Темы задач регионального этапа ВсОШ по экономике 2023 года (сезон 2022/23): производство, формализация, финансы, монополия, излишки, вмешательство государства и макроэкономика. Здесь собрано 6 задач с развёрнутым решением: для 9 класса — 4, для 10 класса — 4, для 11 класса — 4. Тесты первых трёх частей того же года разобраны по темам в сборнике олимпиадных задач — там есть фильтр «региональный этап».
Ипотека от застройщика
9–10 кл. · 30 баллов Иван может купить квартиру в новостройке стоимостью $P$, взяв ипотеку. Две опции:
1. Ипотека в банке на срок $T$ месяцев, ставка $100R$ % в месяц. Застройщик даёт скидку: стоимость квартиры $(1-d)P$, где $d$ — размер скидки.
2. «Ипотека от застройщика» на срок $T$ месяцев, ставка $100r$ % в месяц ($r<R$), но скидки нет — кредит берётся на всю сумму $P$.
В обоих случаях проценты начисляются ежемесячно (сложные проценты), платёж $X$ каждый месяц одинаков и вычитается из долга после начисления процентов: $S_1=(1+i)S_0-X$, $S_2=(1+i)S_1-X$ и т.д. Платёж подбирается так, чтобы в конце срока долг был равен нулю.
Иван хочет минимальный ежемесячный платёж. Определите, при каких $d$ ипотека от банка (опция 1) строго предпочтительнее ипотеки от застройщика (опция 2). Ответ должен зависеть только от $P,T,R,r$.
Для справки: $b+bq+bq^2+\dots+bq^n=\dfrac{b-bq^{n+1}}{1-q}$. Для полного балла примените эту формулу.
Решение
Через $t$ месяцев долг: $S_t=S_0(1+i)^t-X(1+i)^{t-1}-\dots-X(1+i)-X$. Условие $S_T=0$:
$S_0(1+i)^T=X(1+(1+i)+\dots+(1+i)^{T-1})=X\dfrac{(1+i)^T-1}{i}$.
Отсюда $X=\dfrac{S_0(1+i)^T i}{(1+i)^T-1}=\dfrac{S_0 i}{1-(1+i)^{-T}}$.
Банк ($S_0=P(1-d)$, $i=R$): $X_{банк}=\dfrac{P(1-d)(1+R)^T R}{(1+R)^T-1}$.
Застройщик ($S_0=P$, $i=r$): $X_{застр}=\dfrac{P(1+r)^T r}{(1+r)^T-1}$.
Ипотека от банка выгоднее (платёж меньше), когда $X_{банк}<X_{застр}$. Сокращая на $P$ и выражая $d$:
$d>1-\dfrac{r}{R}\dfrac{(1+r)^T}{(1+R)^T}\dfrac{(1+R)^T-1}{(1+r)^T-1}$, или компактно $d>1-\dfrac{r}{R}\dfrac{1-(1+R)^{-T}}{1-(1+r)^{-T}}$.
Критерии оценивания
Решение из двух частей: (1) вывод формулы платежа — 20 б.; (2) неравенство на $d$ — 10 б. За арифметическую ошибку −1 балл.
1) Вывод формулы платежа — 20 б.: верное уравнение на $X$ (ур-е $S_T=0$ или эквивалент) — 14 б., из них связь $S_2$ и $S_0$ — 4 б., общая формула $S_t$ — 8 б., само уравнение $S_T=0$ — 2 б. (если выведена только связь $S_3$ и $S_0$ без перехода к общей формуле — доп. 2 б.); упрощение по формуле геом. прогрессии — 3 б.; выражение $X$ — 3 б. Можно сделать выкладки сразу для одного типа ипотеки и отметить аналогию — полный балл.
2) Неравенство на $d$ — 10 б.: платёж банка — 2 б.; платёж застройщика — 2 б.; верное неравенство между платежами — 3 б.; решение относительно $d$ — 3 б. Если всё верно, но не использована формула геом. прогрессии — 27 б. (всё, кроме 3 б. за упрощение).
Монополия — лекарство от внешнего эффекта
9–11 кл. · 30 баллов В некой стране рынок грузовых автомобильных перевозок — рынок совершенной конкуренции. Спрос $Q=25-P$, предложение $P=5$. Перевозки сопровождаются вредными выбросами: объём $Q$ влечёт ущерб для экологии $aQ^2$, где $a>0$ — параметр. Государство рассматривает меру: принудительно объединить все фирмы, создав монополиста, чтобы повысить общественное благосостояние.
а) (17 баллов) Определите, какие значения может принимать $a$, если монополизация действительно увеличит общественное благосостояние.
б) (13 баллов) Определите $a$, если объединение фирм приведёт к росту общественного благосостояния до максимально возможного уровня.
Для справки: общественное благосостояние при объёме $Q$ равно сумме излишка потребителей ($CS=0{,}5Q^2$) и прибыли фирм за вычетом ущерба для экологии. Постоянные издержки отсутствуют.
Решение
а) Конкуренция: $Q^c=25-5=20$; $CS_c=20^2/2=200$. Абсолютно эластичное предложение ⇒ $MC=5$, $FC=0$ ⇒ прибыль фирм 0. Ущерб $a(Q^c)^2=400a$. Итог: $SW_c=200-400a$.
Монополия: $TC=5Q$, $\pi(Q)=(25-Q)Q-5Q=(20-Q)Q$ — парабола ветвями вниз, вершина $Q^m=10$ (или $MR=25-2Q=5$). $CS_m=10^2/2=50$, прибыль $\pi^m=(25-10)\cdot10-5\cdot10=100$, ущерб $a\cdot10^2=100a$. Итог: $SW_m=50+100-100a=150-100a$.
Монополизация увеличит благосостояние при $SW_c<SW_m$: $200-400a<150-100a \Rightarrow 50<300a \Rightarrow a>1/6$.
Ответ: $a>1/6$.
б) В общем виде $SW(Q)=Q^2/2+(20-Q)Q-aQ^2=20Q-(1/2+a)Q^2$ — парабола ветвями вниз, максимум при $Q^*=\dfrac{20}{1+2a}$.
Способ 1: максимум благосостояния достигается при монополии тогда и только тогда, когда $Q^m=Q^*$: $10=\dfrac{20}{1+2a}\Rightarrow a=1/2$.
Способ 2: $SW(Q^*)=\dfrac{200}{1+2a}=SW_m=150-100a$ ⇒ $4a^2-4a+1=0$ ⇒ $(2a-1)^2=0$ ⇒ $a=1/2$.
Ответ: $a=1/2$.
Критерии оценивания
Общее: можно использовать «излишек производителей» вместо «прибыль»; за арифметическую ошибку −1 балл; за отсутствие проверки достаточного условия максимума −1 балл каждый раз.
а) (17 б.): объём при конкуренции — 2 б.; $MC=P$, $MC=5$ — 2 б.; благосостояние при конкуренции — 4 б. (CS 1 б., прибыль 1 б., ущерб 1 б., итог 1 б.); объём при монополии — 3 б. (функция прибыли/$MR=MC$ — 1 б., оптимум — 2 б.); благосостояние при монополии — 4 б. (CS 1 б., прибыль 1 б., ущерб 1 б., итог 1 б.); сравнение и условие $a>1/6$ — 2 б.
б) (13 б.): функция $SW(Q)$ в общем виде — 5 б.; объём $Q^*$ максимума — 2 б. Способ 1: идея $Q^m=Q^*$ — 4 б., $a=1/2$ — 2 б. Способ 2: максимальное благосостояние — 2 б., верное уравнение на $a$ — 2 б., $a=1/2$ — 2 б.
Фирма «ЭПВВн»
9 кл. · 30 баллов Фирма «ЭПВВн» производит параболические антенны. Производственная функция фирмы имеет вид $Q(L,K)=KL-L^2/2$ (если $KL-L^2/2<0$, выпуск равен нулю), где $Q$ — количество антенн (в тыс. шт.), $L$ — объём труда, $K$ — объём капитала. Фирма — совершенный конкурент и на рынке труда, и на рынке антенн, цена 1 тыс. шт. равна 1. В собственности фирмы есть 4 единицы капитала. На протяжении всей задачи зарплата $w\in[0;4]$.
а) (12 баллов) Фирма не может изменить количество капитала. Выведите функцию спроса на труд $L_d(w)$ при $w\in[0;4]$.
б) (13 баллов) У фирмы появляется возможность арендовать дополнительно 2 единицы капитала за сумму $S$. Пусть $S_{max}(w)$ — максимальное $S$, которое фирма готова заплатить за аренду двух единиц капитала при зарплате $w$. Выведите $S_{max}(w)$ для $w\in[0;4]$.
в) (5 баллов) Заполните пропуски во фразе «В данном случае функция $S_{max}(w)$ ..., и значит, труд и капитал являются в данном случае ... друг друга факторами производства»: первый — «убывает»/«возрастает», второй — «заменяющими»/«дополняющими».
Решение
а) При $K=4$: $Q(L,4)=4L-L^2/2$. Прибыль $\pi=P\cdot Q-wL=(4-w)L-L^2/2$ — парабола ветвями вниз, максимум в вершине: $L^*=(4-w)/(2\cdot1/2)=4-w$. (Эквивалентно $MRP_L=w$: $P\cdot MP_L=(4-L)=w$, $L=4-w$; это максимум, т.к. $MP_L$ в денежном выражении убывает.) Ответ: $L_d(w)=4-w$.
б) Без аренды максимальная прибыль: $\pi^*_1=\pi(4-w)=(4-w)^2-(4-w)^2/2=(4-w)^2/2$.
С арендой $K=4+2=6$: $\pi(L)=(6-w)L-L^2/2-S$, максимум в вершине $L^*=6-w$, прибыль $\pi^*_2=(6-w)^2/2-S$.
$S_{max}(w)$ — максимальное $S$, при котором $\pi^*_2\ge\pi^*_1$:
$S_{max}(w)=(6-w)^2/2-(4-w)^2/2=((6-w)-(4-w))((6-w)+(4-w))/2=2\cdot(10-2w)/2=10-2w$.
Ответ: $S_{max}(w)=10-2w$.
в) 1) «убывает», 2) «дополняющими». ($S_{max}$ — спрос на капитал; он убывает по цене труда, значит блага — дополняющие/комплементы.)
Критерии оценивания
Общее: при решении в общем виде подстановка $K=4$ и $K=6$; за арифметическую ошибку −1 балл.
а) (12 б.): подстановка $K=4$ — 2 б.; запись функции прибыли (способ 1) или условия $MRP_L=w$ (способ 2) — 5 б.; вычисление точки максимума с обоснованием — 4 б. (без обоснования −1 б.); итоговый ответ — 1 б.
б) (13 б.): максимальная прибыль без аренды — 3 б.; с арендой — всего 7 б. (новая функция прибыли при $K=6$ или условие $MRP_L=w$ — 2 б.; новый оптимум $L=6-w$ — 2 б.; вычисление прибыли — 3 б.); определение $S_{max}(w)$ — 3 б. (любое верное выражение).
в) (5 б.): «убывает» — 2 б.; «дополняющими» — 3 б.
Фирма «ЭПВВв»
10–11 кл. · 30 баллов Фирма «ЭПВВв» производит параболические антенны. Производственная функция фирмы имеет вид $Q(L,K)=\min\{L^2,K\}$, где $Q$ — количество антенн (в тыс. шт., целочисленностью пренебрегаем), $L$ — объём труда, $K$ — объём капитала. Фирма — совершенный конкурент и на рынке труда, и на рынке антенн, цена 1 тыс. шт. равна 1. В собственности фирмы есть 4 единицы капитала. Если фирма безразлична между несколькими объёмами труда, она выбирает наибольший.
а) (12 баллов) Фирма не может изменить количество капитала. Выведите функцию спроса на труд $L_d(w)$ при каждом уровне зарплаты $w>0$.
б) (13 баллов) У фирмы появляется возможность арендовать дополнительно 5 единиц капитала за сумму $S$. Пусть $S_{max}(w)$ — максимальное $S$, которое фирма готова заплатить за аренду 5 единиц капитала при каждом $w>0$. Выведите $S_{max}(w)$ и постройте график.
в) (5 баллов) Заполните пропуски во фразе «В данном случае функция $S_{max}(w)$ ..., и значит, труд и капитал являются ... в производстве»: первый — «убывает»/«возрастает», второй — «субститутами»/«комплементами».
Решение
а) При $K=4$: $Q(L,4)=\min\{L^2,4\}$. Прибыль $\pi(L)=P\cdot Q-wL = L^2-wL$ при $L\le2$ и $4-wL$ при $L>2$ (расходы на капитал уже понесены и не входят). Функция $L^2-wL$ — парабола ветвями вверх, максимум на $[0;2]$ достигается на одном из концов; $4-wL$ убывает, поэтому $L>2$ неоптимально. При $L=0$ прибыль 0, при $L=2$ прибыль $4-2w$. Значит при $w\le2$ оптимально $L=2$, при $w>2$ оптимально $L=0$:
$L_d(w)=2$ при $w\le2$; $L_d(w)=0$ при $w>2$.
б) Без аренды максимальная прибыль: $\pi^*_1 = 4-2w$ при $w\le2$; $0$ при $w>2$.
С арендой $K=4+5=9$: $\pi(L)=L^2-wL-S$ при $L\le3$ и $9-wL-S$ при $L>3$. Максимум при $L=0$ (прибыль $-S$) или $L=3$ (прибыль $9-3w-S$). Значит $\pi^*_2 = 9-3w-S$ при $w\le3$; $-S$ при $w>3$.
$S_{max}(w)$ — максимальное $S$, при котором $\pi^*_2\ge\pi^*_1$:
При $w\le2$: $S_{max}=9-3w-(4-2w)=5-w$.
При $2<w\le3$: $S_{max}=9-3w-0=9-3w$.
При $w>3$: $S_{max}=0$.
Итог: $S_{max}(w)=5-w$ при $0<w\le2$; $9-3w$ при $2<w\le3$; $0$ при $w>3$. График — ломаная: от $(0;5)$ к $(2;3)$, затем круче к $(3;0)$, далее 0.
в) 1) «убывает», 2) «комплементами». ($S_{max}$ — готовность платить за капитал, т.е. спрос на капитал; он убывает по цене труда, значит блага — комплементы.)
Критерии оценивания
Общее: подстановка $K=4$ и $K=9$ при решении в общем виде; расхождения в строгих/нестрогих неравенствах не штрафуются; за арифметическую ошибку −1 балл.
а) (12 б.): подстановка $K=4$ — 1 б.; запись функции прибыли — 3 б.; обоснование, что на $[0;2]$ оптимум только $L=0$ или $L=2$ — 3 б. (без обоснования 1 из 3); обоснование неоптимальности $L>2$ — 1 б.; определение $w$ для $L=0$ и $L=2$ — 3 б.; итоговый ответ — 1 б.
б) (13 б.): максимальная прибыль без аренды — 2 б.; с арендой — всего 7 б. (новая функция прибыли при $K=9$ — 2 б.; утверждение об оптимуме $L=0$ или $L=3$ — 1 б.; определение $w$ — 2 б.; вычисление прибыли — 2 б.); $S_{max}$ при $w\le2$ — 1 б.; при $2<w\le3$ — 1 б.; при $w>3$ — 1 б.; график — 1 б.
в) (5 б.): «убывает» — 2 б.; «комплементами» — 3 б.
Нелинейная функция потребления
11 кл. · 30 баллов В закрытой экономике предельная норма потребления убывает с ростом дохода, функция потребления $C=4+\sqrt{Y_d}$, где $Y_d$ — располагаемый доход, $C$ — потребление. Инвестиции равны 16, госзакупки и налоги изначально равны нулю. Рассматриваются только аккордные налоги.
а) (5 баллов) Найдите равновесный ВВП.
б) (5 баллов) Найдите ВВП, если государство в ситуации а) увеличит госзакупки на 10, не увеличивая налоги.
в) (5 баллов) Найдите ВВП, если госзакупки увеличены на 22, налоги не растут.
г) (6 баллов) Определите мультипликаторы госрасходов для политик б) и в). Одинаковы ли они?
д) (9 баллов) В стандартной модели (линейная функция потребления) мультипликатор сбалансированного бюджета равен единице для любого $\Delta G\ge0$. Верно ли это в данной задаче?
Решение
а) $Y=C+I+G$; $G=T=0$: $Y=4+\sqrt{Y}+16=20+\sqrt{Y}$. Замена $x=\sqrt{Y}$: $x^2-x-20=0$, $x=5$, $Y=25$.
б) $Y=4+\sqrt{Y}+16+10=30+\sqrt{Y}$: $x^2-x-30=0$, $x=6$, $Y=36$.
в) $Y=4+\sqrt{Y}+16+22=42+\sqrt{Y}$: $x^2-x-42=0$, $x=7$, $Y=49$.
г) $mult_G=\Delta Y/\Delta G$. Для б): $(36-25)/(10-0)=11/10$. Для в): $(49-25)/(22-0)=12/11$. Поскольку $11/10\ne12/11$, мультипликаторы не равны (он зависит от размера прироста, т.к. предельная норма потребления убывает).
д) При сбалансированном бюджете $\Delta G=\Delta T$ (т.е. $G=T$). $Y=4+\sqrt{Y-\Delta G}+16+\Delta G$, т.е. $Y-\Delta G=20+\sqrt{Y-\Delta G}$. Замена $x=\sqrt{Y-\Delta G}$: $x^2-x-20=0$, $x=5$, $Y-\Delta G=25$, значит $Y=25+\Delta G$. ВВП растёт ровно на $\Delta G$, мультипликатор сбалансированного бюджета равен единице для любого $\Delta G$. Ответ: верно.
Критерии оценивания
Общее: за арифметическую ошибку −1 балл.
а) (5 б.): верное уравнение на $Y$ — 3 б.; решение — 2 б.
б) (5 б.): уравнение — 3 б.; решение — 2 б.
в) (5 б.): уравнение — 3 б.; решение — 2 б.
г) (6 б.): идея $mult_G=\Delta Y/\Delta G$ — 3 б. (полный балл даже без формулы в общем виде); расчёт для б) — 1 б.; для в) — 1 б.; вывод о неравенстве — 1 б. Если используется формула линейной модели $1/(1-mpc)$: 1 б. за формулу и 1 б. за попытку расчёта.
д) (9 б.): идея $\Delta G=\Delta T$ ($G=T$) — 2 б.; верное уравнение на $Y$ — 3 б.; решение и зависимость $Y$ от $\Delta G$ — 3 б. (достаточно доказать $Y(\Delta G)=x+\Delta G$); вывод о мультипликаторе единица — 1 б.
Для этого класса задач в архиве нет. Сбросьте фильтр.
