Выгода от сотрудничества
9–11 кл. · 20 баллов В странах Линея и Квадратия могут производиться товары X и Y. КПВ страны Линея имеет вид $y_1 = 280 - 2x_1$. КПВ страны Квадратия имеет вид $y_2 = 252 - x_2^2/7$. В обеих странах товары потребляют только в комплектах. Один комплект состоит из одной единицы товара X и пяти единиц товара Y.
а) (5 баллов) Допустим, страны никак не взаимодействуют друг с другом. Найдите максимально возможное суммарное потребление комплектов в двух странах.
б) (15 баллов) Теперь допустим, что страны могут сотрудничать, то есть договориться о совместной стратегии производства. Найдите максимальное возможное суммарное потребление комплектов в двух странах. На сколько комплектов оно больше, чем в пункте а)? (Подсказка: пункт б) можно решить как с помощью нахождения суммарной КПВ, так и без него.)
Решение
а) Из состава комплекта $y = 5x$ в каждой стране. Подставляем в КПВ:
Линея: $5x_1 = 280 - 2x_1 \Rightarrow 7x_1 = 280 \Rightarrow x_1^* = 40$ — 40 комплектов.
Квадратия: $5x_2 = 252 - x_2^2/7 \Rightarrow x_2^2/7 + 5x_2 - 252 = 0$. Положительный корень: $x_2 = \dfrac{-5 + \sqrt{25 + 4\cdot 252/7}}{2/7} = \dfrac{-5 + \sqrt{169}}{2/7} = \dfrac{8}{2/7} = 28$ — 28 комплектов.
Суммарно $40 + 28 = 68$ комплектов.
Ответ: 68 комплектов.
б) Способ 1 (без сложения КПВ). Система ограничений с условием комплектности ($y_1 + y_2 = 5(x_1 + x_2)$):
$5(x_1 + x_2) = (280 - 2x_1) + (252 - x_2^2/7)$, откуда $x_1 = -\dfrac{1}{49}x_2^2 - \dfrac{5}{7}x_2 + 76$.
Число комплектов равно объёму X: $x_1 + x_2 = -\dfrac{1}{49}x_2^2 + \dfrac{2}{7}x_2 + 76$ — парабола ветвями вниз, максимум при $x_2 = \dfrac{-2/7}{-2/49} = 7$. Тогда $x_1 = -\dfrac{1}{49}\cdot 49 - \dfrac{5}{7}\cdot 7 + 76 = 70$.
Оба объёма меньше страновых максимумов, точки лежат на КПВ. Суммарно $70 + 7 = 77$ комплектов — на 9 больше, чем в п. а).
Способ 2 (суммарная КПВ). Альтернативная стоимость X в Линее всегда равна 2, в Квадратии переменна и равна $\tfrac{2}{7}x_2$. При $x_2 < 7$ дешевле производить X в Квадратии, при больших — переключаемся на Линею, в Квадратию возвращаемся, когда возможности Линеи исчерпаны. Это даёт суммарную КПВ из трёх участков; её пересечение с лучом $Y = 5X$ даёт ту же точку.
Ответ: 77 комплектов, на 9 больше, чем в пункте а).
Критерии оценивания
За отсутствие указания на направление ветвей парабол баллы не снижаются. За каждую арифметическую ошибку снимается 1 балл.
а) Всего 5 баллов: по 2 балла — за число комплектов в каждой стране; 1 балл — за суммарное количество.
б) Всего 15 баллов (разбалловка зависит от способа).
Способ 1: корректная запись системы ограничений, допускающая преобразование к максимизируемой функции — 3 балла; преобразование к функции одной переменной ($x_1+x_2$ или $y_1+y_2$) — 5 баллов; максимизация и определение оптимального значения переменной — 4 балла; нахождение производства в другой стране и суммарного количества комплектов — 2 балла; подсчёт изменения числа комплектов — 1 балл.
Способ 2: наблюдение о разнонаправленных альтернативных стоимостях и порядке специализации — 4 балла (или 2 балла за более общую мысль о неполной специализации; при построении суммарной КПВ через задачу максимизации $Y$ при данном $X$ — по 1 баллу за постановку и за верное решение на каждом из участков); построение суммарной КПВ — по 2 балла за каждый из трёх участков; нахождение точки пересечения КПВ с лучом комплектности и проверка принадлежности нужному участку — 2 балла (1 балл, если точка не на КПВ); подсчёт изменения числа комплектов — 1 балл.
Курсы трёх валют
9–11 кл. · 20 баллов Банк «Жартибра» производит обменные операции с тремя валютами — российским рублём (Р), казахстанским тенге (Т) и кыргызстанским сомом (С). Обменные курсы зависят от того, покупает ли у вас банк определённую валюту или продаёт её. Таблица обменных курсов:
| Обмен | Р на С | С на Р | Р на Т | Т на Р | Т на С | С на Т |
|---|
| Курс | $1{,}1$ руб/сом | $a$ сом/руб | $0{,}2$ руб/тен | $b$ тен/руб | $5$ тен/сом | $0{,}25$ сом/тен |
Обмен «Р на С» означает, что вы отдаёте банку рубли, а банк выдаёт вам сомы (остальные обозначения аналогичны). Все валюты считаются бесконечно делимыми.
а) (6 баллов) Пусть $a = 0{,}95$, $b = 5{,}1$. У Васи изначально есть 1 тыс. руб. Докажите, что Вася может, проводя обменные операции с банком по курсам из таблицы, получить положительную прибыль в рублях.
б) (14 баллов) При каких положительных значениях $a$ и $b$ Вася не сможет, проводя обменные операции с банком по курсам из таблицы, получить положительную прибыль в рублях?
Решение
а) Достаточно предъявить прибыльную цепочку обменов Р→Т→С→Р:
1. 1000 руб меняем на тенге по курсу «Р на Т»: $1000/0{,}2 = 5000$ тенге.
2. 5000 тенге меняем на сомы по курсу «Т на С»: $5000/5 = 1000$ сомов.
3. 1000 сомов меняем на рубли по курсу «С на Р»: $1000/0{,}95 \approx 1052{,}63$ руб.
Поскольку $1000/0{,}95 > 1000$, Вася получает прибыль. (Повторяя цепочку, можно увеличить прибыль; для полного балла достаточно однократного примера.)
б) Существует 4 цепочки обогащения, начинающиеся и заканчивающиеся в рублях: 1) Р–С–Р, 2) Р–Т–Р, 3) Р–С–Т–Р, 4) Р–Т–С–Р. Для отсутствия арбитража каждая из них не должна давать прибыль. Записывая для каждого рубля итоговую сумму в рублях и требуя, чтобы она была $\le 1$:
1. Р–С–Р: $\dfrac{1}{1{,}1}\cdot\dfrac{1}{a} \le 1 \Rightarrow a \ge \dfrac{10}{11}$.
2. Р–Т–Р: $\dfrac{1}{0{,}2}\cdot\dfrac{1}{b} \le 1 \Rightarrow b \ge 5$.
3. Р–С–Т–Р: $\dfrac{1}{1{,}1}\cdot\dfrac{1}{0{,}25}\cdot\dfrac{1}{b} \le 1 \Rightarrow b \ge \dfrac{40}{11}$.
4. Р–Т–С–Р: $\dfrac{1}{0{,}2}\cdot\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{1}{a} \le 1 \Rightarrow a \ge 1$.
Объединяя все четыре неравенства, получаем итоговое условие отсутствия арбитража.
Ответ: $a \ge 1$, $b \ge 5$.
(Цепочки Т–С–Т и С–Т–С прибыли не приносят; любую более длинную цепочку можно разложить на короткие, поэтому проверки цепочек 1)–4) достаточно. Полученные условия — условия отсутствия арбитража.)
Критерии оценивания
За каждую арифметическую ошибку снимается 1 балл.
а) Всего 6 баллов: 2 балла — за приведение цепочки Р–Т–С–Р (однократной или многократной); 4 балла — за доказательство её прибыльности (расчёт прибыли). Если участник решает пункт а) через пункт б) (ссылается на то, что значение параметра не удовлетворяет условию из б), то при верно решённом б) за а) ставится полный балл; если б) решён неверно — за а) ставится 2 балла из 6.
б) Всего 14 баллов: по 1 баллу за приведение каждой из четырёх цепочек обогащения (4 балла); по 2 балла за каждое из четырёх неравенств (8 баллов) — если хотя бы одно неравенство строгое (что неверно), снимается 1 балл из этих 8 независимо от числа строгих неравенств; 2 балла за правильный ответ.
Офис для ценовой дискриминации
9–11 кл. · 20 баллов Авиарейсы из города N-ска в Москву осуществляет единственная авиакомпания «N-авиа». Спрос на её услуги предъявляют две группы пассажиров — пенсионеры и непенсионеры. Месячный спрос пенсионеров на авиабилеты описывается уравнением $Q = 44 - P$, а месячный спрос непенсионеров — уравнением $Q = 80 - P$. Месячная функция издержек авиакомпании имеет вид $TC = 20Q + 500$.
Продавать билеты пенсионерам и непенсионерам по разным ценам законом не запрещено, но изначально авиакомпания этого не делает, потому что продаёт билеты только через интернет и не имеет технической возможности проверять наличие пенсионных удостоверений.
а) (10 баллов) Найдите единую цену на билет, которую установит компания в изначальной ситуации.
б) (6 баллов) Авиакомпания может арендовать офис продаж в одном из торговых центров. Продавая билеты в офисе, фирма сможет проверять наличие пенсионных удостоверений и назначать для пенсионеров и непенсионеров разные цены. Определите максимальное значение месячной арендной платы $R_{\max}$, которое компания готова платить за аренду офиса.
в) (4 балла) Допустим, наличие офиса не только позволяет назначать разные цены, но и увеличивает узнаваемость авиакомпании — в случае открытия офиса спрос непенсионеров вырастет до $Q = 90 - P$. Найдите значение $R_{\max}$ в этих условиях.
Решение
а) Рыночный спрос: при $P \le 44$ покупают обе группы, при $P \in (44; 80]$ — только непенсионеры:
$Q(P) = \begin{cases} 124 - 2P, & P \le 44 \\ 80 - P, & P \in (44; 80] \end{cases}$
Прибыль $\pi(P) = Q(P)\cdot P - 20Q(P) - 500$:
$\pi(P) = \begin{cases} 164P - 2P^2 - 2980, & P \le 44 \\ 100P - P^2 - 2100, & P \in (44; 80] \end{cases}$
Вершины парабол (ветви вниз): на $[0;44]$ — $P=41$ (входит в участок), на $(44;80]$ — $P=50$ (входит). Сравниваем прибыль:
$\pi(41) = (124 - 82)(41 - 20) - 500 = 382$; $\pi(50) = (80 - 50)(50 - 20) - 500 = 400$.
Поскольку $400 > 382$, оптимальна цена $P^* = 50$ — при ней пенсионеры не пользуются услугами компании.
Ответ: $P^* = 50$.
б) Фирма готова платить за офис не больше прироста прибыли от назначения двух цен вместо одной. Пусть $P_1$ — цена для пенсионеров, $P_2$ — для непенсионеров:
$\pi(P_1,P_2) = (44 - P_1)(P_1 - 20) + (80 - P_2)(P_2 - 20) - 500$.
Функция распадается на два слагаемых, каждое максимизируется в вершине своей параболы: $P_1^* = 32$, $P_2^* = 50$.
Максимальная прибыль (без аренды): $\pi(32,50) = (44-32)(32-20) + (80-50)(50-20) - 500 = 544$.
Поскольку цена для непенсионеров та же, что в п. а), прирост даёт только обслуживание пенсионеров: $R_{\max} = 544 - 400 = 144$.
Ответ: $R_{\max} = 144$.
в) Спрос пенсионеров прежний, оптимум для них $P_1^* = 32$. Для непенсионеров новый спрос $Q = 90 - P$: максимизируем $(90 - P)(P - 20)$, вершина $P_2^* = 55$. Прибыль при открытии офиса:
$\pi = 144 + (90 - 55)(55 - 20) - 500 = 144 + 1225 - 500 = 869$.
Отсюда $R_{\max} = 869 - 400 = 469$.
Ответ: $R_{\max} = 469$.
(Задача основана на реальной практике: «Ижавиа» предлагает тариф «Социальный» с оформлением только в офисе.)
Критерии оценивания
Все части можно решать максимизацией по $P$ или по $Q$. За отсутствие указания на направление ветвей парабол баллы не снижаются. За каждую арифметическую ошибку снимается 1 балл.
а) Всего 10 баллов: нахождение функции рыночного спроса — 2; составление функции прибыли — 2; нахождение первого локального максимума — 2; нахождение второго локального максимума — 2; сравнение значений прибыли в двух точках и нахождение глобального максимума — 2.
б) Всего 6 баллов: нахождение оптимальной цены/количества для пенсионеров — 2; для непенсионеров (достаточно ссылки на п. а) — 1; нахождение максимальной прибыли при открытии офиса — 1; нахождение $R_{\max}$ — 2.
в) Всего 4 балла: нахождение новой оптимальной цены для непенсионеров — 2; нахождение новой общей прибыли фирмы — 1; нахождение $R_{\max}$ — 1.
Для этого класса задач в архиве нет. Сбросьте фильтр.
