Top.Mail.Ru
Задачи ВсОШ по экономике 2016 — региональный этап с решениями и ответами (9–11 класс)
ВсОШ · Региональный этап · Экономика · 2016

Задачи ВсОШ по экономике 2016: региональный этап с решениями и ответами

Полный комплект заданий регионального этапа Всероссийской олимпиады школьников по экономике 2016 года для 9, 10 и 11 классов. К каждой задаче — подробное решение и критерии оценивания жюри. Выберите свой класс в фильтре ниже.

4задачи 2016 года
9–11классы
с разборомрешения и критерии

Закупка и налог

Вмешательство государстваМакроэкономикаСпрос и предложение9–10–11 кл.
В стране Альфа производится и потребляется всего два товара: X и Z, которые продаются и покупаются на рынках совершенной конкуренции. В 2015 году функции спроса и предложения имели вид:
Товар X: $X_D = 10/P_X$, $X_S = 10P_X$.
Товар Z: $Z_D = 40/P_Z$, $Z_S = 10P_Z$.

В 2016 году правительство страны Альфа планирует закупить 15 единиц товара X для своих нужд. Чтобы сохранить прежнее сальдо бюджета, правительство профинансирует эту закупку за счёт потоварного налога, взимаемого с производителей другого товара (Z).

Считайте, что других событий, способных повлиять на спрос и предложение, в 2016 году не произойдёт; рынки X и Z не связаны между собой. При расчёте ВВП игнорируйте все возможные мультипликативные эффекты.
а) (5 баллов) Не проводя расчётов, определите, вызовет ли политика правительства инфляцию или дефляцию в стране Альфа в 2016 году. Аргументируйте ответ.
б) (10 баллов) Какую ставку потоварного налога на производство товара Z следует установить правительству для выполнения задачи?
в) (10 баллов) На сколько процентов и в каком направлении изменится реальный ВВП страны Альфа? Считайте базовым 2015 год.
г) (5 баллов) Чему будет равен индекс потребительских цен (ИПЦ) в стране Альфа в 2016 году? Примите индекс 2015 года за единицу.

Решение

а) Из-за госзакупок вырастет спрос на товар X и, следовательно, его равновесная цена. На рынке Z из-за введения налога тоже вырастет равновесная цена для потребителей. Так как цены всех товаров растут, политика приведёт к инфляции.

б) Новый спрос на X: $X_D = 10/P_X + 15$. Новое равновесие: $10/P_X + 15 = 10P_X$, откуда $P_X^{2016} = 2$, $X^{2016} = 20$. На закупку 15 ед. X по цене 2 требуется $15 \cdot 2 = 30$ денежных единиц. С налогом $t$ предложение Z: $Z_S = 10(P_Z - t)$. Система: $40/P_Z = 10(P_Z - t)$ и $(40/P_Z)\cdot t = 30$. Решая, $P_Z^{2016} = 4$, $t = 3$. Ставка налога — 3 денежные единицы.

в) Равновесия 2015 года: $10/P_X = 10P_X \Rightarrow P_X = 1$, $X = 10$; $40/P_Z = 10P_Z \Rightarrow P_Z = 2$, $Z = 20$.
Таблица (цена, объём): 2015 — $P_X=1$, $X=10$, $P_Z=2$, $Z=20$; 2016 — $P_X=2$, $X=20$, $P_Z=4$, $Z=10$.
Реальный ВВП 2015 (в ценах 2015): $1\cdot 10 + 2\cdot 20 = 50$.
Реальный ВВП 2016 (в ценах 2015): $1\cdot 20 + 2\cdot 10 = 40$.
Реальный ВВП упадёт на 20 %.

г) ИПЦ $= (P_X^{2016}X^{2015} + P_Z^{2016}Z^{2015})/(P_X^{2015}X^{2015} + P_Z^{2015}Z^{2015}) = (2\cdot 10 + 4\cdot 20)/50 = 2$.

Критерии оценивания

а) (5 б.): рост спроса на X и равновесной цены — 1 б.; рост цены Z как следствие налога — 2 б.; вывод об инфляции — 1 б.; (новая функция спроса учитывается в б) — 1 б.).
б) (10 б.): новая функция спроса на X — 1 б.; новое равновесие на X — 2 б.; расчёт расходов — 1 б.; новая функция $Z_S$ — 1 б.; запись нужных соотношений — 2 б.; нахождение $t = 3$ — 3 б.
в) (10 б.): по 2 б. за каждое из двух равновесий 2015 года; РВВП-2015 — 2 б.; РВВП-2016 — 2 б.; подсчёт процентного изменения и направления — по 1 б.
г) (5 б.): корректная формула ИПЦ — 3 б.; корректный подсчёт — 2 б.

Осторожный Кузьма

Финансы9–10–11 кл.
Депозит до востребования стабильно приносит Кузьме 10 % годовых. Сейчас на его счету 1,5 миллиона рублей. Банк не накладывает ограничений на снятие средств; ставка процента остаётся неизменной.

Кузьма рассматривает вложение в более доходные, но и более рискованные инструменты. Он может купить акции компании-туроператора $A$ или компании $B$, продающей зонтики, а также комбинировать эти варианты. Доходность акций в течение будущего года зависит от погоды (неизвестной заранее): хорошая погода — популярны услуги туроператора $A$; плохая — популярны зонтики компании $B$.

Текущая стоимость и ожидаемая стоимость активов:
Акции $A$: текущая 10 руб./акция; при хорошей погоде 20 руб.; при плохой 6 руб.
Акции $B$: текущая 10 руб./акция; при хорошей погоде 7 руб.; при плохой 14 руб.

Кредит брать нельзя, других способов вложения нет. Обозначим за $a$ и $b$ суммы денег (в млн руб.), вложенные в акции соответствующих компаний, за $d$ — сумму на депозите. Стоимость портфеля — сумма стоимости акций и денег на счёте.
а) (8 баллов) Перед решением Гидрометцентр делает одно из предсказаний: «будет хорошая погода» или «будет плохая погода». Как Кузьма поступит с деньгами в зависимости от прогноза (он безоговорочно верит прогнозу), если хочет максимальную стоимость портфеля через год? Чему равна ожидаемая стоимость в каждом случае?
б) (15 баллов) Кузьма должен принять решение до прогноза. Для каждого распределения он рассчитывает стоимость портфеля при наименее благоприятной погоде, затем выбирает распределение с максимальной такой стоимостью (осторожная стратегия). Как он распределит деньги и чему будет равна стоимость портфеля через год?
в) (7 баллов) Какую максимальную сумму он был бы готов заплатить Гидрометцентру за прогноз погоды до вложения? Оплата производится до предсказания; Кузьма придерживается осторожной стратегии и при выборе распределения, и при решении о покупке прогноза.

Решение

Заметим, что $a + b + d = 1{,}5$. Стоимость портфеля (множители — отношение новой цены к старой; на депозите множитель 1,1):
при хорошей погоде $S_g = 2a + 0{,}7b + 1{,}1d = 1{,}65 + 0{,}9a - 0{,}4b$ (подставив $d = 1{,}5 - a - b$);
при плохой погоде $S_b = 0{,}6a + 1{,}4b + 1{,}1d = 1{,}65 - 0{,}5a + 0{,}3b$.

а) Каждая функция возрастает по одной переменной и убывает по другой. Для максимизации нужно выбрать максимально возможное значение одной (1,5) и минимальное другой (0): вложить все 1,5 млн в акции одной компании, ничего не оставляя на депозите. При хорошем прогнозе — всё в $A$ (ожидаемая стоимость $2\cdot 1{,}5 = 3$ млн руб.); при плохом — всё в $B$ ($1{,}4\cdot 1{,}5 = 2{,}1$ млн руб.).

б) Минимальная стоимость портфеля при $a, b \ge 0$, $a + b \le 1{,}5$. $S_g \ge S_b \Leftrightarrow 2a \ge b$. Зафиксировав $a$: при $2a \le b$ минимум — $S_g$ (убывает по $b$), при $2a \ge b$ минимум — $S_b$ (возрастает по $b$). Решение $b = 2a$ — стоимость одинакова независимо от погоды: $S = 1{,}65 + 0{,}9a - 0{,}4\cdot 2a = 1{,}65 + 0{,}1a$. Возрастает по $a$, поэтому $a$ максимально при $a + 2a \le 1{,}5$, откуда $a = 0{,}5$, $b = 1$, $d = 0$. Стоимость портфеля $S = 1{,}65 + 0{,}1\cdot 0{,}5 = 1{,}7$ млн руб. независимо от погоды. (Покупка акций обеих компаний — диверсификация портфеля / хеджирование рисков, защита от отрицательной корреляции доходностей.)

в) Без оплаты осторожная стратегия даёт 1,7 млн. Покупая прогноз за $X$ при осторожной стратегии, Кузьма исходит из худшего случая (плохой прогноз, меньшая доходность): он вложит в акции $B$ $(1{,}5 - X)$ млн, стоимость в конце $1{,}4(1{,}5 - X)$. Покупка выгодна, если $1{,}4(1{,}5 - X) \ge 1{,}7$, откуда $X \le 2/7$ млн руб.

Критерии оценивания

а) (8 б.): расчёт стоимости портфеля при каждой погоде — по 1 б.; правильный вывод вида погоды с обоснованием — по 3 б.
б) (15 б.): минимальная стоимость портфеля, из них определение условия $2a \ge b$ — 2 б.; вывод $b = 2a$ (стоимость не зависит от погоды) с обоснованием — 6 б.; итоговый ответ о вложении с обоснованием — 4 б.; расчёт стоимости портфеля — 1 б.
в) (7 б.): идея о том, что покупка прогноза должна окупаться в худшем случае — 4 б.; составление неравенства и нахождение $X$ — 3 б. (округление до ближайшего целого баллы не снимает).

Полдники

КПВ9–10–11 кл.
Любимыми лакомствами жителей стран Кабаджленд и Бэриленд являются пирожки с капустой ($P$) и смородиновый морс ($M$). Эти блага потребляются в неизменной пропорции 1 пирожок на 1 стакан морса. Комплект, состоящий из одного пирожка и одного стакана морса, назовём полдником.

В любой стране для приготовления 1 пирожка необходимы 2 единицы муки ($x$) и 1 единица капусты ($y$), для приготовления стакана морса нужна только 1 единица смородины ($z$). Уравнения КПВ относительно ресурсов:
Кабаджленд: $x_к + y_к + z_к = 120$.
Бэриленд: $x_б + 2y_б + z_б = 120$.

Найдите максимальное общее количество полдников, которое можно приготовить в двух странах, если:
а) (7 баллов) обмен между странами невозможен;
б) (8 баллов) страны могут обмениваться пирожками и морсом;
в) (15 баллов) страны могут обмениваться пирожками, морсом и капустой.

Решение

а) Обозначим за $P_к$, $M_к$ объёмы производства пирожков и морса в Кабаджленде. Из условия $x_к=2P_к$, $y_к=P_к$, $z_к=M_к$. Подставляя в уравнение КПВ относительно ресурсов, получаем КПВ относительно товаров: $3P_к + M_к = 120$. Условие полдника: $P_к = M_к$. Решая систему, $P_к = M_к = 30$.
Аналогично для Бэриленда: $x_б=2P_б$, $y_б=P_б$, $z_б=M_б$, откуда $4P_б + M_б = 120$ и $P_б = M_б$, значит $P_б = M_б = 24$.
Максимальный мировой объём потребления полдников при автаркии: $30 + 24 = 54$.

б) Сложим КПВ относительно товаров $3P_к + M_к = 120$ и $4P_б + M_б = 120$ стандартным образом. Суммарная КПВ:
$M = 240 - 3P$ при $P < 40$; $M = 280 - 4P$ при $40 \le P \le 70$.
Пересекаем с лучом $P = M$. Точка излома (40; 120) лежит так, что $M > P$, значит пересечение на втором участке: $M = 280 - 4M$, откуда $M = P = 56$. Максимум полдников $= 56$.

в) Докажем, что максимум равен 60.
1) (Оценка) Уравнения КПВ относительно ресурсов: $x_к + y_к + z_к = 120$ и $x_б + 2y_б + z_б = 120$. Сложим как уравнения: $(x_к+x_б)+(y_к+y_б)+(z_к+z_б) = 240 - y_б$. Обозначим число полдников за $Q$. В силу пропорций производства и потребления: $2Q = x_к+x_б$, $Q = y_к+y_б$, $Q = z_к+z_б$. Подставляя: $2Q + Q + Q = 240 - y_б \le 240$, то есть $4Q \le 240$, откуда $Q \le 60$.
2) (Пример.) 60 полдников достижимы: Кабаджленд производит 60 ед. муки и 60 ед. капусты; Бэриленд производит 60 ед. муки и 60 ед. смородины; Кабаджленд отправляет 30 ед. капусты в Бэриленд, где из муки и капусты делают 30 пирожков; из оставшихся капусты и муки в Кабаджленде делают 30 пирожков; из смородины в Бэриленде делают 60 ед. морса; Бэриленд отправляет в Кабаджленд 30 ед. морса. В каждой стране оказывается по 30 полдников, всего 60.

Критерии оценивания

а) (7 б.): КПВ Кабаджленда относительно товаров — 2 б.; количество полдников в Кабаджленде — 1 б.; КПВ Бэриленда относительно товаров — 2 б.; количество полдников в Бэриленде — 1 б.; суммарный объём потребления — 1 б.
б) (8 б.): сложение КПВ (любым способом, аналитически или графически) — 5 б.; нахождение количества полдников (рисунок необязателен) — 3 б.
в) (15 б.): доказательство $Q \le 60$ — 9 б.; пример обмена, дающий $Q = 60$ — 6 б.
Примечание: графическое решение (построение графиков КПВ) необязательно, баллы за него отдельно не ставятся, если приведено аналитическое решение. Допустим переход сразу к уравнениям относительно ресурсов с учётом пропорций.

Упрощёнка

Совершенная конкуренцияВмешательство государства9–10–11 кл.
В современной России некоторые фирмы могут применять так называемую упрощённую систему налогообложения, при которой можно выбирать, какой налог — на выручку или на прибыль — платить.

Рассмотрим подобную систему в рамках простой модели. Фирма на рынке совершенной конкуренции, функция издержек которой $TC = 0{,}5q^2 + 10q$, где $q$ — объём выпуска. Государство предлагает фирме на выбор два налога — налог в размере 10 % от выручки или в размере 36 % от прибыли (эти ставки отличаются от действующих в современной России). При каждой цене $P$ фирма решает, сколько единиц продукции произвести и какой из двух налогов платить. Фирма максимизирует прибыль.

Выведите уравнение функции предложения фирмы. Может ли в данном случае фирма при росте цены снизить выпуск? (Если да, приведите пример, если нет — обоснуйте.)

Решение

1) Налог на выручку. Фирма максимизирует $\pi_в(q) = (1-0{,}1)TR(q) - TC(q) = 0{,}9Pq - 0{,}5q^2 - 10q$. Парабола ветвями вниз; оптимум в вершине, если абсцисса неотрицательна: $q = 0{,}9P - 10$ при $P \ge 100/9$ и $q = 0$ при $P < 100/9$. Максимальная прибыль: $\pi_в(P) = 0$ при $P < 100/9$; $\pi_в(P) = (0{,}9P - 10)^2/2$ при $P \ge 100/9$.

2) Налог на прибыль. Фирма максимизирует $\pi_п(q) = (1-0{,}36)(TR(q) - TC(q)) = 0{,}64(Pq - 0{,}5q^2 - 10q)$. Оптимум: $q = P - 10$ при $P \ge 10$ и $q = 0$ при $P < 10$. Максимальная прибыль: $\pi_п(P) = 0$ при $P < 10$; $\pi_п(P) = 0{,}64\,(P-10)^2/2$ при $P \ge 10$.

3) Сравнение. Налог на выручку выгоднее, если $\pi_в(P) > \pi_п(P)$.
- $P \le 10$: оптимальный выпуск при обоих налогах совпадает и равен 0.
- $10 < P \le 100/9$: $\pi_п(P) > 0$, а $\pi_в(P) = 0$ — выгоднее налог на прибыль, $q = P - 10$.
- $P > 100/9$: налог на прибыль выгоднее, если $0{,}64\,(P-10)^2/2 > (0{,}9P-10)^2/2$. Умножая на 2 и извлекая корень: $P < 20$ — выгоднее налог на прибыль ($q = P - 10$); при $P > 20$ выгоднее налог на выручку ($q = 0{,}9P - 10$); при $P = 20$ варианты равнозначны.

Итоговая функция предложения:
$q_s(P) = 0$ при $P < 10$; $q_s(P) = P - 10$ при $10 \le P \le 20$; $q_s(P) = 0{,}9P - 10$ при $P \ge 20$.
(При $P = 20$ оба выпуска оптимальны.)

При росте цены фирма может снизить выпуск: например, при росте цены с 19 до 21 фирме выгодно снизить выпуск с 9 до 8,9 единиц.

Критерии оценивания

Налог на выручку: оптимальный выпуск — 4 б. (1 б. снимается, если не проверено, что найден максимум); максимальная прибыль с учётом случая $P < 100/9$ — 3 б.
Налог на прибыль: оптимальный выпуск — 4 б. (1 б. снимается без проверки максимума); максимальная прибыль с учётом случая $P < 10$ — 3 б.
Сравнение: разбор первого случая ($P \le 10$) — 2 б.; разбор второго случая — 2 б.; формулировка неравенства для третьего случая — 2 б.; решение неравенства — 2 б.
Вывод итоговой функции предложения — 4 б. Правильный ответ и любой правильный пример снижения выпуска при росте цены — 4 б.

О заданиях регионального этапа ВсОШ по экономике 2016 года

Региональный этап Всероссийской олимпиады школьников по экономике проводится для учащихся 9–11 классов. Здесь собраны задачи комплекта 2016 года с авторскими решениями и официальными критериями оценивания. Темы заданий охватывают микроэкономику, макроэкономику, финансовую грамотность и формализацию экономических ситуаций.

Чтобы системно подготовиться к региональному и заключительному этапам, заберите бесплатный гайд по подготовке к олимпиаде по экономике или присмотритесь к нашему курсу — ссылки в кнопках на странице.

О школе "Олмат"
Мы предлагаем комплексную подготовку, которая охватывает все аспекты участия в олимпиадах. Делаем курсы по подготовке к олимпиадам по экономике, математике и физике для школьников.
  • 106 из 180 дипломов финала ВсОШ 2026 по экономике
    Наши ученики поступили в лучшие вузы страны по специальности "Экономика" и не только.
  • Более 20 000 человек из 17 стран
    Уже занимаются в школе "Олмат", из них 95% готовы рекомендовать занятия с нами своим друзьям.
  • Более 1000 дипломов перечневых олимпиад
    Наши ученики занимают призовые места на олимпиадах: МОШ, Высшая проба, Сибириада и других.
  • Более 100 мероприятий
    Провели и организовали: выездные школы, онлайн курсы, сборы и интенсивы.
Заберите гайд по подготовке бесплатно в Telegram-боте и начните подготовку уже сейчас!
Гайд о том, как выстроить подготовку к олимпиадам по экономике: от первых шагов и выбора вузов до перечневых олимпиад, ВсОШ и задач уровня заключительного этапа.
Забрать гайд
Бесплатный курс "Старт в олимпиадах" Бесплатный курс "Математика для олимпиадной экономики"
Мы в ВК Написать нам в телеграмм Мы в ТГ
Этот сайт использует cookie для улучшения работы. Продолжая пользоваться сайтом, вы соглашаетесь с этим.
Согласен