олимпиадах. Делаем курсы по подготовке к олимпиадам по экономике, математике и физике для школьников.
  • 106 из 180 дипломов финала ВсОШ 2026 по экономике
    Наши ученики поступили в лучшие вузы страны по специальности "Экономика" и не только.
  • Более 20 000 человек из 17 стран
    Уже занимаются в школе "Олмат", из них 95% готовы рекомендовать занятия с нами своим друзьям.
  • Более 1000 дипломов перечневых олимпиад
    Наши ученики занимают призовые места на олимпиадах: МОШ, Высшая проба, Сибириада и других.
  • Более 100 мероприятий
    Провели и организовали: выездные школы, онлайн курсы, сборы и интенсивы.
Заберите гайд по подготовке бесплатно в Telegram-боте и начните подготовку уже сейчас!
Гайд о том, как выстроить подготовку к олимпиадам по экономике: от первых шагов и выбора вузов до перечневых олимпиад, ВсОШ и задач уровня заключительного этапа.
Забрать гайд
Бесплатный курс "Старт в олимпиадах" Бесплатный курс "Математика для олимпиадной экономики"
Мы в ВК Написать нам в телеграмм Мы в ТГ
Этот сайт использует cookie для улучшения работы. Продолжая пользоваться сайтом, вы соглашаетесь с этим.
Согласен