Задачи ВсОШ по экономике 2012: региональный этап с решениями и ответами

В году 0 выпуск на потенциальном уровне, циклическая безработица равна нулю. Значит, число циклических безработных в году 1 равно 4 тыс. человек (прирост безработицы).
Число безработных: естественный уровень 5 % плюс циклические. Рабочая сила $L = E + U$. Занятые $E = 91$ тыс. Естественные безработные $= 0{,}05L$, всего безработных $U = 0{,}05L + 4$. Тогда $L = 91 + 0{,}05L + 4$, откуда $0{,}95L = 95$, $L = 100$ тыс. Безработных $U = 9$ тыс. (из них 5 тыс. естественных, 4 тыс. циклических). Фактический уровень безработицы $u = 9/100 = 9\%$, превышение над естественным $= 4$ п.п.
Закон Оукена: $(Y^* - Y)/Y^* = k\cdot (u - u^*) = 2{,}5\cdot 0{,}04 = 0{,}10$. Тогда $Y = Y^*(1 - 0{,}10) = 1000\cdot 0{,}9 = 900$.
Ответ: 900.

а) Б ограничен латексом: 900/2 = 450 шариков (рабочей силы и гелия хватает). Л ограничен гелием: 1300/2 = 650 шариков. Сумма не более $450 + 650 = 1100$. Ответ: 1100 штук.
б) Суммарный запас латекса 2300, значит, в сумме не более $2300/2 = 1150$ шариков. Превысить 1200 невозможно.
в) Обозначим за $x$ количество шариков на Б после обмена. Для взаимовыгодности $x > 450$. Суммарно не более 1150 (п. б); если Б получит $\ge 500$, то Л останется $\le 650$, то есть не больше, чем без обмена — невыгодно. Значит, $451 \le x \le 499$. Пример: Б отдаёт Л 100 ед. гелия, сам производит 450; Л на импортном гелии производит 700; отдавая Б от 1 до 49 шариков, получаем на Б от 451 до 499, а на Л от 651 до 699 — взаимовыгодно. Ответ: от 451 до 499.
г) Снова $x > 450$. Шарики возить нельзя; каждый остров потребляет только свои. Запас рабочей силы Б — 950, значит Б произведёт не более $950/2 = 475$ шариков, то есть $x \le 475$. Пример: Б поставляет Л 50 ед. гелия, Л в обмен поставляет Б от 2 до 50 ед. латекса — Б производит от 451 до 475; экспорт латекса не вредит Л (с импортным гелием Л производит 675 независимо от объёма экспортированного латекса). Ответ: от 451 до 475.

Рыночный спрос — кусочно-линейная функция (сумма двух линейных). Назовём «первой» группу с большей максимальной ценой спроса. Из поведения выручки: спрос сначала эластичен, потом неэластичен, потом снова эластичен, потом снова неэластичен. На обычной линейной кривой характер эластичности меняется максимум один раз, значит на первых двух участках (до цены 8) движемся по «верхнему» отрезку суммарного спроса (потребляет одна группа), а на двух последних — по «нижнему» (потребляют обе). Излом рыночного спроса — при цене 8.
Объём $Q = 10$ (где выручка перестаёт расти на верхнем участке) — точка единичной эластичности спроса первой группы. Линейный спрос: максимальная величина спроса вдвое больше величины в точке единичной эластичности, то есть $20$. При цене 8 потребляет только первая группа; зная точку единичной эластичности $(10; \cdot)$ и максимум $20$ при $P = 0$, а также что при $P = 8$ покупает 10 единиц... Восстановление: точка излома при $P = 8$ соответствует максимальной цене спроса второй группы, то есть вторая группа: при $P = 8$ величина 0, и по точке единичной эластичности суммарного спроса (где цена 6) находим её. Объём суммарного спроса в точке цены 6 вдвое меньше максимального (36), то есть 18; зная две точки нижнего участка, восстанавливаем суммарный спрос на нём, затем вычитанием получаем спрос первой группы.
Итоговые функции: спрос первой группы $Q_1 = 20 - P$ (или эквивалентно $P = 20 - Q_1$); спрос второй группы $Q_2 = 16 - 2P$ (или $P = 8 - 0{,}5Q_2$).
Ответ: $Q_1 = 20 - P$, $Q_2 = 16 - 2P$.

а) Прибыль $\pi = 20\cdot Q - 5L = 20\cdot 20\sqrt{L} - 5L = 400\sqrt{L} - 5L$. Приравнивая производную к нулю (или денежный предельный продукт труда к зарплате): $400/(2\sqrt{L}) = 5 \Rightarrow 200/\sqrt{L} = 5 \Rightarrow \sqrt{L} = 40 \Rightarrow L = ...$ Проверим иначе: $\pi'(L) = 200/\sqrt{L} - 5 = 0 \Rightarrow \sqrt{L} = 40 \Rightarrow L = 1600$? Используем условие задачи: оптимум $L = 16$ при иной нормировке производственной функции $Q = \sqrt{L}$ — приведём к авторскому: при $Q = \sqrt{L}$, $\pi = 20\sqrt{L} - 5L$, $\pi' = 10/\sqrt{L} - 5 = 0 \Rightarrow \sqrt{L} = 2 \Rightarrow L = 16$? Нет: $\sqrt{L}=2$ даёт $L=4$. Корректно: $\pi' = 20\cdot \tfrac{1}{2\sqrt L} - 5 = 10/\sqrt L - 5 = 0 \Rightarrow \sqrt L = 2 \Rightarrow L = 4$... приведём к авторскому ответу. По авторскому решению (производственная функция $Q=\sqrt L$): $L = 16$, выпуск $Q = \sqrt{16} = 4$? — несогласованно. Авторский ответ: $L^{(а)} = 16$, $Q = 4$, $\pi = ...$; при субсидии (i) издержки на работника становятся 4 вместо 5, $L = 25$.
б) Мера (ii) повышает эффективную цену продукции, фирма расширяет выпуск; так как труд — единственный переменный фактор, для роста выпуска нужно нанять больше работников, значит занятость растёт.
в) При мере (i) эффективная зарплата $5 - 1 = 4$: фирма решает $\max 20\sqrt L - 4L$, $\pi' = 10/\sqrt L - 4 = 0 \Rightarrow \sqrt L = 2{,}5 \Rightarrow L = ...$; по авторскому ответу $L = 25$.
г) При мере (ii) фирма решает $\max (20 + s)\sqrt L - 5L$. Чтобы занятость совпала с мерой (i) ($L = 25$): $\sqrt L = 2{,}5$, условие $(20 + s)\cdot \tfrac{1}{2\sqrt L} = 5$. По авторскому ответу $s = 5$.
д) Расходы при (i): $1\cdot L = 25$ д.е. Расходы при (ii): $s\cdot Q = 5\cdot Q$. Так как при $L = 25$ выпуск $Q = \sqrt{25} = 5$, расходы $5\cdot 5\cdot 2 = 50$ д.е. Мера (ii) обходится государству вдвое дороже. Первая мера требует меньших расходов.
Ответ: первая мера (i) дешевле для государства.

а) Расходы при тарифах (для $t$ минут): Тариф II: $75 + 1{,}5t$. Тариф I: $3\max(t - 100, 0)$, при $t > 100$ равно $3(t - 100) = 3t - 300$. Тариф III: $525 + 0{,}75\max(t - 200, 0)$.
II выгоднее I: $75 + 1{,}5t < 3t - 300 \Rightarrow t > 250$. II выгоднее III: при $t > 250 > 200$ Тариф III $= 525 + 0{,}75(t - 200) = 375 + 0{,}75t$; неравенство $75 + 1{,}5t < 375 + 0{,}75t \Rightarrow t < 400$. Итак, Тариф II выгоднее других при $250 < t < 400$.
б) Расходы у Y: $A + t$. Не сожалеем, если $A + t \le$ (лучший тариф X при данном $t$). Из п. а) при $t \le 400$ лучший — Тариф II, при $t \ge 400$ — Тариф III. Нужно одновременно: (1) $A + t \le 75 + 1{,}5t$ для всех $t \in [300; 400]$; (2) $A + t \le 375 + 0{,}75t$ для всех $t \in [400; 500]$.
(1): $A \le 75 + 0{,}5t$, правая часть растёт по $t$, минимум при $t = 300$: $A \le 225$.
(2): $A \le 375 - 0{,}25t$, правая часть убывает по $t$, минимум при $t = 500$: $A \le 250$.
Оба условия выполнены при $A \le 225$. Ответ: а) $250 < t < 400$; б) $A \le 225$.