Задания олимпиады «Физтех» по математике с решениями

Решение

Пусть на доске $n$ чисел $x_1 < x_2 < \dots < x_n$, где $n \ge 2$. По условию

Вычтем из обеих сумм обычную сумму $x_1 + \dots + x_n$: получится $31x_1 = 13x_n$. Числа 31 и 13 взаимно просты, поэтому $x_1 = 13k$, $x_n = 31k$ для некоторого натурального $k$.

Если $k \ge 2$, то уже одно слагаемое $32x_1 \ge 32 \cdot 26 = 832$ больше 477. Значит, $k = 1$: наименьшее число 13, наибольшее 31.

Тогда $32 \cdot 13 + 31 = 447$, и на остальные числа приходится $477 - 447 = 30$. Каждое из них больше 13 и меньше 31. Одно такое число — это 30. Два различных числа из промежутка от 14 до 30 с суммой 30 — только 14 и 16 (следующая попытка, 15 и 15, даёт равные числа). Трёх и больше чисел быть не может: их сумма была бы не меньше $14 + 15 + 16 = 45$. Без «средних» чисел тоже нельзя — тогда сумма была бы 447, а не 477.

Источник задачи: Олимпиада «Физтех» по математике, заключительный этап, 2021 год, 9 класс, вариант 13, задача 2 — официальные условия и решения в архиве РСОШ

Решение

Пусть знаменатель прогрессии $q$. Тогда $b = aq$, $c = aq^2$, а четвёртый член равен $aq^3$. Члены геометрической прогрессии не равны нулю, поэтому $a \ne 0$ и $q \ne 0$ — уравнение действительно квадратное.

Его дискриминант:

Значит, корень один:

По условию этот корень — четвёртый член прогрессии: $aq^3 = -q$. Делим на $q \ne 0$ и получаем $aq^2 = -1$, а $aq^2$ и есть третий член.

Проверка на примере: $a = -1$, $q = 1$. Прогрессия $-1, -1, -1, -1$, уравнение $-x^2 - 2x - 1 = 0$ имеет корень $x = -1$ — это и есть четвёртый член.

Источник задачи: Олимпиада «Физтех» по математике, заключительный этап, 2022 год, 10 класс, вариант 9, задача 1 — официальный архив олимпиады «Физтех», olymp.mipt.ru — решения для вариантов 9–10, 2022

Решение

Биссектриса и медиана из одной вершины перпендикулярными быть не могут: биссектриса делит угол треугольника пополам, и угол между ней и любым лучом внутри этого угла не больше половины угла, то есть меньше $90^\circ$. Значит, биссектриса $AN$ и медиана $BM$ выходят из разных вершин; пусть они пересекаются в точке $O$.

В треугольнике $ABM$ отрезок $AO$ — биссектриса и высота, поэтому треугольник равнобедренный: $AB = AM$. Обозначим $AB = y$, тогда $AM = MC = y$ и $AC = 2y$. Верно и обратное: если $AC = 2AB$, то для середины $M$ стороны $AC$ имеем $AM = AB$. В равнобедренном треугольнике $ABM$ биссектриса из $A$ является высотой к $BM$; это и есть биссектриса угла $BAC$, перпендикулярная медиане $BM$. Итак, нужно сосчитать треугольники, у которых одна сторона вдвое больше другой.

По свойству биссектрисы

поэтому при $BN = x$ получаем $NC = 2x$ и $BC = 3x$. Периметр: $y + 2y + 3x = 600$, то есть $x + y = 200$ — значит, $x$ тоже целое.

Неравенства треугольника для сторон $y$, $2y$, $3x$:

Третье выполняется всегда, первые два дают $x < y < 3x$. Подставим $y = 200 - x$: $x < 200 - x$ даёт $x < 100$, а $200 - x < 3x$ даёт $x > 50$. Целых $x$ от 51 до 99 ровно 49.

Осталось убедиться, что один треугольник не посчитан дважды. Из $x < y < 3x$ следует, что $y$ — наименьшая из сторон $y$, $2y$, $3x$. Значит, по треугольнику число $y$ определяется однозначно, а вместе с ним и $x = 200 - y$: разным $x$ соответствуют разные треугольники.

Источник задачи: Олимпиада «Физтех» по математике, заключительный этап, 2022 год, 9 класс, вариант 13, задача 2 — официальный архив олимпиады «Физтех», olymp.mipt.ru — решения для вариантов 13–14, 2022

Решение

Других простых множителей, кроме 2 и 3, у чисел быть не может — иначе они вошли бы в НОК. Запишем

НОД берёт наименьший показатель каждого простого, НОК — наибольший. Поскольку $6 = 2^1 \cdot 3^1$, условие распадается на две независимые части:

Сосчитаем тройки показателей двойки. Наборы вида $(1; 1; 15)$ дают 3 упорядоченные тройки, наборы $(1; 15; 15)$ — ещё 3. Набор $(1; k; 15)$ при $2 \le k \le 14$ — это 13 значений $k$, и для каждого 6 перестановок, всего 78. Итого $3 + 3 + 78 = 84$.

Для тройки показателей при 3 рассуждение то же, только средний показатель пробегает 14 значений: $3 + 3 + 6 \cdot 14 = 90$. Выбор показателей двойки и тройки независим, поэтому троек чисел

Число 84 можно проверить иначе, через включения и исключения: из всех $15^3$ троек показателей от 1 до 15 убираем те, где нет единицы, и те, где нет 15, а тройки без того и другого возвращаем: $15^3 - 2 \cdot 14^3 + 13^3 = 3375 - 5488 + 2197 = 84$.

Источник задачи: Олимпиада «Физтех» по математике, заключительный этап, 2021 год, 11 класс, вариант 17, задача 4 — официальные условия и решения в архиве РСОШ

Решение

Подставим $a = 1$: $f(b) = f(1) + f(b)$, значит, $f(1) = 0$. Теперь положим $a = x/y$, $b = y$: $f(x) = f(x/y) + f(y)$, откуда

Условие $f(x/y) < 0$ превращается в $f(x) < f(y)$, и нужны только значения $f$ на числах от 1 до 24. Значение на составном числе — сумма значений на его простых множителях с учётом кратности. Для простых до 24: $f(2) = f(3) = 0$, $f(5) = f(7) = 1$, $f(11) = 2$, $f(13) = 3$, $f(17) = f(19) = 4$, $f(23) = 5$. Например, $f(20) = f(2) + f(2) + f(5) = 1$. Раскладываем все числа на группы:

• $f = 0$: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24 — 11 чисел;
• $f = 1$: 5, 7, 10, 14, 15, 20, 21 — 7 чисел;
• $f = 2$: 11, 22; $f = 3$: 13; $f = 4$: 17, 19; $f = 5$: 23.

Всего пар $24^2 = 576$. Пары с $f(x) = f(y)$ — это пары внутри одной группы:

Оставшиеся $576 - 180 = 396$ пар делятся поровну: пара $(x; y)$ с $f(x) < f(y)$ переходит в пару $(y; x)$ с $f(y) < f(x)$, и наоборот. Значит, нужных пар $396 / 2 = 198$.

Источник задачи: Олимпиада «Физтех» по математике, заключительный этап, 2022 год, 11 класс, вариант 1, задача 5 — официальный архив олимпиады «Физтех», olymp.mipt.ru — решения для вариантов 1–4, 2022