Задачи ВсОШ по экономике 2017: региональный этап с решениями и ответами

а) Пусть $t$ — ставка налога в 2016 году, $G$ — объём госзакупок; $Y_1$, $Y_2$ — ВВП при выборе первой и второй меры. Условие сбалансированности бюджета:
первый вариант $2{,}5t\cdot Y_1 = G$; второй вариант $t\cdot Y_2 = G/3$.
Отсюда $Y_1 = G/(2{,}5t)$, $Y_2 = G/(3t)$. Видно, что $Y_1 > Y_2$, то есть первая мера (повышение налога) снижает ВВП не так сильно, как вторая.

б) Обозначим $Y_0$ — ВВП в 2016 году. Система:
$Y_0 = 50 + (2/3)(Y_0 - tY_0) + 50 + G$;
$Y_1 = 50 + (2/3)(Y_1 - 2{,}5tY_1) + 50 + G$;
$Y_2 = 50 + (2/3)(Y_2 - tY_2) + 50 + G/3$;
$2{,}5t\cdot Y_1 = G$; $t\cdot Y_2 = G/3$.
Подставляя $2{,}5tY_1 = G$ во второе уравнение: $Y_1 = 50 + (2/3)(Y_1 - G) + 50 + G$, откуда $Y_1 = 300 + G$. Аналогично $Y_2 = 300 + G/3$.
Деля четвёртое уравнение на пятое: $Y_1/Y_2 = 6/5$, значит $5(300 + G) = 6(300 + G/3)$, откуда $G = 100$, $Y_1 = 400$, $t = 10\%$.
Из первого уравнения: $Y_0 = 50 + (2/3)\cdot 0{,}9 Y_0 + 50 + 100$, откуда $Y_0 = 200/0{,}4 = 500$.
Сокращение ВВП при повышении налога $Y_0 - Y_1 = 500 - 400 = 100$ млрд р.

а) При эффективном распределении товар производят страны с минимальными альтернативными издержками. Альтернативные издержки производства Икса равны 1, 2, 3 и 4 единицы Игрека в странах 1–4 соответственно. Значит, Икс производят страны 1 и 2, Игрек — страны 3 и 4. Общее производство Икса: $190 + 80/2 = 230$; общее производство Игрека: $90 + 140 = 230$. Товары потребляются в пропорции 1∶1, то есть $k = 1$.
(Тот же результат — через суммарную КПВ: точка, где две страны производят только Икс, имеет координаты (230; 230), через неё и начало координат проходит прямая с наклоном 1.)
Страны 1 и 2 производят Икс и не экспортируют Игрек. Страна 3 производит 90 единиц Игрека и не может экспортировать 100. Значит, «страна N» — это страна 4.

б) Страна 4 экспортирует 100 единиц Игрека и производит 140, для домашнего потребления остаётся 40 единиц Игрека, а 40 единиц Икса импортируется. В автаркии страна 4 производит равное количество Икса и Игрека: $4x_4 + y_4 = 140$ при $x_4 = y_4$, откуда $x_4 = y_4 = 28$. При торговле потребляла по 40 единиц. Значит, потребление комплектов сократилось на $40 - 28 = 12$ единиц.

в) При торговле со страной 4 страны 1, 2 и 3 суммарно потребляли $230 - 40 = 190$ комплектов. После исключения страны 4 объёмы определяются пересечением суммарной КПВ стран 1, 2, 3 и прямой $y = x$. Суммарная КПВ — ломаная через точки (0; 360), (190; 170), (230; 90), (260; 0). Точка излома (190; 170) лежит ниже прямой $y = x$, пересечение — на первом участке $y = 360 - x$. Тогда $360 - x = x$, откуда $x = 180$. Суммарное потребление уменьшилось на $190 - 180 = 10$ единиц.

а) Пусть $n_1$ — число проектов с командой «1 опытный + 3 неопытных», $n_2$ — число проектов с двумя опытными, $n_1 + n_2 = N$. Обозначим $U$ — число неопытных, $E$ — число опытных. Тогда $U = 3n_1$, $E = n_1 + 2n_2$. Издержки $C = 100U + E(240 + E)$. Минимизируем при ограничениях $U = 3n_1$, $E = n_1 + 2n_2$, $n_1 + n_2 = N$.
Способ (по $n_2$): подставляя $U$, $E$ и $n_1 = N - n_2$, получаем
$C = n_2^2 - (60 - 2N)n_2 + N^2 + 540N$.
Это парабола ветвями вверх, минимум в вершине $n_2^* = 30 - N$, если $n_2^* \in [0; N]$.
При $N = 25$: $n_2^* = 5 \in [0; 25]$. Значит, на 5 проектов — только опытные, на 20 — группы «1 опытный + 3 неопытных». Всего $U = 3n_1 = 60$ неопытных и $E = n_1 + 2n_2 = 30$ опытных консультантов.
(Аналогичные ответы получаются при минимизации по $n_1$, $U$ или $E$; в общем виде $E^* = 30$.)

б) Фирма не нанимает неопытных, если $n_1 = 0$, $n_2 = N$, $U = 0$, $E = 2N$, то есть вершина минимизируемой параболы лежит на соответствующей границе допустимого интервала или за ней. Решая соответствующее неравенство ($n_2 = 2N - 30 \le 0$, или эквивалентные формы), во всех случаях получаем $N \le 15$. Фирма не будет нанимать неопытных работников, если общее число проектов не больше 15.

Чтобы определить долю $y$ дохода олигархов, получаемую долей $x$ наиболее бедных олигархов: 1) находим долю дохода всех олигархов; 2) долю дохода доли $x$ беднейших олигархов в общем доходе; 3) делим второе на первое.

а) 90 % неолигархов получают $f(0{,}9) = 0{,}81$ всего дохода, олигархи — $1 - 0{,}81 = 0{,}19$. Доля $x$ беднейших олигархов составляет $0{,}1x$ населения; вместе с неолигархами — $0{,}9 + 0{,}1x$ населения, получают $(0{,}9 + 0{,}1x)^2$ дохода; без неолигархов — $(0{,}9 + 0{,}1x)^2 - 0{,}81 = 0{,}18x + 0{,}01x^2$. Тогда
$y = (0{,}18x + 0{,}01x^2)/0{,}19 = (18/19)x + (1/19)x^2$.
Эта кривая лежит ближе к линии равенства, чем $y = x^2$ (так как $(18/19)x + (1/19)x^2 > x^2$ при $x \in (0;1)$), значит коэффициент Джини среди олигархов меньше. (Расчётом: Джини страны $= 1/3$, среди олигархов $= 1/57 < 1/3$.) Среди олигархов неравенство меньше.

б) Аналогично: $y = (f(0{,}9 + 0{,}1x) - f(0{,}9))/(1 - f(0{,}9)) = (\sqrt{0{,}1} - \sqrt{0{,}1 - 0{,}1x})/\sqrt{0{,}1} = 1 - \sqrt{1 - x}$. Кривая Лоренца среди олигархов имеет точно такой же вид, как во всей стране, значит коэффициент Джини среди олигархов такой же, как в стране в целом (он равен 1/3).

в) Представим страну C, населённую только олигархами страны B. 1 % богатейших B — это 10 % богатейших C (олигархи среди олигархов). В пункте б) показано, что для страны B (и значит для C) кривая Лоренца среди олигархов совпадает со страновой. Значит, и среди 1 %, и среди 0,1 % богатейших жителей B коэффициент Джини одинаков и равен 1/3. (Свойство «кривая Лоренца для $a$% богатейших одинакова для любого $a$» характерно для распределения Парето $y = 1 - (1 - x)^\alpha$; для B $\alpha = 0{,}5$.)