Задачи ВсОШ по экономике 2020: региональный этап с решениями и ответами

а) В долгосрочном равновесии $\Delta Y = 0$, то есть $I = 30$. По расходам: $Y = C + I + G = (0{,}6Y + 10) + 30 + 60 \Rightarrow Y^* = 250$.
Ответ: $Y^* = 250$.

б) Стимулирующая политика ⇒ госзакупки растут на 10%, то есть на 6 (до 66). $Y = (0{,}6Y + 10) + 30 + 66 \Rightarrow Y^{**} = 265$. Через мультипликатор: $\Delta Y = \Delta G\cdot\frac{1}{1 - mpc} = 6\cdot\frac{1}{1 - 0{,}6} = 15$, $Y^{**} = 250 + 15 = 265$.
Ответ: $Y^{**} = 265$.

в) Применим формулу ВВП по расходам в 2020 без предположения о стабильности:
$Y_{20} = (0{,}6Y_{20} + 10) + (30 + 0{,}15(Y_{20} - Y_{19})) + 66 \Rightarrow Y_{20} = 424 - 0{,}6Y_{19}$.
При $Y_{19} = Y^* = 250$: $Y_{20} = 424 - 150 = 274$.
Ответ: $Y_{20} = 274$.
Примечание: $Y_{20} > Y^{**}$ — краткосрочный эффект сильнее долгосрочного из-за оптимизма инвесторов; со временем колебания затухают, инвестиции возвращаются к 30.

а) Без налога: $20 - P = P/3 \Rightarrow P = 15$. При налоге $t$ новая цена потребителей $P_D$: $20 - P_D = (P_D - t)/3$. Требуется $P_D = 15\cdot 1{,}2 = 18$, тогда $20 - 18 = (18 - t)/3 \Rightarrow t = 12$.
Ответ: $t = 12$.

б) Сборы $T = tQ$. До налога $Q_0 = 20 - 15 = 5$, благосостояние $0{,}5Q_0^2 + 1{,}5Q_0^2 + 0 - aQ_0^2 = 50 - 25a$. После налога $Q_1 = 20 - 18 = 2$, благосостояние $0{,}5Q_1^2 + 1{,}5Q_1^2 + tQ_1 - aQ_1^2 = 8 + 24 - 4a = 32 - 4a$. Падение на 20%: $32 - 4a = 0{,}8(50 - 25a) \Rightarrow a = 0{,}5$.
Ответ: $a = 1/2$.

в) Чтобы получить объём $Q$, нужна ставка $t(Q) = P_D(Q) - P_S(Q) = (20 - Q) - 3Q = 20 - 4Q$. Сборы $Q(20 - 4Q)$. Благосостояние $W(Q) = 0{,}5Q^2 + 1{,}5Q^2 + Q(20 - 4Q) - aQ^2 = 20Q - 2{,}5Q^2$ (при $a = 0{,}5$) — парабола ветвями вниз, максимум при $Q^* = 20/5 = 4$. Реализующая ставка $t(4) = 20 - 16 = 4$.
Ответ: $t^* = 4$.
Примечание: $MSC > MPC$ ($4Q > 3Q$), корректирующий налог максимизирует благосостояние, снижая выпуск с 5 до 4. Налог Греты ($t = 12$) слишком высок — сокращает выпуск до 2, благосостояние падает даже относительно исходной ситуации.

а) Каждый житель A производит 0,5 кг помидоров и 0,5 кг огурцов ⇒ 0,5 порции. Всего в регионе 3000 кг каждого овоща (6000 кг салата). КПВ региона: $T + C = 6000$.
Ответ: 0,5 порции.

б) Пусть $n_T, n_C$ — работники на помидорах и огурцах: $T = 0{,}8n_T$, $C = kn_C$, $n_T + n_C = 1000$. КПВ: $T/0{,}8 + C/k = 1000$. Приравнивая $T = C$: $T = C = 1000k/(1{,}25k + 1)$. На жителя — $k/(1{,}25k + 1)$ порции.
Ответ: $k/(1{,}25k + 1)$ порции.

в) Альтернативная стоимость 1 кг помидоров: в A — 1 кг огурцов, в B — $1{,}25k$ кг огурцов. Вид суммарной КПВ зависит от того, $k \le 0{,}8$ или $k > 0{,}8$.
Случай $k \le 0{,}8$: луч $T = C$ пересекает нижний участок КПВ $C = 6800 - T$ ⇒ $T = C = 3400$.
Случай $k > 0{,}8$: луч пересекает верхний участок $C = 6000 + 1000k - T$ ⇒ $T = C = 3000 + 500k$.
Итог: $S = T = C = 3400$ при $k \le 0{,}8$; $S = 3000 + 500k$ при $k \in (0{,}8; 6]$.

г) Потребление на жителя при планировании $S/7000$: $34/70$ при $k \le 0{,}8$; $(6+k)/14$ при $k > 0{,}8$. Так как $34/70 < 35/70 = 0{,}5$, при $k \le 0{,}8$ жители A проигрывают. При $k > 0{,}8$ — если $(6+k)/14 < 0{,}5$, т.е. $k < 1$. Итог: жители A проигрывают при $k \in (0; 1)$.

д) При $k \le 0{,}8$ жители B проигрывают, если $34/70 < k/(1{,}25k + 1)$, т.е. $68 < 55k$ — невозможно при $k \le 0{,}8$, значит не проигрывают. При $k \in (0{,}8; 6]$: $(6+k)/14 < k/(1{,}25k + 1)$ ⇒ $5k^2 - 22k + 24 < 0$. Корни $k = 2$ и $k = 12/5 = 2{,}4$. Так как $2{,}4 < 6$, ответ: жители B проигрывают при $k \in (2; 2{,}4)$.
Примечание: при свободной торговле никому не стало бы хуже; при «уравниловке» же любой регион может пострадать, даже если суммарное производство растёт. При $k > 6$ ни один регион не проигрывает, поэтому ответы г) и д) верны и для всех $k > 0$.

Используется формула для двух групп: $G = p - s$, где $p$ — доля более бедной группы в населении, $s$ — её доля в суммарном доходе (выводить не требуется).
а) Бедные среди {бедные + средний класс}: доля в населении $0{,}4/(0{,}4+0{,}2) = 2/3$, доля в доходе $0{,}1/(0{,}1+0{,}2) = 1/3$. $G = 2/3 - 1/3 = 1/3$.
Ответ: $1/3$.

б) Богатые: 40% населения и 70% дохода всей страны. Среди {средний класс + богатые} более бедная группа — средний класс: доля в населении $0{,}2/(0{,}4+0{,}2) = 1/3$, доля в доходе $0{,}2/(0{,}7+0{,}2) = 2/9$. $G = 1/3 - 2/9 = 1/9$.
Ответ: $1/9$.

в) Считаем коэффициенты Джини всей страны после вмешательства.
Первый вариант: бедные и средний класс сливаются в единую более бедную группу — 60% населения, 30% дохода: $G_1 = (0{,}4+0{,}2) - (0{,}1+0{,}2) = 0{,}3$.
Второй вариант: бедные (более бедная группа) — 40% населения, 10% дохода: $G_2 = 0{,}4 - 0{,}1 = 0{,}3$.
Значит, варианты равнозначны.
Примечание: то, что Джини между бедными и средним классом ($1/3$) больше, чем между средним классом и богатыми ($1/9$), наталкивает на мысль, что первый вариант предпочтительнее — но пункт в) показывает, что это не обязательно так.

а) Функция прибыли $\pi = (30 - P_A)P_A + (10 - P_B)P_B$ — сумма двух независимых парабол ветвями вниз; максимум достигается, когда максимальна каждая. Это происходит при $P_A^* = 15$ и $P_B^* = 5$.
Ответ: $P_A^* = 15$, $P_B^* = 5$.

б) В пункте а) цена в стране A выше, поэтому прежним способом максимизировать прибыль фирма не сможет. Она назначит одинаковые цены на обоих рынках, то есть столкнётся с общей функцией спроса:
$Q = 30 - P$ при $10 \le P \le 30$; $Q = 40 - 2P$ при $0 \le P \le 10$.
Прибыль: $\pi = (30 - P)P$ при $10 \le P \le 30$; $\pi = (40 - 2P)P$ при $0 \le P \le 10$.
На первом участке фирма работает только на рынке A: как и в а), оптимум $P = 15$, прибыль 225.
На втором участке ($P \le 10$) обслуживаются оба рынка. Парабола $(40 - 2P)P$ ветвями вниз, максимум в точке $P = 10$, прибыль 200 — меньше 225. При такой цене на рынке B продаж нет, а на рынке A прибыль не максимальна.
Следовательно, цена в обеих странах будет 15. Цена в стране A не изменится — президент своей цели не добьётся.
Примечание: цена в стране B может быть и выше 15 (это не нарушает правило $P_A \le P_B$), но не имеет значения, так как спроса и выручки в B всё равно нет.