Задачи ВсОШ по экономике 2024: региональный этап с решениями и ответами

а) Из состава комплекта $y = 5x$ в каждой стране. Подставляем в КПВ:
Линея: $5x_1 = 280 - 2x_1 \Rightarrow 7x_1 = 280 \Rightarrow x_1^* = 40$ — 40 комплектов.
Квадратия: $5x_2 = 252 - x_2^2/7 \Rightarrow x_2^2/7 + 5x_2 - 252 = 0$. Положительный корень: $x_2 = \dfrac{-5 + \sqrt{25 + 4\cdot 252/7}}{2/7} = \dfrac{-5 + \sqrt{169}}{2/7} = \dfrac{8}{2/7} = 28$ — 28 комплектов.
Суммарно $40 + 28 = 68$ комплектов.
Ответ: 68 комплектов.

б) Способ 1 (без сложения КПВ). Система ограничений с условием комплектности ($y_1 + y_2 = 5(x_1 + x_2)$):
$5(x_1 + x_2) = (280 - 2x_1) + (252 - x_2^2/7)$, откуда $x_1 = -\dfrac{1}{49}x_2^2 - \dfrac{5}{7}x_2 + 76$.
Число комплектов равно объёму X: $x_1 + x_2 = -\dfrac{1}{49}x_2^2 + \dfrac{2}{7}x_2 + 76$ — парабола ветвями вниз, максимум при $x_2 = \dfrac{-2/7}{-2/49} = 7$. Тогда $x_1 = -\dfrac{1}{49}\cdot 49 - \dfrac{5}{7}\cdot 7 + 76 = 70$.
Оба объёма меньше страновых максимумов, точки лежат на КПВ. Суммарно $70 + 7 = 77$ комплектов — на 9 больше, чем в п. а).

Способ 2 (суммарная КПВ). Альтернативная стоимость X в Линее всегда равна 2, в Квадратии переменна и равна $\tfrac{2}{7}x_2$. При $x_2 < 7$ дешевле производить X в Квадратии, при больших — переключаемся на Линею, в Квадратию возвращаемся, когда возможности Линеи исчерпаны. Это даёт суммарную КПВ из трёх участков; её пересечение с лучом $Y = 5X$ даёт ту же точку.

Ответ: 77 комплектов, на 9 больше, чем в пункте а).

а) Достаточно предъявить прибыльную цепочку обменов Р→Т→С→Р:
1. 1000 руб меняем на тенге по курсу «Р на Т»: $1000/0{,}2 = 5000$ тенге.
2. 5000 тенге меняем на сомы по курсу «Т на С»: $5000/5 = 1000$ сомов.
3. 1000 сомов меняем на рубли по курсу «С на Р»: $1000/0{,}95 \approx 1052{,}63$ руб.
Поскольку $1000/0{,}95 > 1000$, Вася получает прибыль. (Повторяя цепочку, можно увеличить прибыль; для полного балла достаточно однократного примера.)

б) Существует 4 цепочки обогащения, начинающиеся и заканчивающиеся в рублях: 1) Р–С–Р, 2) Р–Т–Р, 3) Р–С–Т–Р, 4) Р–Т–С–Р. Для отсутствия арбитража каждая из них не должна давать прибыль. Записывая для каждого рубля итоговую сумму в рублях и требуя, чтобы она была $\le 1$:
1. Р–С–Р: $\dfrac{1}{1{,}1}\cdot\dfrac{1}{a} \le 1 \Rightarrow a \ge \dfrac{10}{11}$.
2. Р–Т–Р: $\dfrac{1}{0{,}2}\cdot\dfrac{1}{b} \le 1 \Rightarrow b \ge 5$.
3. Р–С–Т–Р: $\dfrac{1}{1{,}1}\cdot\dfrac{1}{0{,}25}\cdot\dfrac{1}{b} \le 1 \Rightarrow b \ge \dfrac{40}{11}$.
4. Р–Т–С–Р: $\dfrac{1}{0{,}2}\cdot\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{1}{a} \le 1 \Rightarrow a \ge 1$.
Объединяя все четыре неравенства, получаем итоговое условие отсутствия арбитража.

Ответ: $a \ge 1$, $b \ge 5$.

(Цепочки Т–С–Т и С–Т–С прибыли не приносят; любую более длинную цепочку можно разложить на короткие, поэтому проверки цепочек 1)–4) достаточно. Полученные условия — условия отсутствия арбитража.)

а) Рыночный спрос: при $P \le 44$ покупают обе группы, при $P \in (44; 80]$ — только непенсионеры:
$Q(P) = \begin{cases} 124 - 2P, & P \le 44 \\ 80 - P, & P \in (44; 80] \end{cases}$
Прибыль $\pi(P) = Q(P)\cdot P - 20Q(P) - 500$:
$\pi(P) = \begin{cases} 164P - 2P^2 - 2980, & P \le 44 \\ 100P - P^2 - 2100, & P \in (44; 80] \end{cases}$
Вершины парабол (ветви вниз): на $[0;44]$ — $P=41$ (входит в участок), на $(44;80]$ — $P=50$ (входит). Сравниваем прибыль:
$\pi(41) = (124 - 82)(41 - 20) - 500 = 382$; $\pi(50) = (80 - 50)(50 - 20) - 500 = 400$.
Поскольку $400 > 382$, оптимальна цена $P^* = 50$ — при ней пенсионеры не пользуются услугами компании.
Ответ: $P^* = 50$.

б) Фирма готова платить за офис не больше прироста прибыли от назначения двух цен вместо одной. Пусть $P_1$ — цена для пенсионеров, $P_2$ — для непенсионеров:
$\pi(P_1,P_2) = (44 - P_1)(P_1 - 20) + (80 - P_2)(P_2 - 20) - 500$.
Функция распадается на два слагаемых, каждое максимизируется в вершине своей параболы: $P_1^* = 32$, $P_2^* = 50$.
Максимальная прибыль (без аренды): $\pi(32,50) = (44-32)(32-20) + (80-50)(50-20) - 500 = 544$.
Поскольку цена для непенсионеров та же, что в п. а), прирост даёт только обслуживание пенсионеров: $R_{\max} = 544 - 400 = 144$.
Ответ: $R_{\max} = 144$.

в) Спрос пенсионеров прежний, оптимум для них $P_1^* = 32$. Для непенсионеров новый спрос $Q = 90 - P$: максимизируем $(90 - P)(P - 20)$, вершина $P_2^* = 55$. Прибыль при открытии офиса:
$\pi = 144 + (90 - 55)(55 - 20) - 500 = 144 + 1225 - 500 = 869$.
Отсюда $R_{\max} = 869 - 400 = 469$.
Ответ: $R_{\max} = 469$.

(Задача основана на реальной практике: «Ижавиа» предлагает тариф «Социальный» с оформлением только в офисе.)