«Бельчонок» по математике: задания прошлых лет

Решение

Произведение четырёхзначное, значит, $\text{КАРП} \cdot 7$ меньше 10 000, то есть КАРП меньше $10\,000 / 7 \approx 1428{,}6$. Поэтому $\text{К} = 1$, а КАРП не больше 1428 — вторая цифра $\text{А}$ не больше 4.

Цифра А не может быть нулём: последняя цифра произведения — это последняя цифра числа $7 \cdot \text{П}$, и при $\text{А} = 0$ получилось бы $\text{П} = 0 = \text{А}$. Единицей А тоже не бывает — она занята буквой К. Остаются три случая; в каждом П находим по последней цифре, а Р — по разряду десятков, где в ЩУКА стоит К, то есть 1.

• $\text{А} = 2$. Произведение $7 \cdot \text{П}$ оканчивается на 2 только при $\text{П} = 6$ ($7 \cdot 6 = 42$), в десятки переносится 4. Число $7 \cdot \text{Р} + 4$ должно оканчиваться на 1, значит, $7 \cdot \text{Р}$ оканчивается на 7 и $\text{Р} = 1$ — но 1 уже занята.
• $\text{А} = 3$. Тогда $\text{П} = 9$ ($7 \cdot 9 = 63$), перенос 6. Число $7 \cdot \text{Р}$ должно оканчиваться на 5, отсюда $\text{Р} = 5$. Проверка: $1359 \cdot 7 = 9513$ — буквы Р и У обе равны 5, противоречие.
• $\text{А} = 4$. Тогда $\text{П} = 2$ ($7 \cdot 2 = 14$), перенос 1. Число $7 \cdot \text{Р}$ должно оканчиваться на 0, отсюда $\text{Р} = 0$. Проверка: $1402 \cdot 7 = 9814$. Все шесть цифр (К = 1, А = 4, Р = 0, П = 2, Щ = 9, У = 8) разные.

Подходит только последний случай.

Источник задачи: Олимпиада «Бельчонок», математика, заключительный этап 2025/26 учебного года, 5 класс, вариант 1, задача 4 — официальный файл «Задания, ответы и критерии оценивания» на сайте СФУ

Решение

Разложим на простые множители: $72 = 2^3 \cdot 3^2$. Нуля среди цифр нет (иначе произведение было бы нулём), а однозначные делители 72 — это 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9. После запрета на 1, 8 и 9 остаются цифры 2, 3, 4 и 6. Сначала найдём все наборы цифр, потом посчитаем, сколькими способами каждый набор можно расставить по разрядам.

Удобно идти от самой «крупной» цифры.

• В числе есть шестёрка. Тогда остальные цифры дают $72 / 6 = 12$, а 12 раскладывается так: $6 \cdot 2$, $4 \cdot 3$ или $2 \cdot 2 \cdot 3$. Получаем наборы 6, 6, 2 — три числа (место двойки выбирается тремя способами); 6, 4, 3 — $3! = 6$ чисел; 6, 3, 2, 2 — $\frac{4!}{2!} = 12$ чисел.
• Шестёрки нет, но есть четвёрка. Остаток $72 / 4 = 18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$ (вторая четвёрка не помещается: 18 на 4 не делится). Набор 4, 2, 3, 3 даёт $\frac{4!}{2!} = 12$ чисел.
• Нет ни 6, ни 4. Тогда цифры — это сами простые множители: 2, 2, 2, 3, 3. Число таких расстановок $\frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10$.

Всего $3 + 6 + 12 + 12 + 10 = 43$ числа.

Источник задачи: Олимпиада «Бельчонок», математика, заключительный этап 2025/26 учебного года, 7 класс, вариант 1, задача 3 — официальный файл «Задания, ответы и критерии оценивания» на сайте СФУ

Решение

Пусть короткая сторона прямоугольника равна $m$ ($m \ge 2$), а сторона квадрата — $n$. Тогда

Умножим равенство $m^2 + 11m = n^2 + 8$ на 4 и выделим полный квадрат:

Разность квадратов раскладывается на множители:

Второй множитель положителен, значит, и первый тоже, причём первый меньше второго. Разложений числа 153 на два таких множителя три: $1 \cdot 153$, $3 \cdot 51$ и $9 \cdot 17$. Сумма множителей равна $2(2m + 11)$, отсюда находим $m$:

• $1 + 153 = 154$, $2m + 11 = 77$, $m = 33$: $N = 33 \cdot 44 = 1452$; проверка: $1452 - 8 = 1444 = 38^2$;
• $3 + 51 = 54$, $2m + 11 = 27$, $m = 8$: $N = 8 \cdot 19 = 152$; проверка: $152 - 8 = 144 = 12^2$;
• $9 + 17 = 26$, $2m + 11 = 13$, $m = 1$ — не подходит: короткая сторона должна быть больше 1.

Источник задачи: Олимпиада «Бельчонок», математика, заключительный этап 2024/25 учебного года, 8 класс, вариант 1, задача 4 — официальный файл «Задания, решения и критерии оценивания» на сайте СФУ

Решение

Половина от 5 — это 2,5, так что «меньше половины чёрных» означает: знаком с 0, 1 или 2 чёрными бельчатами. Назовём таких серых бельчат «малознакомыми» и обозначим их число через $n$.

Оценка. Посчитаем пары знакомых «чёрный — серый» двумя способами. Со стороны чёрных: каждый знает 150 серых, всего $5 \cdot 150 = 750$ пар. Со стороны серых: каждый малознакомый входит не более чем в 2 пары, остальные $300 - n$ — не более чем в 5. Значит,

Поэтому 251 малознакомого быть не может.

Пример для 249. Пронумеруем чёрных бельчат от 1 до 5 и разобьём серых на группы:

• 51 серый знаком со всеми пятью чёрными;
• 3 серых знакомы только с первым;
• 48 — с первым и вторым, 51 — со вторым и третьим, 48 — с третьим и четвёртым, 51 — с четвёртым и пятым, 48 — с пятым и первым.

Всего серых $51 + 3 + 48 + 51 + 48 + 51 + 48 = 300$. Малознакомых (все группы, кроме первой) $300 - 51 = 249$. Проверим, что каждый чёрный знает ровно 150 серых:

Источник задачи: Олимпиада «Бельчонок», математика, заключительный этап 2025/26 учебного года, 9 класс, вариант 1, задача 5 — официальный файл «Задания, ответы и критерии оценивания» на сайте СФУ

Решение

Сам угол $x$ искать не нужно: обе величины выражаются через $t = \sin^2 x$.

По формуле тройного угла $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$, поэтому

Дискриминант $48^2 - 4 \cdot 64 \cdot 5 = 2304 - 1280 = 1024 = 32^2$, корни

Оба значения лежат на отрезке $[0;\,1]$, значит, каждое достигается при некотором $x$.

Аналогично $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$, а $\cos^2 x = 1 - t$, поэтому

При $t = \frac{5}{8}$: $1 - t = \frac{3}{8}$, и $4 \cdot \frac{9}{64} - \frac{9}{8} = \frac{36 - 72}{64} = -\frac{9}{16}$.

При $t = \frac{1}{8}$: $1 - t = \frac{7}{8}$, и $4 \cdot \frac{49}{64} - \frac{21}{8} = \frac{196 - 168}{64} = \frac{7}{16}$.

Источник задачи: Олимпиада «Бельчонок», математика, заключительный этап 2025/26 учебного года, 10 класс, вариант 1, задача 1 — официальный файл «Задания, ответы и критерии оценивания» на сайте СФУ