Олимпиада Эйлера: задачи прошлых лет с решениями и подготовка

Q: Можно ли участвовать в олимпиаде Эйлера в 7 классе?

Да. По Положению на общих основаниях участвуют все желающие школьники младше восьмого класса. Задания при этом рассчитаны на программу 8 класса.

Q: Нужно ли отдельно регистрироваться на региональный этап?

Нет, регистрация действует на все туры и этапы. Но прошлогодняя регистрация недействительна: в новом сезоне её нужно пройти заново.

Q: Ребёнок не прошёл через дистанционный этап. Шанс ещё есть?

Есть. Положение допускает на региональный этап и тех, кого пригласили по выводящим соревнованиям, в том числе по рейтингу муниципального этапа ВсОШ в регионе. Список выводящих соревнований публикуется на matol.ru.

Q: Можно ли на дистанционном туре пользоваться помощью или нейросетями?

Нет. Правила требуют самостоятельной работы: за помощь со стороны отстраняют и тех, кому помогали, и тех, кто помогал.

Q: Где взять задачи с решениями прошлых лет?

На официальном сайте matol.ru, в разделах «Задачи, решения, результаты текущей олимпиады» и «Материалы прошедших олимпиад».

Олимпиада имени Леонарда Эйлера — математическая олимпиада для восьмиклассников, которая восполняет отсутствующие у них региональный и заключительный этапы ВсОШ: во Всероссийской олимпиаде по математике эти этапы проводятся для 9–11 классов. Лучшая подготовка к ней — задачи прошлых лет из официального архива на matol.ru: там лежат условия и решения всех этапов, результаты и критерии оценки.

Ниже — как олимпиада устроена в 2026/27 учебном году по Положению организаторов, четыре задачи 2025/26 года с разных этапов и порядок работы с архивом.

Коротко

Три этапа: дистанционный (ноябрь — декабрь 2026), региональный (одновременно с региональным этапом ВсОШ), заключительный (март 2027).
Участвовать могут восьмиклассники и все желающие из младших классов, участие бесплатное, регистрироваться нужно каждый год заново.
Сложность этапов по Положению соответствует муниципальному, региональному и заключительному этапам ВсОШ для 8 класса.
Архив задач с решениями за прошлые годы открыт на официальном сайте matol.ru.

Как устроена олимпиада в 2026/27 году

Организаторы — Кировский центр дополнительного образования одарённых школьников и Московский центр непрерывного математического образования. Варианты составляет Методический совет во взаимодействии с Центральной предметно-методической комиссией ВсОШ по математике. В 2026/27 учебном году проходит XIX олимпиада.

Кто участвует. Все желающие ученики 8 класса, а на общих основаниях — и школьники младших классов. Прошлогодняя регистрация недействительна: тем, кто участвовал в прошлом сезоне, нужно зарегистрироваться заново. Одна регистрация действует на все туры и этапы.

Дистанционный этап. По правилам на 2026/27 год он состоит из двух туров: 8 ноября с 9:00 до 14:00 и 6 декабря с 10:00 до 15:00 по московскому времени. Задания публикуются на matol.ru в момент начала тура, работу сканируют и загружают одним PDF-файлом в личном кабинете. Из пяти часов последний организаторы прямо отводят на подготовку файла к отправке. Для прохода на региональный этап хватит хорошего результата в одном туре, а прошедшие по итогам первого тура во втором уже не участвуют. Работу нужно писать самостоятельно: в правилах сказано, что в прошлом году за совместную работу, списывание из интернета и использование искусственного интеллекта дисквалифицировали больше 300 участников.

Региональный этап очный и идёт в те же сроки, что и региональный этап ВсОШ по математике. Попасть на него можно не только через дистанционный этап: Положение перечисляет выводящие соревнования, в том числе рейтинговый отбор по муниципальному этапу ВсОШ в регионе, а также допуск прошлогодних финалистов и призёров регионального этапа с высоким результатом. В 2026 году региональный этап шёл два дня, 2 и 3 февраля, по пять задач в день.

Заключительный этап по Положению запланирован на третью декаду марта 2027 года в четырёх городах: Барнаул — для Сибирского и Дальневосточного округов, Киров — для Приволжского и Уральского, Москва — для Москвы и области, Санкт-Петербург — для остальных регионов. В марте 2026 года финал шёл два дня, по четыре задачи в каждый.

Статус одной фразой: по письму Минпросвещения России олимпиада Эйлера включена в перечень олимпиад и конкурсов на 2026/27 учебный год (приказ от 28 августа 2026 г. № 598), а сведения о победителях и призёрах финала вносятся в государственный информационный ресурс о детях, проявивших выдающиеся способности.

Задача 1: коробки с шариками (дистанционный этап)

1Условие8 классолимпиада имени Леонарда Эйлера, дистанционный этап, I тур, 2025/26 учебный год

В каждой из 600 коробок лежит либо 5, либо 18, либо 22 шарика, причём все три типа присутствуют. Докажите, что можно выбрать несколько коробок, в которых суммарно ровно 2025 шариков.

Показать решение ↓Скрыть решение ↑

Решение

Отложим по одной коробке каждого типа: в них $5 + 18 + 22 = 45$ шариков. Осталось набрать из оставшихся $597$ коробок ровно

2025 - 45 = 1980

шариков. Число 1980 делится на все три размера коробок:

1980 = 5 \cdot 396 = 18 \cdot 110 = 22 \cdot 90.

Значит, достаточно найти среди оставшихся коробок 396 коробок по 5 шариков, или 110 коробок по 18, или 90 коробок по 22. Допустим, ничего из этого не получается. Тогда коробок по 5 осталось не больше 395, по 18 — не больше 109, по 22 — не больше 89, а всего не больше $395 + 109 + 89 = 593$ . Но коробок осталось 597 — противоречие. Значит, один из трёх вариантов обязательно сработает, и вместе с тремя отложенными коробками получится ровно 2025 шариков.

ОтветУтверждение доказано: после того как отложены три коробки разных типов, остаток 1980 набирается коробками одного типа.

Источник задачи: XVIII олимпиада имени Леонарда Эйлера, 2025/26 учебный год, дистанционный этап, I тур, задача 2 (автор И. Богданов) — официальные решения и критерии оценки I тура на сайте олимпиады matol.ru

Обратите внимание на ход в конце: «если ни одного типа не хватает, коробок слишком мало». Это рассуждение того же рода, что и принцип Дирихле, и на олимпиаде Эйлера такие оценки встречаются постоянно.

Задача 2: что больше (региональный этап)

2Условие8 классолимпиада имени Леонарда Эйлера, региональный этап, 2 февраля 2026 года

Числа $a$ , $b$ , $c$ таковы, что $a^2 + b^2 > (a+b)^2$ и $b^2 + c^2 > (b+c)^2$ . Что больше: $a^4 + c^4$ или $(a+c)^4$ ?

Показать решение ↓Скрыть решение ↑

Решение

Раскроем скобки в первом условии: $a^2 + b^2 > a^2 + 2ab + b^2$ , то есть $ab < 0$ . Точно так же из второго условия $bc < 0$ .

Итак, $a$ и $b$ разных знаков, $c$ и $b$ тоже разных знаков (и $b \ne 0$ ). Значит, $a$ и $c$ одного знака, то есть $ac > 0$ .

Теперь сравним выражения через разность:

(a+c)^4 - (a^4 + c^4) = 4a^3c + 6a^2c^2 + 4ac^3 = ac\,(4a^2 + 6ac + 4c^2).

Первый множитель $ac$ положителен. Второй тоже: при $ac > 0$ все три слагаемых $4a^2$ , $6ac$ , $4c^2$ положительны. Произведение положительно, поэтому $(a+c)^4 > a^4 + c^4$ .

ОтветБольше

(a+c)^4

Источник задачи: XVIII олимпиада имени Леонарда Эйлера, региональный этап, 2 февраля 2026 года, 8 класс, задача 2 (авторы А. Кузнецов, И. Рубанов) — официальные решения первого дня регионального этапа, matol.ru

Задача 3: делители и квадрат числа (региональный этап)

3Условие8 классолимпиада имени Леонарда Эйлера, региональный этап, 2 февраля 2026 года

Существует ли такое натуральное число $n$ , что для каких-то трёх его делителей $a$ , $b$ , $c$ , больших, чем 1, произведение $(a-1)(b-1)(c-1)$ делится на $n^2$ ?

Показать решение ↓Скрыть решение ↑

Решение

Предположим, что такое $n$ существует. Поскольку $a$ — делитель $n$ , число $a^2$ делит $n^2$ , а значит, делит и произведение $(a-1)(b-1)(c-1)$ .

Соседние числа $a$ и $a-1$ взаимно просты, поэтому $a^2$ взаимно просто с $a-1$ . Отсюда $a^2$ делит $(b-1)(c-1)$ . Это произведение положительно, так как $b > 1$ и $c > 1$ , а положительное число, делящееся на $a^2$ , не меньше $a^2$ :

a^2 \le (b-1)(c-1).

Точно так же $b^2 \le (a-1)(c-1)$ и $c^2 \le (a-1)(b-1)$ . Все части этих неравенств положительны, поэтому их можно перемножить:

a^2 b^2 c^2 \le (a-1)^2 (b-1)^2 (c-1)^2.

Но $0 < a-1 < a$ , $0 < b-1 < b$ , $0 < c-1 < c$ , поэтому правая часть строго меньше левой. Противоречие.

ОтветНе существует.

Источник задачи: XVIII олимпиада имени Леонарда Эйлера, региональный этап, 2 февраля 2026 года, 8 класс, задача 5 (автор Р. Ишкуватов) — официальные решения первого дня регионального этапа, matol.ru

Задача 4: сколько пятёрок получит Вася (заключительный этап)

4Условие8 классолимпиада имени Леонарда Эйлера, заключительный этап, март 2026 года

Назовём натуральное число $k$ -хорошим, если оно представимо в виде суммы $k$ последовательных натуральных чисел. Учитель попросил Васю придумать число $n$ и обещал поставить по пятёрке за каждое $k$ , большее 1 и меньшее 7, при котором $n$ окажется $k$ -хорошим. Какое наибольшее число пятёрок мог получить Вася?

Показать решение ↓Скрыть решение ↑

Решение

Подходят $k = 2, 3, 4, 5, 6$ — всего пять значений. Покажем, что все пять сразу не получить.

Оценка. Сумма двух подряд идущих натуральных чисел $m + (m+1) = 2m + 1$ всегда нечётна. Сумма четырёх подряд идущих $m + (m+1) + (m+2) + (m+3) = 4m + 6$ всегда чётна. Поэтому $n$ не может быть одновременно 2-хорошим и 4-хорошим, и пятёрок не больше четырёх.

Пример. Выпишем суммы для остальных $k$ :

3l + 3 = 3(l+1), \qquad 5s + 10 = 5(s+2), \qquad 6t + 15 = 3(2t + 5),

где $l$ , $s$ , $t$ — первые слагаемые. Подойдёт достаточно большое нечётное число, делящееся на 3 и на 5, например $n = 45$ :

45 = 22 + 23 = 14 + 15 + 16 = 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10.

Число 45 оказывается 2-, 3-, 5- и 6-хорошим — это четыре пятёрки.

Ответ4 пятёрки.

Источник задачи: XVIII олимпиада имени Леонарда Эйлера, заключительный этап, 24–27 марта 2026 года, первый день, задача 1 (Методсовет) — официальные решения первого дня заключительного этапа, matol.ru

Решение устроено по классической схеме «оценка плюс пример»: сначала доказываем, что больше четырёх нельзя, потом предъявляем число, на котором четыре достигается. Без любой из двух половин задача не решена, и жюри снимает за это баллы. Сама оценка держится на чётности — подробнее этот приём разобран в статье про чётность и инварианты.

Какие темы встречаются в вариантах

Если пройти по вариантам 2025/26 года, набор тем узнаваемый: алгебра, геометрия, комбинаторика, теория чисел. В региональном этапе 2026 года были пример пути в таблице со степенями двойки, алгебраическое сравнение (задача 2 выше), геометрия треугольника с биссектрисой, комбинаторный процесс с оценкой числа шагов и делимость (задача 3). В финале — суммы последовательных чисел, подсчёт двумя способами, неравенство, комбинаторная геометрия, расстановка королей на доске.

Между этапами есть ощутимая разница в уровне. Задания дистанционного этапа по Положению соответствуют муниципальному этапу ВсОШ, поэтому для разминки подходят задачи муниципального этапа ВсОШ прошлых лет. Региональный и заключительный этапы — уровень одноимённых этапов Всероссийской олимпиады, и здесь без регулярной работы с доказательствами не обойтись.

Как готовиться по архиву

Начните с дистанционных туровРешите варианты двух-трёх последних лет на matol.ru: отведите четыре часа на задачи и ещё час на оформление и проверку файла, как в настоящем дистанционном туре. Затем сверьтесь с официальными решениями и критериями.
Читайте критерииВ расширенной версии решений I тура 2025/26 года к каждой задаче приложены критерии оценки, а к некоторым — типичные ошибки: по ним видно, за что жюри снимает баллы.
Переходите к региональному этапуДва дня по пять задач: решайте день целиком, без подсказок, и только потом открывайте решения.
Пишите полное решениеОценка и пример, разбор всех случаев, обоснование каждого шага — на очных этапах проверяют именно запись.

На сайте олимпиады есть раздел «Материалы прошедших олимпиад»: там по годам собраны задания и решения всех трёх этапов, результаты и критерии оценки. Там же организаторы сообщают о четвёртом издании сборника «Математические олимпиады для восьмиклассников им. Леонарда Эйлера. Задачи и решения 2008–2026».

Удобный ритм для восьмиклассника, который ориентируется на олимпиаду Эйлера: один полный вариант в неделю плюс тематическая работа по слабым местам между вариантами. Если в 9 классе планируется ВсОШ, эта работа не пропадёт: по Положению региональный этап олимпиады Эйлера по сложности равен региональному этапу Всероссийской олимпиады, а результаты восьмиклассников на региональном этапе ВсОШ для 9–11 классов засчитываются как результаты олимпиады Эйлера.

Курс по теме

Продвинутый курс: подготовка к ВсОШ

Продвинутый курс готовит к этапам ВсОШ, а сложность олимпиады Эйлера по Положению равна сложности этих этапов для 8 класса.

Посмотреть курс →

Частые вопросы

Можно ли участвовать в олимпиаде Эйлера в 7 классе?

Да. По Положению на общих основаниях участвуют все желающие школьники младше восьмого класса. Задания при этом рассчитаны на программу 8 класса.

Нужно ли отдельно регистрироваться на региональный этап?

Нет, регистрация действует на все туры и этапы. Но прошлогодняя регистрация недействительна: в новом сезоне её нужно пройти заново.

Ребёнок не прошёл через дистанционный этап. Шанс ещё есть?

Есть. Положение допускает на региональный этап и тех, кого пригласили по выводящим соревнованиям, в том числе по рейтингу муниципального этапа ВсОШ в регионе. Список выводящих соревнований публикуется на matol.ru.

Можно ли на дистанционном туре пользоваться помощью или нейросетями?

Нет. Правила требуют самостоятельной работы: за помощь со стороны отстраняют и тех, кому помогали, и тех, кто помогал.

Где взять задачи с решениями прошлых лет?

На официальном сайте matol.ru, в разделах «Задачи, решения, результаты текущей олимпиады» и «Материалы прошедших олимпиад».

Источники

matol.ru — официальный сайт олимпиады имени Леонарда Эйлера — сроки этапов 2026/27, регистрация, организаторы
Положение об олимпиаде в 2026/2027 учебном году — этапы, участники, допуск на региональный и заключительный этапы, места финала
Правила дистанционного этапа 2026/2027 — расписание туров, загрузка работ, требование самостоятельности
Письмо Минпросвещения России об олимпиаде Эйлера — включение в перечень на 2026/27 учебный год, ГИР
Материалы прошедших олимпиад — архив заданий, решений и критериев
Решения I тура дистанционного этапа 2025/26 — задача 1
Задания регионального этапа 2026 года и решения первого дня — задачи 2 и 3
Задания и решения первого дня заключительного этапа 2026 года — задача 4

Редакция блога «Олмат»Готовит материалы вместе с преподавателями школы. Задачи — из официальных архивов олимпиад.

Олимпиада Эйлера: задачи прошлых лет и как готовиться

Как устроена олимпиада в 2026/27 году

Задача 1: коробки с шариками (дистанционный этап)

Задача 2: что больше (региональный этап)

Задача 3: делители и квадрат числа (региональный этап)

Задача 4: сколько пятёрок получит Вася (заключительный этап)

Какие темы встречаются в вариантах

Как готовиться по архиву

Частые вопросы

Источники

Муниципальный этап ВсОШ по математике: задания прошлых лет с решениями

Олимпиада «Физтех» по математике: задания прошлых лет с решениями

Олимпиадные задачи по математике, 4 класс: 5 задач с решениями

Записаться на бесплатную консультацию

Чем можем помочь?

Олимпиада Эйлера: задачи прошлых лет и как готовиться

Как устроена олимпиада в 2026/27 году

Задача 1: коробки с шариками (дистанционный этап)

Задача 2: что больше (региональный этап)

Задача 3: делители и квадрат числа (региональный этап)

Задача 4: сколько пятёрок получит Вася (заключительный этап)

Какие темы встречаются в вариантах

Как готовиться по архиву

Частые вопросы

Источники

Читайте также

Муниципальный этап ВсОШ по математике: задания прошлых лет с решениями

Олимпиада «Физтех» по математике: задания прошлых лет с решениями

Олимпиадные задачи по математике, 4 класс: 5 задач с решениями

Записаться на бесплатную консультацию