Темы задач регионального этапа ВсОШ по экономике 2012 года (сезон 2011/12): макроэкономика, КПВ, монополия, спрос и предложение, рынок труда, вмешательство государства и формализация. Здесь собрано 5 задач с развёрнутым решением: для 9 класса — 5, для 10 класса — 5, для 11 класса — 5. Тесты первых трёх частей того же года разобраны по темам в сборнике олимпиадных задач — там есть фильтр «региональный этап».
Безработица в N-ске
9–11 кл. · 8 баллов Всё население города N-ска — 200 тыс. человек. В году 0 выпуск был на потенциальном уровне 1000. В году 1 произошла рецессия, без работы осталось 4 тыс. человек. Количество занятых в году 1 — 91 тыс. человек; естественный уровень безработицы — 5 %. Каков фактический выпуск в году 1, если коэффициент Оукена равен 2,5?
Решение
В году 0 выпуск на потенциальном уровне, циклическая безработица равна нулю. Значит, число циклических безработных в году 1 равно 4 тыс. человек (прирост безработицы).
Число безработных: естественный уровень 5 % плюс циклические. Рабочая сила $L = E + U$. Занятые $E = 91$ тыс. Естественные безработные $= 0{,}05L$, всего безработных $U = 0{,}05L + 4$. Тогда $L = 91 + 0{,}05L + 4$, откуда $0{,}95L = 95$, $L = 100$ тыс. Безработных $U = 9$ тыс. (из них 5 тыс. естественных, 4 тыс. циклических). Фактический уровень безработицы $u = 9/100 = 9\%$, превышение над естественным $= 4$ п.п.
Закон Оукена: $(Y^* - Y)/Y^* = k\cdot (u - u^*) = 2{,}5\cdot 0{,}04 = 0{,}10$. Тогда $Y = Y^*(1 - 0{,}10) = 1000\cdot 0{,}9 = 900$.
Ответ: 900.
Критерии оценивания
Циклическая безработица в году 1 равна 4 тыс. — 1 б.; верная формула связи занятых, безработных и рабочей силы — 2 б.; расчёт рабочей силы $L = 100$ тыс. — 1 б.; число безработных и уровень безработицы — 1 б.; верная формула закона Оукена — 1 б.; расчёт фактического ВВП = 900 — 1 б. (При решении сразу через итоговую формулу баллы за промежуточные результаты — за корректные алгебраические выкладки.)
Воздушные шарики
9–11 кл. · 13 баллов На островах Иль де Бонёр (Б) и Иль де Либертэ (Л) производят воздушные шарики (только целое число). Для одного шарика нужны 2 единицы рабочей силы, 2 единицы латекса и 2 единицы гелия. Запасы: Б — рабочая сила 950, латекс 900, гелий 2000; Л — рабочая сила 1500, латекс 1400, гелий 1300. Обмен рабочей силой невозможен. Обмен называется взаимовыгодным, если в результате обоим островам достаётся больше шариков, чем без обмена.
а) Максимальное суммарное производство шариков без обмена ресурсами?
б) Возможен ли обмен, при котором суммарное производство превысит 1200 штук?
в) Какое количество шариков может оказаться на острове Б при взаимовыгодном обмене латексом, гелием и шариками? Все варианты.
г) То же, если возможен обмен латексом и гелием, но не шариками.
Решение
а) Б ограничен латексом: 900/2 = 450 шариков (рабочей силы и гелия хватает). Л ограничен гелием: 1300/2 = 650 шариков. Сумма не более $450 + 650 = 1100$. Ответ: 1100 штук.
б) Суммарный запас латекса 2300, значит, в сумме не более $2300/2 = 1150$ шариков. Превысить 1200 невозможно.
в) Обозначим за $x$ количество шариков на Б после обмена. Для взаимовыгодности $x > 450$. Суммарно не более 1150 (п. б); если Б получит $\ge 500$, то Л останется $\le 650$, то есть не больше, чем без обмена — невыгодно. Значит, $451 \le x \le 499$. Пример: Б отдаёт Л 100 ед. гелия, сам производит 450; Л на импортном гелии производит 700; отдавая Б от 1 до 49 шариков, получаем на Б от 451 до 499, а на Л от 651 до 699 — взаимовыгодно. Ответ: от 451 до 499.
г) Снова $x > 450$. Шарики возить нельзя; каждый остров потребляет только свои. Запас рабочей силы Б — 950, значит Б произведёт не более $950/2 = 475$ шариков, то есть $x \le 475$. Пример: Б поставляет Л 50 ед. гелия, Л в обмен поставляет Б от 2 до 50 ед. латекса — Б производит от 451 до 475; экспорт латекса не вредит Л (с импортным гелием Л производит 675 независимо от объёма экспортированного латекса). Ответ: от 451 до 475.
Критерии оценивания
а) (2 б.): по 1 б. за максимум производства на каждом острове (450 и 650).
б) (2 б.): ограничение латекса (1150) и вывод о невозможности >1200.
в) (5 б.): ограничение $x > 450$ — 1 б.; ограничение $x < 500$ — 2 б.; построение примера, что любое значение 451–499 достижимо — 2 б.
г) (4 б.): получение и обоснование ограничения $x \le 475$ — 2 б.; построение примера, что любое значение 451–475 достижимо — 2 б.
Восстановление спроса двух групп
9–11 кл. · 13 баллов На рынке две группы потребителей с линейными функциями спроса. Монополист заметил: пока он увеличивает объём продаж с нуля до 10 единиц, выручка растёт; при дальнейшем увеличении выручка падает, пока цена не станет равна 8; если наращивать продажи дальше, выручка снова растёт, пока цена не опустится до 6; после этого порога выручка снова падает вплоть до максимальной величины рыночного спроса, равной 36. Восстановите функции спроса обеих групп.
Решение
Рыночный спрос — сумма двух линейных функций, то есть ломаная. На одном линейном участке эластичность меняет характер (с эластичного на неэластичный) не больше одного раза. По условию выручка дважды растёт и дважды падает, значит у ломаной два участка, и излом — при цене 8: выше 8 покупает только первая группа, ниже — обе.
Верхний участок. Выручка перестаёт расти при $Q = 10$ — это середина линейного спроса первой группы. Значит, её максимальная величина спроса равна 20, а спрос симметричен относительно середины: $Q_1 = 20 - P$ (при $Q = 10$ цена 10, выручка максимальна; при $P = 8$ покупают 12 единиц).
Нижний участок ($P \le 8$). Максимальный рыночный спрос 36, а выручка максимальна при $P = 6$ — это середина нижнего участка, продолжённого до оси цен: он пересекает ось цен при $P = 12$. Значит, на нижнем участке $Q = 36 - 3P$ (проверка: $P = 12$ даёт 0, $P = 0$ даёт 36).
Спрос второй группы — разность: $Q_2 = (36 - 3P) - (20 - P) = 16 - 2P$, обращается в ноль как раз при $P = 8$ — точка излома согласована.
Ответ: $Q_1 = 20 - P$, $Q_2 = 16 - 2P$.
Критерии оценивания
Интерпретация условия в терминах эластичности спроса — 3 б.; идея, что $P = 8$ — точка излома кривой рыночного спроса — 2 б.; идея, что точки $Q = 10$ и точка с ценой 6 — две точки единичной эластичности — 2 б.; итоговое восстановление двух функций — 6 б. (по 3 б. за функцию). Допустимо решение без понятия эластичности (с параметрами функций), но ключевая догадка — цена 8 в точке излома.
Рыболовецкое хозяйство
9–11 кл. · 13 баллов Рыболовецкое хозяйство использует единственный переменный фактор — труд. Производственная функция $Q = 20\sqrt{L}$, где $Q$ — выпуск, $L$ — число работников. Фирма — совершенный конкурент и на рынке продукта, и на рынке труда; цена продукта 20 д.е., зарплата 5 д.е.
а) Какой объём труда наймёт фирма, каковы выпуск и прибыль?
Государство стимулирует наём двумя способами: (i) выплачивать фирме 1 д.е. за каждого нанятого работника; (ii) выплачивать фирме $s$ д.е. за каждую произведённую единицу продукции.
б) Объясните, почему мера (ii) тоже побуждает нанимать больше работников.
в) Сколько работников наймёт фирма при мере (i)?
г) Какой должна быть ставка $s$ при мере (ii), чтобы оба варианта дали одинаковое увеличение занятости относительно п. а)?
д) При найденной $s$ какая мера потребует меньших расходов государства на субсидию?
Решение
а) Прибыль $\pi = 20\cdot 20\sqrt{L} - 5L = 400\sqrt{L} - 5L$. Это парабола по $\sqrt{L}$ ветвями вниз (или $\pi' = 200/\sqrt{L} - 5$ убывает), максимум при $\sqrt{L} = 40$: $L = 1600$, $Q = 20\cdot 40 = 800$, $\pi = 16\,000 - 8000 = 8000$.
б) Субсидия на единицу продукции повышает доход фирмы с каждой единицы выпуска до $20 + s$, ей выгодно выпускать больше. Выпуск растёт только за счёт труда — единственного переменного фактора, поэтому занятость тоже растёт.
в) Мера (i): фактическая плата за работника $5 - 1 = 4$. Условие $200/\sqrt{L} = 4$: $\sqrt{L} = 50$, $L = 2500$ — на 900 работников больше.
г) Мера (ii): $\pi = (20 + s)\cdot 20\sqrt{L} - 5L$, оптимум $\sqrt{L} = 2(20 + s)$. Чтобы $L = 2500$ ($\sqrt{L} = 50$): $20 + s = 25$, $s = 5$.
д) Мера (i): $1\cdot 2500 = 2500$ д.е. Мера (ii): $s\cdot Q = 5\cdot 20\cdot 50 = 5000$ д.е. Мера (i) вдвое дешевле для государства.
Критерии оценивания
а) (3 б.): постановка задачи максимизации прибыли, нахождение оптимального $L$, выпуска и прибыли.
б) (2 б.): объяснение, что мера (ii) повышает выпуск, а через единственный переменный фактор — занятость.
в) (3 б.): пересчёт эффективной зарплаты ($5 - 1$) и новый оптимум $L$.
г) (3 б.): постановка задачи при мере (ii) и подбор ставки $s$, дающей ту же занятость, что и мера (i).
д) (2 б.): сравнение расходов на субсидию — вторая мера вдвое дороже, первая дешевле. Примечание: оптимум в каждом пункте можно находить и без производной (парабола по $\sqrt L$).
Тарифы сотового оператора
9–11 кл. · 13 баллов Оператор X предлагает три тарифа. Тариф I: абонентской платы нет, цена 3 руб./мин, минуты с 1-й по 100-ю бесплатно. Тариф II: 75 руб./мес, 1,5 руб./мин. Тариф III: 525 руб./мес, 0,75 руб./мин, минуты с 1-й по 200-ю бесплатно.
а) Вы планируете говорить $t$ минут в месяц и хотите минимальные расходы. При каких $t$ Тариф II предпочтительнее остальных?
б) Оператор Y предлагает тариф: 1 руб./мин, абонентская плата $A$ руб./мес. Вы не знаете точно $t$, но уверены, что $300 \le t \le 500$. Вы подключаетесь к Y. Вы будете сожалеть о выборе, если фактические расходы окажутся больше, чем при каком-то тарифе оператора X на то же число минут. При каких $A$ вы не будете сожалеть независимо от $t$?
Решение
а) Расходы при тарифах (для $t$ минут): Тариф II: $75 + 1{,}5t$. Тариф I: $3\max(t - 100, 0)$, при $t > 100$ равно $3(t - 100) = 3t - 300$. Тариф III: $525 + 0{,}75\max(t - 200, 0)$.
II выгоднее I: $75 + 1{,}5t < 3t - 300 \Rightarrow t > 250$. II выгоднее III: при $t > 250 > 200$ Тариф III $= 525 + 0{,}75(t - 200) = 375 + 0{,}75t$; неравенство $75 + 1{,}5t < 375 + 0{,}75t \Rightarrow t < 400$. Итак, Тариф II выгоднее других при $250 < t < 400$.
б) Расходы у Y: $A + t$. Не сожалеем, если $A + t \le$ (лучший тариф X при данном $t$). Из п. а) при $t \le 400$ лучший — Тариф II, при $t \ge 400$ — Тариф III. Нужно одновременно: (1) $A + t \le 75 + 1{,}5t$ для всех $t \in [300; 400]$; (2) $A + t \le 375 + 0{,}75t$ для всех $t \in [400; 500]$.
(1): $A \le 75 + 0{,}5t$, правая часть растёт по $t$, минимум при $t = 300$: $A \le 225$.
(2): $A \le 375 - 0{,}25t$, правая часть убывает по $t$, минимум при $t = 500$: $A \le 250$.
Оба условия выполнены при $A \le 225$. Ответ: а) $250 < t < 400$; б) $A \le 225$.
Критерии оценивания
а) (6 б.): расходы по Тарифу II — 1 б.; по Тарифу I — 1 б.; по Тарифу III — 1 б.; условие II выгоднее I ($t > 250$) — 1 б.; условие II выгоднее III ($t < 400$) — 1 б.; итоговый ответ — 1 б. Допустимо графическое решение (график — 3 б.; точки пересечения — 2 б.; ответ — 1 б.).
б) (7 б.): запись расходов Y и условия отсутствия сожаления — 1 б.; определение лучшего тарифа X по диапазонам $t$ — 1 б.; формулировка двух условий — по 1 б. (2 б.); преобразование условия (1) к $A \le 225$ — 1 б.; условия (2) к $A \le 250$ — 1 б.; итог $A \le 225$ — 1 б. Допустимо сравнение сразу со всеми тремя тарифами (тогда три условия).
Для этого класса задач в архиве нет. Сбросьте фильтр.
