В этих задачах для 4 класса достаточно школьной арифметики, но способ решения нужно найти: перебрать варианты, заметить связь между данными или сравнить общие суммы. Ниже пять задач из московского школьного этапа Всероссийской олимпиады разных лет, по одной на каждый частый тип: логика, взвешивания, числовая головоломка, подсчёт и задача на части.
Все условия взяты из официальных файлов с заданиями и решениями, числа не изменены. Решения пересказаны так, чтобы их мог разобрать сам четвероклассник или объяснить родитель — без уравнений с иксами.
Какие задачи дают в 4 классе
На школьном этапе для четвероклассников встречаются одни и те же сюжеты: кто какое место занял, какая фигура тяжелее, какое число загадали, сколько всего чего-то, сколько лет каждому. Сами сюжеты меняются от года к году, а приёмы остаются. Поэтому разбирать стоит не «ответ к задаче № 4», а то, какой ход мысли её открыл.
Про сам школьный этап для четвероклассников — как он устроен, когда проходит в вашем регионе, комплекты прошлых лет с ответами — есть отдельная страница «Школьный этап ВсОШ по математике, 4 класс», а о том, зачем ребёнку участвовать и как к нему готовиться, — статья ВсОШ для 4 класса. Здесь только задачи и способы их решать.
Задача 1. Логика: четыре прогноза
Алёша, Вася и Саша участвовали в школьном соревновании по бегу. До начала соревнования было сделано четыре прогноза:
- выиграет Вася или Алёша;
- если Саша займёт второе место, то Вася займёт третье место;
- если Саша займёт третье место, то Алёша займёт второе место;
- второе место займёт Вася или Саша.
Оказалось, что все прогнозы сбылись. Кто какое место занял?
Показать решение ↓Скрыть решение ↑
Решение
Начинаем с прогноза, который сразу что-то запрещает. Первый говорит: победил Вася или Алёша. Значит, Саша точно не первый — он второй или третий. Остаётся проверить два случая.
Саша второй. По второму прогнозу Вася тогда третий. Первое место остаётся Алёше. Проверяем все прогнозы: победил Алёша — первый сбылся; Саша второй, Вася третий — второй сбылся; Саша не третий, поэтому третий прогноз ничего не требует; второе место у Саши — четвёртый сбылся. Подходит.
Саша третий. По третьему прогнозу Алёша тогда второй, а Вася первый. Но четвёртый прогноз обещал, что второе место займёт Вася или Саша, а второй у нас Алёша. Противоречие — этот случай невозможен.
Обратите внимание на прогнозы со словом «если». Такой прогноз ничего не говорит, когда условие после «если» не выполнено. Дети часто считают его нарушенным — и отбрасывают верный вариант.
Источник задачи: Школьный этап ВсОШ по математике, Москва, 2023/24 учебный год, 4 класс, задача 4 — задания, ответы и критерии на сайте олимпиад МЦНМО, olympiads.mccme.ru
Задача 2. Взвешивания: какая фигура тяжелее
Расположите фигуры в порядке убывания веса от самого тяжёлого к самому лёгкому.
В условии дан рисунок с тремя взвешиваниями на чашечных весах. Пересказываем его словами:
- первые весы: на левой чаше круг и пятиугольник, на правой — пятиугольник и треугольник; левая чаша перевешивает;
- вторые весы: на левой чаше один треугольник, на правой — пятиугольник и квадрат; левая чаша перевешивает;
- третьи весы: на левой чаше треугольник и квадрат, на правой — два пятиугольника; весы в равновесии.
Показать решение ↓Скрыть решение ↑
Решение
Главный приём во взвешиваниях: одинаковые предметы можно мысленно снять с обеих чаш, и перевешивать будет та же чаша, что и раньше.
Первые весы. На обеих чашах лежит по пятиугольнику. Снимаем их: остаются круг слева и треугольник справа, и левая чаша по-прежнему тяжелее. Значит, круг тяжелее треугольника.
Вторые весы. Один треугольник перевешивает пятиугольник вместе с квадратом. Тем более он тяжелее каждой из этих фигур по отдельности: треугольник тяжелее и пятиугольника, и квадрата.
Третьи весы. Треугольник и квадрат весят столько же, сколько два пятиугольника. Треугольник тяжелее пятиугольника — это мы уже знаем. Если бы квадрат весил столько же, сколько пятиугольник, или больше, левая чаша оказалась бы тяжелее правой. А весы в равновесии. Значит, квадрат легче пятиугольника: «лишний» вес треугольника как раз уравновешен «недостающим» весом квадрата.
Собираем цепочку: круг тяжелее треугольника, треугольник тяжелее пятиугольника, пятиугольник тяжелее квадрата.
Источник задачи: Школьный этап ВсОШ по математике, Москва, 2024/25 учебный год, 4 класс, задача 4 — разбор заданий на сайте олимпиад МЦНМО, olympiads.mccme.ru; рисунок со взвешиваниями пересказан словами
Задача 3. Числовая головоломка: угадать трёхзначное число
Антон загадал трёхзначное число, а Лёша пытается его угадать. Лёша по очереди назвал числа 109, 704 и 124. Антон заметил, что каждое из этих чисел совпадает с загаданным числом ровно в одном разряде. Какое число загадал Антон?
Показать решение ↓Скрыть решение ↑
Решение
Выпишем три числа друг под другом, разряд под разрядом:
| сотни | десятки | единицы | |
|---|---|---|---|
| 1-е число | 1 | 0 | 9 |
| 2-е число | 7 | 0 | 4 |
| 3-е число | 1 | 2 | 4 |
Видно, что у чисел есть общие цифры в одних и тех же разрядах: у первого и третьего — сотни (цифра 1), у первого и второго — десятки (цифра 0), у второго и третьего — единицы (цифра 4).
Пусть загаданное число начинается с 1. Тогда первое и третье числа уже совпали с ним в разряде сотен, а больше одного совпадения у каждого быть не может. Значит, в десятках загаданного числа стоит не 0 и не 2, а в единицах — не 9 и не 4. Посмотрим теперь на второе число, 704: сотни у него 7, а не 1; десятки 0 — запрещены; единицы 4 — тоже запрещены. Второе число не совпадает с загаданным ни в одном разряде, а должно совпадать в одном. Противоречие: первая цифра — не 1.
Точно так же разбираются два других общих места. Если бы в десятках стоял 0, то первое и второе числа совпали бы в десятках, и тогда третье число, 124, ни с чем бы не совпало. Если бы в единицах стояла 4, то совпали бы второе и третье числа, а первое, 109, осталось бы без совпадения.
Остаётся единственная возможность. У первого числа совпадают единицы — цифра 9, у второго — сотни, цифра 7, у третьего — десятки, цифра 2. Загаданное число 729. Проверка: со 109 оно совпадает только девяткой в единицах, с 704 — только семёркой в сотнях, со 124 — только двойкой в десятках.
Источник задачи: Школьный этап ВсОШ по математике, Москва, октябрь 2020 года, 4 класс, задача 4.5 — решения задач на сайте олимпиад МЦНМО, olympiads.mccme.ru; условия — в файле olympiads.mccme.ru/vmo/2021/i.pdf
Задача 4. Подсчёт: шесть кубиков и шесть бросков
У Васи есть шесть одинаковых игральных кубиков, на гранях каждого из которых записаны числа от 1 до 6 (каждое — по одному разу). Вася бросал все шесть кубиков шесть раз подряд. Ни на одном из кубиков не выпадало дважды одно и то же число. Известно, что при первом броске сумма чисел на верхних гранях равнялась 21, а при следующих четырёх бросках — 19, 20, 18 и 25. Какая сумма получилась при шестом броске?
Показать решение ↓Скрыть решение ↑
Решение
Можно подбирать числа на каждом кубике, но здесь есть более короткий ход: посчитать сумму всех чисел за шесть бросков двумя способами.
Первый способ — по кубикам. Каждый кубик бросили шесть раз, и ни одно число на нём не повторилось. У кубика всего шесть чисел, значит, на нём выпали все числа от 1 до 6 ровно по одному разу. За шесть бросков один кубик «дал» сумму
Кубиков шесть, поэтому сумма всех выпавших чисел равна .
Второй способ — по броскам. Та же общая сумма складывается из сумм шести бросков. Пять из них известны, шестая — нет. Значит, на шестой бросок приходится
Такая серия бросков действительно возможна — в официальном разборе приведён пример, где все шесть сумм получаются ровно такими.
Источник задачи: Школьный этап ВсОШ по математике, Москва, 2022/23 учебный год, 4 класс, задача 4.8 — задания и решения на сайте олимпиад МЦНМО, olympiads.mccme.ru
Задача 5. На части: возраст всей семьи
У мамы с папой есть двое детей: Коля и Таня. Папа старше мамы на 4 года. Коля тоже старше Тани на 4 года и вдвое младше папы. Сколько лет каждому из них, если суммарный возраст всех членов семьи составляет 130 лет?
Показать решение ↓Скрыть решение ↑
Решение
Без иксов такие задачи решают отрезками — «частями». Возраст Коли примем за одну часть. Папа вдвое старше Коли — это две части.
Мама на 4 года младше папы: две части без 4 лет. Таня на 4 года младше Коли: одна часть без 4 лет. Всего получается частей, только от этой суммы нужно отнять дважды по 4 года.
Удобнее сделать наоборот: мысленно прибавить маме и Тане по 4 года. Тогда мама «станет» ровесницей папы, Таня — ровесницей Коли, а сумма возрастов вырастет на 8 лет:
Эти 138 лет — ровно шесть одинаковых частей, поэтому одна часть равна годам. Коле 23 года, папе лет, маме года, Тане лет.
Проверка: . Папа старше мамы на 4 года, Коля старше Тани на 4 года и вдвое младше папы — всё сходится.
В официальном решении тот же приём записан чуть иначе: после «добавки» в семье два человека возраста папы и два — вдвое младше, вместе это три возраста папы, и папе лет.
Источник задачи: Школьный этап ВсОШ по математике, Москва, 2022/23 учебный год, 4 класс, задача 4.5 — задания и решения на сайте олимпиад МЦНМО, olympiads.mccme.ru
Больше задач этого типа и подробный разбор метода отрезков — в статье «Задачи на части и целое».
Как заниматься такими задачами с ребёнком
Главная ошибка родителя — показать решение слишком рано. Олимпиадная задача ценна именно минутами, когда ребёнок не знает, что делать, и пробует. Если сразу объяснить, останется только ответ.
- Попросите ребёнка пересказать условиесвоими словами, без подглядывания. Так можно заметить, не потерял ли он важное ограничение.
- Попробуйте на конкретных числахили нарисуйте: весы, отрезки, таблицу, очередь из кружков
- Переберите случаи«пусть Саша второй — что тогда?»; каждый случай доведите до конца
- Проверьте ответподставьте его в каждое условие задачи по очереди
Несколько практических правил:
- Подсказка — вопросом, а не шагом решения. Вместо «вычти 4» спросите «а что, если бы маме было на 4 года больше?». Ребёнок делает ход сам и запоминает его.
- Одна задача может занять полчаса. Это нормально. Лучше одна задача, решённая самостоятельно, чем пять, разобранных по готовому решению.
- Возвращайтесь к нерешённому через день-два. Часто идея приходит, когда задача «отлежалась».
- Просите рассказать решение. Объясняя вслух, ребёнок сам находит дыры в рассуждении, а вы слышите, понял он задачу или угадал.
- Не ругайте за неверный ответ. На олимпиаде, где засчитывается только ответ, ошибка в последнем действии стоит всей задачи — поэтому учите проверять, а не бояться.
Если ребёнку нравится и хочется заниматься регулярно, следующая ступень — кружок, где задачи идут по темам и с разбором. Как его выбрать, мы разобрали в статье о математическом кружке.
Курс по теме
Базовый курс олимпиадной математики, 0–9 класс
Базовый курс олимпиадной математики разбирает с младшими школьниками как раз эти приёмы — перебор случаев, взвешивания, подсчёт и задачи на части.
Частые вопросы
Ребёнок хорошо учится по математике, но олимпиадные задачи не решает. Это нормально?
Да. Школьная задача решается по образцу с урока, олимпиадная — нет: в ней сначала нужно понять, что вообще делать. Это отдельный навык, и он тренируется так же, как счёт, — регулярной практикой.
Нужно ли четверокласснику знать уравнения, чтобы решать такие задачи?
Нет. Все пять задач выше решаются без уравнений: перебором, рисунком, таблицей или «частями». Уравнение иногда сокращает запись, но для 4 класса оно не обязательно.
Сколько задач решать в неделю?
Зависит от ребёнка. Две-три задачи, которые он действительно додумал сам, полезнее десятка разобранных за ним. Важнее регулярность, чем количество: лучше понемногу каждую неделю, чем много перед самой олимпиадой.
Где брать задачи прошлых лет?
В официальных архивах. Задания и решения московского школьного этапа по годам собраны на сайте олимпиад МЦНМО — там же лежат все задачи из этой статьи. Комплекты для 4 класса разных регионов с ответами — на странице школьного этапа для 4 класса.
Источники
- olympiads.mccme.ru — ВсОШ по математике для школьников Москвы — официальный архив заданий и решений всех этапов, МЦНМО
- Школьный этап, Москва, 2023/24, 4 класс — задания, ответы и критерии оценивания
- Школьный этап, Москва, 2024/25, 4 класс — разбор заданий
- Школьный этап, Москва, 2022/23 — задания и решения, 4–11 классы
- Школьный этап, Москва, октябрь 2020, условия и решения — 4–11 классы